高中数学人教a版选修1-1学业分层测评17函数的极值与导数word版含解析

高中数学人教a版选修1-1学业分层测评17函数的极值与导数word版含解析

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．函数 y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极值情况是( ) A．极大值为 5，极小值为－27 B．极大值为 5，极小值为－11 C．极大值为 5，无极小值 D．极小值为－27，无极大值 【解析】 y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)， 令 y′＝0，得 x＝－1或 x＝3. 当－2＜x＜－1时，y′＞0； 当－1＜x＜2时，y′＜0. 所以当 x＝－1时，函数有极大值，且极大值为 5；无极小值． 【答案】 C 2．已知函数 f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在 x＝2处有极值，则该函 数的一个递增区间是( ) A．(2,3) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，3) 【解析】 因为函数 f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在 x＝2处有极值， 所以有 f′(2)＝0，而 f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得 a＝－15.现令 f′(x) ＞0，解得 x＞3或 x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)． 【答案】 B 3．设函数 f(x)＝xex，则( ) A．x＝1为 f(x)的极大值点 B．x＝1为 f(x)的极小值点 C．x＝－1为 f(x)的极大值点 D．x＝－1为 f(x)的极小值点 【解析】 ∵f(x)＝xex， ∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)． ∴当 f′(x)≥0时， 即 ex(1＋x)≥0，即 x≥－1， ∴x≥－1时，函数 f(x)为增函数． 同理可求，x<－1时，函数 f(x)为减函数． ∴x＝－1时，函数 f(x)取得极小值． 【答案】 D 4．(2016·邢台期末)函数 f(x)＝1 3 ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条 件是( ) A．a＞1或 a≤0 B．a＞1 C．0＜a＜1 D．a＞1或 a＜0 【解析】 f(x)有极值的充要条件是 f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两 个不相等的实根，即 4a2－4a＞0，解得 a＜0或 a＞1.故选 D. 【答案】 D 5．已知 a∈R，且函数 y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则 ( ) A．a<－1 B．a>－1 C．a<－1 e D．a>－1 e 【解析】 因为 y＝ex＋ax，所以 y′＝ex＋a. 令 y′＝0，即 ex＋a＝0，则 ex＝－a，即 x＝ln(－a)，又因为 x>0， 所以－a>1，即 a<－1. 【答案】 A 二、填空题 6．(2016·临沂高二检测)若函数 y＝－x3＋6x2＋m 的极大值为 13， 则实数 m 等于__________． 【解析】 y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)． 由 y′＝0，得 x＝0或 4. 且 x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′<0；x∈(0,4)时，y′>0. ∴x＝4时函数取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得 m＝－19. 【答案】 －19 7．函数 f(x)＝aln x＋bx2＋3x 的极值点为 x1＝1，x2＝2，则 a＝ ________，b＝________. 【导学号：26160089】 【解析】 f′(x)＝a x ＋2bx＋3＝2bx2＋3x＋a x ， ∵函数的极值点为 x1＝1，x2＝2， ∴x1＝1，x2＝2是方程 f′(x)＝2bx2＋3x＋a x ＝0的两根，也即 2bx2 ＋3x＋a＝0的两根． ∴由根与系数的关系知 － 3 2b ＝1＋2， a 2b ＝1×2， 解得 a＝－2， b＝－ 1 2 . 【答案】 －2 － 1 2 8．已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数 f′(x)的图象如图 3－3 －7所示，则函数的极小值是________． 图 3－3－7 【解析】 由图象可知， 当 x<0时，f′(x)<0， 当 00， 故 x＝0时，函数 f(x)取到极小值 f(0)＝c. 【答案】 c 三、解答题 9．设 a 为实数，函数 f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求 f(x)的单调区 间与极值． 【解】 由 f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知 f′(x)＝ex－2，x∈R. 令 f′(x)＝0，得 x＝ln 2.于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情 况如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 2(1－ln 2＋a) 故 f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋ ∞)． 所以 f(x)在 x＝ln 2 处取得极小值，极小值为 f(ln 2)＝eln 2－2ln 2 ＋2a＝2(1－ln 2＋a)． 10.函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 的图象如图 3－3－8所示，且与 y ＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，求 a，b，c 的值． 图 3－3－8 【解】 ∵函数的图象经过(0,0)点，∴c＝0. 又图象与 x 轴相切于(0,0)点，且 f′(x)＝3x2＋2ax＋b. ∴f′(0)＝0，即 0＝3×02＋2a×0＋b，得 b＝0. ∴f(x)＝x3＋ax2. 令 f(x)＝x3＋ax2＝0，得 x＝0或 x＝－a，由图象知 a<0. 令 f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)＝0， ∴当 0－2 3 a 时，f′(x)>0. ∴当 x＝－ 2 3 a 时，函数有极小值－4. 即 － 2 3 a 3＋a － 2 3 a 2＝－4，解得 a＝－3. ∴a＝－3，b＝0，c＝0. [能力提升] 1．设函数 f(x)的定义域为 R，x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点，以下 结论一定正确的是( ) A．∀x∈R，f(x)≤f(x0) B．－x0是 f(－x)的极小值点 C．－x0是－f(x)的极小值点 D．－x0是－f(－x)的极小值点 【解析】 不妨取函数为 f(x)＝x3－3x，则 f′(x)＝3(x－1)(x＋1)， 易判断 x0＝－1为 f(x)的极大值点，但显然 f(x0)不是最大值，故排除 A； 因为 f(－x)＝－x3＋3x，f′(－x)＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1 为 f(－x)的极大值点，故排除 B； 又－f(x)＝－x3＋3x，[－f(x)]′＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1 为－f(x)的极大值点，故排除 C； ∵－f(－x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称 性，可得－x0应为函数－f(－x)的极小值点．故 D正确． 【答案】 D 2．如图 3－3－9所示是函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的大致图象， 则 x21＋x 22等于( ) 图 3－3－9 A.2 3 B.4 3 C.8 3 D.12 3 【解析】 函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象过点(0,0)，(1,0)， (2,0)，得 d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则 b＝－3，c＝2，f′(x) ＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且 x1，x2是函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的两个极值点，即 x1，x2是方程 3x2－6x＋2＝0的实根，x21＋x22＝(x1 ＋x2)2－2x1x2＝4－4 3 ＝ 8 3 . 【答案】 C 3．已知函数 f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c 在 x＝2处有极值，其图象 在 x＝1处的切线平行于直线 6x＋2y＋5＝0，则极大值与极小值之差 为________. 【导学号：26160090】 【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b， ∴ 3×22＋6a×2＋3b＝0， 3×12＋6a×1＋3b＝－3 ⇒ a＝－1， b＝0. ∴f′(x)＝3x2－6x， 令 3x2－6x＝0，得 x＝0或 x＝2， ∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4. 【答案】 4 4．若函数 f(x)＝2x3－6x＋k 在 R 上只有一个零点，求常数 k 的 取值范围． 【解】 f(x)＝2x3－6x＋k， 则 f′(x)＝6x2－6， 令 f′(x)＝0，得 x＝－1或 x＝1， 可知 f(x)在(－1,1)上是减函数， f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， f(x)的极大值为 f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为 f(1)＝－4＋k. 要使函数 f(x)只有一个零点， 只需 4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)， 即 k＜－4或 k＞4. ∴k 的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．