2018-2019学年吉林省实验中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年吉林省实验中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年吉林省实验中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接由特殊角的三角函数值计算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎=，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了特殊角的三角函数值的熟练运用，属于基础题.‎ ‎2．已知，若，则（ ）‎ A．1 B．2 C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知，可得0，根据平面向量的数量积坐标运算公式，可得一个关于m的方程，解方程可得m值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ 又∵，‎ ‎∴0‎ 即﹣1×3+2m＝0‎ 即m 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据两个向量垂直，数量积为0，构造关于m的方程，是解答本题的关键．‎ ‎3．在中，如果，则角（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由特殊角的三角函数值结合在△ABC中，可求得A的值；‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 又∵A∈（0，π），‎ ‎∴．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了特殊角的三角函数值及三角形中角的范围，属于基础题.‎ ‎4．已知扇形的周长为8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r 则2r+2r＝4，r=1，‎ ‎∴扇形的面积为r=‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．‎ ‎5．为了得到函数的图象，只需将余弦曲线上所有的点（ ）‎ A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】利用函数的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【详解】‎ 把余弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度，可得函数的图象，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎6．函数是 A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 ‎【答案】A ‎【解析】对于函数y＝sin，T＝4π，且sin(－)＝－sin．故选A．‎ ‎7．的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接由二倍角的余弦公式，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由二倍角公式得：，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.‎ ‎8．在中，若，且，则的形状为（ ）‎ A．等边三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】由条件可得A为直角，结合，可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎，=，又，‎ 为等腰直角三角形，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量数量积表示两个向量的垂直关系，考查了三角形的形状，属于基础题.‎ ‎9．函数在区间上的最大值为（ ）‎ A．2 B．1 C． D．1或 ‎【答案】A ‎【解析】利用同角三角函数的基本关系化简函数f（x）的解析式为﹣（sinx﹣1）2+2，根据二次函数的性质，求得函数f（x）的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）＝cos2x+2sinx ‎＝1﹣sin2x+2sinx＝﹣（sinx﹣1）2+2， ‎ ‎∴sinx≤1，‎ ‎∴当sinx＝1时，函数f（x）取得最大值为2，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．‎ ‎10．函数的单调递减区间是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用三角函数的倍角公式，将函数进行化简，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ y＝sinxcosx＝sin2x，‎ 由2kπ≤2x≤2kπ，‎ 即kπ≤x≤kπ，k∈Z，‎ 所以函数的单调递减区间是，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的倍角公式将函数进行化简是解决本题的关键．‎ ‎11．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设图中对应三角函数最小正周期为T，从图象看出，T=，‎ 所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，‎ 即=，选D.‎ ‎12．将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数在上的最大值和最小值分别为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先化简f（x）,再结合函数图象的伸缩变换，得到函数y＝g（x）的解析式，进而根据正弦型函数最值的求法，求出函数的最大值与最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数，‎ ‎∴g（x） ‎ ‎∵x∈‎ ‎∴4x∈‎ ‎∴当4x时，g（x）取最大值1；‎ 当4x时，g（x）取最小值．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简及三角函数的最值问题，考查了伸缩变换及二倍角公式的灵活应用，属于中等题．‎ 二、填空题 ‎13．已知向量,其中，若，则的值为_________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】利用向量共线定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵∥，‎ ‎∴＝8，‎ 解得，其中，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量共线定理，考查了向量的坐标运算，属于基础题．‎ ‎14．_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用两角差的余弦函数化简求解即可．‎ ‎【详解】‎ cos（x+27°）cos（x﹣18°）+sin（x+27°）sin（x﹣18°）‎ ‎＝cos（x+27°﹣x+18°）‎ ‎＝cos45°‎ ‎．‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数应用，考查计算能力．‎ ‎15．若，则___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由已知结合两角和的正切求解．‎ ‎【详解】‎ 由，可知tan（α+β）＝1，得，‎ 即tanα+tanβ＝，‎ ‎∴ ‎ 故答案为1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和的正切公式的应用，是基础的计算题．‎ ‎16．函数关于直线对称，设，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据正弦及余弦函数的对称性的性质可得的对称轴为函数g（x）＝3cos（ωx+φ）+1的对称中心，即可求值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）的图象关于x对称 ‎∵f（x）＝3sin（ωx+φ）的对称轴为函数g（x）＝3cos（ωx+φ）+1的对称中心 故有则1‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦及余弦函数的性质属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．已知，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先利用同角三角函数的基本关系求得sinθ，再将所求用两角和的正弦公式展开，代入即可求得式子的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴sinθ=,‎ ‎∴θcos+cosθsin=+=.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式，属于基础题．‎ ‎18．（1）设 ，求与的夹角；‎ ‎（2） 设且与的夹角为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）61.‎ ‎【解析】（1）由已知中12，9，，代入平面向量的夹角公式，即可求出θ的余弦值，结合0°≤θ≤180°，即可得到答案．‎ ‎（2）利用数量积运算法则即可得出；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵12，9，，‎ ‎∴cosθ 又∵0°≤θ≤180°‎ 则θ＝135°‎ ‎（2）∵，，且与夹角为120°，‎ ‎∴6．‎ ‎∴42﹣（﹣6）﹣3×32＝61．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的数量积运算法则及其性质、夹角公式，属于基础题．‎ ‎19．已知，计算下列各式的值.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）将分子分母同除以，再将代入，得到要求式子的值．‎ ‎（2）先将变形为，再将分子分母同除以，求得要求式子的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴‎ ‎∴（1）将分子分母同除以，得到；‎ ‎（2）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．‎ ‎20．（本题满分12分）已知函数(R).‎ ‎（1）当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值;‎ ‎（2）若为锐角，且，求的值.‎ ‎【答案】(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)‎ ‎(1) 解:‎ ‎…… 1分 ‎…… 2分 ‎. …… 3分 ‎∴当,即Z时,函数取得最大值,其值为.‎ ‎…… 5分 ‎(2)解法1:∵, ∴. …… 6分 ‎∴. …… 7分 ‎∵为锐角，即, ∴.‎ ‎∴. …… 8分 ‎∴. …… 9分 ‎∴. …… 10分 ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴或(不合题意,舍去) …… 11分 ‎∴. …… 12分 解法2: ∵, ∴.‎ ‎∴. …… 7分 ‎∴. …… 8分 ‎∵为锐角，即,‎ ‎∴. …… 9分 ‎∴. …… 10分 ‎∴. …… 12分 解法3:∵, ∴.‎ ‎∴. …… 7分 ‎∵为锐角，即, ∴.‎ ‎∴. …… 8分 ‎∴…… 9分 ‎…… 10分 ‎. …… 12分 ‎【解析】（1）由倍角公式，辅助角公式，化简f（x），利用三角函数的图像和性质即可得解.‎ ‎（2）把代入f（x）的解析式得f（）的解析式，可求得，进而求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f（x）＝2sinxcosx+cos2x＝sin2x+cos2x，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴当，即Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为．‎ ‎（2）∵，∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵θ为锐角，‎ ‎∴． ‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数性质，同角三角函数的基本关系等知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎21．函数在内只取到一个最大值和一个最小值,且当时，；当时，.‎ ‎（1） 求出此函数的解析式;‎ ‎（2）求该函数的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意可得A=3，与是在一个周期内相邻的最小值与最大值点，因此可以得到周期，从而，再根据点在此函数图像上，可得，因此可以得到函数解析式为；（2）根据正弦函数在上单调递增，‎ 可令，解得，从而可以得到函数的单调递增区间为.‎ ‎（1）由题意得，∴，∴，‎ 又∵点在此函数图像上，∴，‎ ‎∵，∴，∴；‎ ‎（2）令，解得，‎ ‎∴此函数的单调递增区间为．‎ ‎【考点】正弦型函数的图像与性质.‎ ‎22．已知为的三个内角，向量与向量共线，且角为锐角.‎ ‎(1）求角的大小；‎ ‎（2）求函数的值域.‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据平行向量的坐标关系即可得到（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（sinA+cosA）（sinA﹣cosA）＝0，这样即可解出tan2A，结合A为锐角，即可求出A；‎ ‎（2）由B+C便得C，从而得到，利用二倍角的余弦公式及两角差的正余弦公式即可化简原函数y＝1+sin（B），由前面知0，从而可得到B的范围，结合正弦函数的图象即可得到的范围，即可得出原函数的值域．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由m∥n，得（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（sinA+cosA）（sinA﹣cosA）＝0，‎ 得到2（1-sin2A）-sin2A+cos2A=0，‎ 所以2cos2A-sin2A+cos2A=0，即3cos2A-sin2A =0‎ 得，所以,‎ 且为锐角，则.‎ ‎（2）由（1）知，，即,‎ ‎=,‎ 所以，=，‎ 且，则,‎ 所以，则，即函数的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平行向量的坐标的关系，同角基本关系及向量数量积的计算公式，考查了利用正弦函数的图象求最值及二倍角的余弦公式，两角差的正余弦公式等，属于综合题型．‎