高中数学选修2-2教学课件导数知识准备

高中数学选修2-2教学课件导数知识准备

微积分初步 知识准备：极 限 与 连 续 （一）函数极限 1 、 数列极限 按一定规律排列的一串数 称为数列，记为 。第 n 项称为数列的通项。数列可看作是定义在正整数集合上的函数， 即 （ n=1,2,3 …… ） 讨论 n 无限增大时 的变化趋势： 数列的极限 定义 给定数列｛ x n ｝，如果当 n 无限增大时， x n 无限地趋近某个固定的常数 A ，则称当 n 趋于无穷时，数列｛ x n ｝以 A 为 极限 。记为 这时也称数列 ｛ x n ｝ 是 收敛 的。 2 、 函数极限 定义： 函数 ，若当 趋近于○时，函数 趋近一个确定的常数 A ，则称当 趋于○时，函数 以 A 为极限。 记为 注意： 1 、以上是一个符号系统，构成极限定义， 缺一不可； 2 、极限过程 x→○ 是指 x→x 0 , x→x 0 － , x→x 0 ＋ , x→∞, x→ ＋∞ , x→ －∞中的一种。 左极限和右极限 定义 设函数 f （ x ）在点 x 0 的某个领域内（点 x 0 可以除外）有定义，如果当 x ＜ x 0 且 x 无限地趋近于 x 0 （即 x 从 x 0 的左侧趋于 x 0 ，记为 x →x 0 - ）时，函数 f （ x ）无限地趋近于某个固定常数 A ，则称当 x 趋于 x 0 时， f （ x ）以 A 为左极限 ，记作 如果当 x ＞ x 0 且 x 无限地趋近于 x 0 （即 x 从 x 0 的右侧趋于 x 0 ，记为 x → x 0 + ）时，函数 f （ x ）无限地趋近于某个固定常数 A ，则称当 x 趋于 x 0 时， f （ x ）以 A 为 右极限 ，记作 3 、 极限存在的充要条件 定理 当 x→x 0 时，函数 f （ x ）极限存在的充分必要条件是当 x→x 0 时，函数 f （ x ）的左、右极限都存在且相等，即 （四）、无穷小量 定义 在自变量的某个变化过程中，以 0 为极限的变量是无穷小量，简称无穷小，常用希腊字母 α ， β ， γ 等表示 定理 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量 例、设函数 求 x=0 点的左右极限，并判断在 x=0 点是否存在极限 解： 因为在 x=0 处左右极限不相等，所以在 x=0 处极限不存在 4 、 无穷小量与无穷大量 以零为极限的变量称为无穷小量； 绝对值越来越大且趋于正无穷大的变量称为无穷大量。 无穷小量与无穷大量的关系是： 无穷小量的重要性质： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 如 当 时， 是无穷小量 5 、极限的四则运算 对某一极限过程 x→○ ， 若 limu ＝ A ， limv ＝ B ，则有： 1 、 lim(u±v) ＝ limu±limv ＝ A±B ； 2 、 lim(u·v) ＝ limu·limv ＝ AB 若 v ＝ c (c 是常量 ) ，有 lim(cu) ＝ climu ＝ cA ； 3 、 推论：①、 limu n ＝ (limu) n ＝ A n （ n 为自然数） ②、 lim （ n 为自然数） ③、 limC ＝ C （ C 是常数） 两个重要极限推广形式 或 注： 这里教材中相应公式原来 x 的位置，统统被 “ （） ” 取代，它可以是任一有意义的函数，这时的公式实际比原公式应用更广。并给学者提供了想象空间，不具体给出函数形式。 二、函数的连续性 （一）函数的连续性与连续函数 定义 设函数 f （ x ）在点 x 0 的某个领域内有定义，并满足 则称函数 f （ x ）在点 x 0 处 连续 ，点 x 0 称为函数 f （ x ）的 连续点 若 ，则称 f （ x ）在点 x 0 处 左连续 若 ，则称 f （ x ）在点 x 0 处 右连续 二、函数的连续性 （二）函数的连续性 结论 函数在一点处连续的定义蕴涵着三层含义： （ 1 ）函数 f （ x ）在点 x 0 处有定义 （ 2 ）函数 f （ x ）在点 x 0 处的极限存在 （ 3 ）函数 f （ x ）在点 x 0 处的函数值等于其极限值 （二）函数的间断点 函数 f （ x ）在点 x 0 处连续，三个条件必须同时满足，且缺一不可。若有一个条件不成立，则函数 f （ x ）在点 x 0 处不连续，这时称函数 f （ x ）在点 x 0 处发生间断，使函数 f （ x ）发生间断的点 x 0 称为函数的间断点 （三）连续函数的运算 1 、连续函数的运算法则 定理 设函数 f （ x ）， g （ x ）是连续函数，则下列函数 在其有定义的区间内也连续 2 、连续函数的有关结论 （ 1 ）多项式函数 在实数域内是连续的 （ 2 ）有理函数 在分母不为 0 的点都是连续的 （ 3 ）初等函数在其定义区间内都是连续的 4 、对数函数 5 、三角函数 （ 1 ）正弦函数 y=sinx （ 2 ）余弦函数 y=cosx （ 3 ）正切函数 y=tanx （ 4 ）余切函数 y=cotx 基本初等函数 1 、常数函数 y=c （ c 为常数） 2 、幂函数 3 、指数函数 2 、间断点 函数的不连续点称为间断点 例：求下列函数的间断点 1 、 2 、 3 、 解： 1 、 x=1 （无定义） 2 、 x=0 （极限不存在） 3 、 x=0 （极限值不等于函数值） 3 、利用连续性求极限 由 可知 连续函数极限符号与函数符号可以交换 如 l          极限的四则运算法则； l           两个重要极限； l           函数的连续性。 具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件，否则会在运算中出现错误。 （三）极限的计算方法： 例 求下列极限 1 、 解： 当 时分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法则 2 、 解： 当 时分式的分子、分母的极限都为 0 ，且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化 3 、 、 解：当时分式的分子、分母的极限都为 0 ，且分式的分子、分母均为的二次多项式，遇到此情形需先分解因式，消去极限为零的因式再用除法法则 4 、 解：先进行恒等变形，在利用第 2 个重要极限 5 、 解：利用第一个重要极限 对照练习 1 、求下列极限 1 、 2 、 3 、 4 、 对照练习 1 、答案 1 、 2 、 、 3 、 4 、 e 2 思考 设函数　　                           　　 问：　　 （ 1 ）当 a,b 为何值时，       在 x=0 处有极限存在；　　 （ 2 ）当 a,b 为何值时，       在 x=0 处连续。 再 见