第五章一元函数的导数及其应用5-1导数的概念及其意义5-1-2导数的概念及其几何意义课件新人教A版选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用5-1导数的概念及其意义5-1-2导数的概念及其几何意义课件新人教A版选择性必修第二册

5.1.2 　导数的概念及其几何意义 激趣诱思 知识点拨 跳水运动员的跳台距水面高度分为 5 米、 7 . 5 米和 10 米 3 种 , 奥运会、世界锦标赛等限用 10 米跳台 . 跳台跳水根据起跳方向和动作结构分向前、向后、向内、反身、转体和臂立 6 组 . 比赛时 , 男子要完成 4 个有难度系数限制的自选动作和 6 个无难度系数限制的自选动作 , 女子要完成 4 个有难度系数限制的自选动作和 4 个无难度系数限制的自选动作 . 每个动作的最高得分为 10 分 , 以全部动作完成后的得分总和评定成绩 . 如下图 , 若表示跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 h ( t ) =- 4 . 9 t 2 + 4 . 8 t+ 11 的图象 , 根据图象 , 请描述比较曲线 h ( t ) 在 t=t 0 , t 1 , t 2 附近的变化情况 . 激趣诱思 知识点拨 一、函数的平均变化率 对于函数 y=f ( x ), 设自变量 x 从 x 0 变化到 x 0 + Δ x , 相应地 , 函数值 y 就从 f ( x 0 ) 变化到 f ( x 0 + Δ x ) . 这时 , x 的变化量 Δ x , y 的变化量为 Δ y=f ( x 0 + Δ x ) -f ( x 0 ) . 叫做 函数 y=f ( x ) 从 x 0 到 x 0 + Δ x 的 平均 变化率 . 名师点析 1 . Δ x 是自变量的变化量 , 它可以为正 , 也可以为负 , 但不能等于零 , 而 Δ y 是相应函数值的变化量 , 它可以为正 , 可以为负 , 也可以等于零 . 2 . 函数平均变化率的物理意义 : 如果物体的运动规律是 s=s ( t ), 那么函数 s ( t ) 在 t 到 t+ Δ t 这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速率 , 即 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 函数 f ( x ) = 8 x- 6 在 [ m , n ] 上的平均变化率为 　　　　　 . 答案 : 8 答案 : C 激趣诱思 知识点拨 二、导数的 概念 名师点析 对于导数的概念 , 注意以下几点 : (1) 函数应在点 x 0 的附近有定义 , 否则导数不存在 ; (2) 导数是一个局部概念 , 它只与函数 y=f ( x ) 在 x=x 0 及其附近的函数值有关 , 与 Δ x 无关 ; (3) 导数的实质是一个极限值 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 Δ x ,Δ y 的值一定是正值吗 ? 平均变化率是否一定为正值 ? 提示 : Δ x ,Δ y 可正可负 ,Δ y 也可以为零 , 但 Δ x 不能为零 . 平均变化 率 可 正、可负、可为零 . 微练习 利用导数定义求函数 f ( x ) = 3 x- 2 在 x= 5 处的导数值 . 激趣诱思 知识点拨 三 、导数的几何意义 如图 , 在曲线 y=f ( x ) 上任取一点 P ( x , f ( x )), 如果当点 P ( x , f ( x )) 沿着曲线 y=f ( x ) 无限趋近于点 P 0 ( x 0 , f ( x 0 )) 时 , 割线 P 0 P 无限趋近于一个确定的位置 , 这个确定位置的直线 P 0 T 称为曲线 y=f ( x ) 在点 P 0 处的切线 . 则割线 P 0 P 的斜率 激趣诱思 知识点拨 记 Δ x=x-x 0 , 当点 P 沿着曲线 y=f ( x ) 无限趋近于点 P 0 时 , 即当 Δ x →0 时 , k 无限趋近于函数 y=f ( x ) 在 x=x 0 处的导数 . 因此 , 函数 f ( x ) 在 x=x 0 处的导数 f' ( x 0 ) 就是切线 P 0 T 的斜率 k 0 , 即 这就是导数的几何意义 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 若函数 f ( x ) 在 x= 3 处的导数 f' (3 ) = , 则曲线 f ( x ) 在 (3, f (3)) 处的切线的倾斜角 θ = 　　　　 .   答案 : 60 ° 激趣诱思 知识点拨 微思考 (1) 如何求曲线 f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线方程 ? 提示 : 根据导数的几何意义 , 求出函数 y=f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的导数 , 即曲线在该点处的切线的斜率 , 再由直线方程的点斜式求出切线方程 . (2) 曲线 f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线与曲线过点 ( x 0 , y 0 ) 的切线有什么不同 ? 提示 : 曲线 f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线 , 点 ( x 0 , f ( x 0 )) 一定是切点 , 只要求出 k=f' ( x 0 ), 利用点斜式写出切线方程即可 ; 而曲线 f ( x ) 过某点 ( x 0 , y 0 ) 的切线 , 给出的点 ( x 0 , y 0 ) 不一定在曲线上 , 即使在曲线上也不一定是切点 . 激趣诱思 知识点拨 (3) 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点 ? 提示 : 不一定 . 曲线 y=f ( x ) 在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线 l 与曲线 y=f ( x ) 的交点个数不一定只有一个 , 如图所示 . 激趣诱思 知识点拨 四、导函数 对于函数 y=f ( x ), 当 x=x 0 时 , f' ( x 0 ) 是一个确定的数 . 当 x 变化时 , y=f' ( x ) 就是 x 的函数 , 我们称它为 f ( x ) 的 导函数 ( 简称 导数 ) .y=f ( x ) 的导函数有时也记作 y' , 即 名师点析 导数与导函数之间既有区别又有联系 , 导数是对一个点而言的 , 它是一个确定的值 , 与给定的函数及 x ( 或 x 0 ) 的位置有关 , 而与 Δ x 无关 ; 导函数是对一个区间而言的 , 它是一个确定的函数 , 依赖于函数本身 , 也与 Δ x 无关 . 激趣诱思 知识点拨 微 练习 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 求函数的平均变化率 例 1 已知函数 f ( x ) = - x 2 , 求它在下列区间上的平均变化率 : (1)[1,3];(2)[ - 4, - 2];(3)[ x 0 , x 0 + Δ x ] . 分析 : 根据平均变化率的定义求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 求函数平均变化率的步骤 (1) 先计算函数值的改变量 Δ y=f ( x 1 ) -f ( x 0 ); (2) 再计算自变量的改变量 Δ x=x 1 -x 0 ; 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 函数 f ( x ) =x 2 - 1 在 x 0 到 x 0 + Δ x 之间的平均变化率为 ( 　　 ) A.2 x 0 - 1 B.2 x 0 + Δ x C.2 x 0 Δ x+ (Δ x ) 2 D.(Δ x ) 2 - Δ x+ 1 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 利用导数的定义求函数的导数 例 2 (1) 求函数 y=x- 在 x=- 1 处的导数 ; (2) 求函数 f ( x ) =-x 2 + 3 x 的导数 . 分析 : (1) 可按照函数导数的定义分步求解 ;(2) 可以直接利用函数在某一点处的导数的定义求解 , 也可先求出函数的导函数 , 再计算导函数在 x=- 1 处的函数值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 利用定义求函数 f ( x ) 的导数的步骤 : (1) 求函数值的改变量 Δ y=f ( x+ Δ x ) -f ( x ); 2 . 求函数 f ( x ) 在某一点 x 0 处的导数 , 通常可以有两种方法 : 一是直接利用函数在某一点 x 0 处的导数的定义求解 ; 二是先利用导数的定义求出函数的导函数 , 再计算导函数在 x 0 处的函数值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 (1) 已知 f ( x ) =x 2 - 3 x , 则 f' (0) = ( 　　 ) A.Δ x- 3 B.(Δ x ) 2 - 3Δ x C. - 3 D.0 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 导数定义式的理解与 应用 A. f' ( x 0 ) B. f' ( -x 0 ) C. -f' ( x 0 ) D. -f' ( -x 0 ) 分析 : 将所给极限式进行整理 , 构造出导数定义中的极限式进行求解 . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 导数定义式的变形应用 在导数的定义式中 , 自变量的增量 Δ x 可以有多种表达形式 , 但不论采用哪种形式 ,Δ y 中自变量的增量 Δ x 都必须用相应的形式 , 如将 Δ x 变为 m Δ x , 则 Δ y=f ( x 0 +m Δ x ) -f ( x 0 ), 只有这样 , 才有 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 导数几何意义的应用 例 4 已知曲线 C : y=x 3 . (1) 求曲线 C 在横坐标为 x= 1 的点处的切线方程 ; (2) 求曲线 C 过点 (1,1) 的切线方程 . 分析 : (1) 求 y'| x= 1 → 求切点 → 点斜式方程求切线 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : (1) 将 x= 1 代入曲线 C 的方程得 y= 1, ∴ 切点 P (1,1) . ∴ k=y'| x= 1 = 3 . ∴ 曲线在点 P (1,1) 处的切线方程为 y- 1 = 3( x- 1), 即 3 x-y- 2 = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 导数与斜率的关系及 应用 2 . 利用导数的几何意义求曲线 y=f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线方程的步骤 : (1) 求函数 f ( x ) 在 x 0 处的导数 , 即切线的斜率 ; (2) 根据直线方程的点斜式可得切线方程为 y-f ( x 0 ) =f' ( x 0 )( x-x 0 ) . 3 . 运用导数的几何意义解决切线问题时 , 一定要注意所给的点是否恰好在曲线上 . 若点在曲线上 , 则该点的导数值就是该点处的切线的斜率 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 第 (1) 小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点 ? 从而求得公共点为 P (1,1) 或 M ( - 2, - 8), 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外 , 还有另一个公共点 ( - 2, - 8) . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 根据切线斜率求切点坐标 典例 过曲线 y=x 2 上某点 P 的切线满足下列条件 , 分别求出 P 点 . (1) 平行于直线 y= 4 x- 5; (2) 垂直于直线 2 x- 6 y+ 5 = 0; (3) 与 x 轴成 135 ° 的倾斜角 . (1) ∵ 切线与直线 y= 4 x- 5 平行 , ∴ 2 x 0 = 4, x 0 = 2, y 0 = 4, 此时切线方程是 y- 4 = 4( x- 2), 即 y= 4 x- 4, 与直线 y= 4 x- 5 平行 , ∴ P (2,4) 是满足条件的点 . (2) ∵ 切线与直线 2 x- 6 y+ 5 = 0 垂直 , 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1) 设切点坐标 ( x 0 , y 0 ); (2) 求导函数 f' ( x ); (3) 求切线的斜率 f' ( x 0 ); (4) 由斜率间的关系列出关于 x 0 的方程 , 解方程求 x 0 ; (5) 将 x 0 代入 f ( x ) 求 y 0 , 得切点坐标 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 已知曲线 y= 2 x 2 - 7 在点 P 处的切线方程为 8 x-y- 15 = 0, 求切点 P 的坐标 . 得 k= 4 m. 由题意可知 4 m= 8, ∴ m= 2, 代入 y= 2 x 2 - 7, 得 n= 1 . 故所求切点 P 为 (2,1) . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1 . (2020 陕西高二期末 ) 已知函数 f ( x ) 在 x=x 0 处的导数为 2, 则 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 函数 f ( x ) =x 2 在 x= 1 处的瞬时变化率是 　　　　 .   答案 : 2 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测