【数学】吉林省长春外国语学校2019-2020学年高二下学期期末考试（文）

【数学】吉林省长春外国语学校2019-2020学年高二下学期期末考试（文）

吉林省长春外国语学校2019-2020学年 高二下学期期末考试（文）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。‎ 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 ‎ 息条形码粘贴区。‎ ‎ 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 ‎ 写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；‎ ‎ 在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 已知集合，,那么等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是( )‎ A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°‎ C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个小于60°‎ ‎4. 直线（t为参数）的倾斜角是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 因为对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数，而是对数函数，所以是增函数，上面的推理错误的是(　　 )‎ A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．以上都是 ‎6. 从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 已知函数满足，，则函数在处的瞬时变化率为（ ）‎ A．1 B．2 C．e D．2e ‎8. 函数的零点所在的一个区间是 (　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 有下列四个命题，其中真命题是（ ）‎ A.， B.，，‎ C.，， D.，‎ ‎10. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎13. 已知函数为自然对数的底数，则 ．‎ ‎14．若z＝4＋3i，则＝ . ‎ ‎15．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是 .‎ ‎16. 已知函数（为自然对数的底数），若在上有解，则实数的取值范围是________.‎ 三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）设函数 ‎（1）判断函数的奇偶性，并证明；‎ ‎（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论.‎ ‎18.（12分）己知 ‎（1）若是真命题，求对应的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.‎ ‎19.（12分) 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值与最小值.‎ ‎20．（12分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间()之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得：(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).‎ ‎（1）若一个零件的尺寸是，试判断该零件是否属于“不合格”的零件；‎ ‎（2）工厂利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，标上记号，并从这6个零件中再抽取2个，求再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸不超过的概率.‎ ‎21. （12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的直角坐标为，直线与曲线交于，两点，求的值.‎ ‎22.（12分）已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数，其中.证明：的图象在图象的下方.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B B D A B C C B B D A 二、填空题 ‎13. 2 14. 15.丙 16. ‎ 三、解答题 ‎17. （1）函数为奇函数，证明如下：‎ 函数的定义域为，关于原点对称，‎ ‎，‎ 因此，函数为奇函数；‎ ‎（2）函数在上为增函数，证明如下：‎ 当时，.‎ 任取，则.‎ ‎，，，，即.‎ 因此，函数在上为增函数.‎ ‎18. （1）为真命题，即，解得 ‎ ‎（2）根据（1）知：，‎ 是的必要不充分条件 当时，，故满足，即；‎ 当时，，满足条件；‎ 当时，，故满足，即.‎ 综上所述：‎ ‎19. （1） ‎ 当时，单调递增；‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 所以的递增区间是和；递减区间是 ‎ ‎（2）由（1）知，在上单调递增，在区间上单调递减 ‎ 所以的极大值为极小值为 ‎ 又因为 ，所以的最大值是77，最小值是 ‎20. （1）由题意 ‎ ‎ 故()=故该零件属于“不合格”的零件.‎ ‎（2）用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，则 中取1个，中取2个，中取3个，分别记为 ， ， ， ， ， ，从中任取两件，所有可能结果有：、、、、、、、、、、、、、、；满足条件的有、、、、、、、、，故概率 ‎21. （1）曲线的参数方程为（为参数），‎ 的普通方程为.‎ 直线的极坐标方程为，即.‎ 由，得直线的直角坐标方程.‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数），‎ 代入的普通方程，得.‎ 设，两点对应的参数分别为，，.‎ ‎22.（1）求导，得，又因为 所以曲线在点处的切线方程为 ‎（2）设函数，求导，得，‎ 因为函数在区间上为单调递增函数，‎ 所以在区间上，恒成立，即恒成立.‎ 又因为函数在在区间上单调递减，，‎ 所以.‎ ‎(3）证明：设.‎ 求导，得.‎ 设，则（其中）.‎ 所以当时，（即）为增函数.‎ 又因为，所以，存在唯一的，使得 且与在区间上的情况如下：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以 .‎ 又因为，，‎ 所以，‎ 所以，即的图象在图象的下方.‎