2019-2020学年安徽省“庐巢六校联盟”高二上学期第二次段考数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省“庐巢六校联盟”高二上学期第二次段考数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省“庐巢六校联盟”高二上学期第二次段考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知点，，则线段的中点的坐标为（     ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用中点坐标公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为点，，‎ 线段的中点的坐标为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查中点坐标公式，是基础题.‎ ‎2．如果直线与直线互相垂直，则实数（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由直线的垂直关系可得，解方程可得结果.‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率为，‎ 直线的斜率为，‎ 直线与直线互相垂直，‎ ‎，解得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） ；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.‎ ‎3．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么　(　　)‎ A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上 C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上 ‎【答案】A ‎【解析】如图，因为EF∩HG=M，‎ 所以M∈EF，M∈HG，‎ 又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，‎ 故M∈平面ABC，M∈平面ADC，‎ 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A.‎ 点睛：证明点在线上常用方法 先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线。‎ ‎4．已知，是相异两平面；是相异两直线，则下列命题中假命题的是 （    ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】在A中，由直线与平面垂直的判定定理可得真假；‎ 在B中，由平面与平面平行的判定定理可得真假；‎ 在C中，与平行或异面；‎ 在D中，由平面与平面垂直的判定定理可得真假．‎ ‎【详解】‎ 解：在A中：若，，则由直线与平面垂直的判定定理得，故A正确； 在B中：若，，则由平面与平面平行的判定定理得，故B正确； 在C中：若，，则与平行或异面，故C错误； 在D中：若，，则由平面与平面垂直的判定定理得，故D正确． 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．‎ ‎5．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】利用异面直线的定义域性质结合充分必要条件判断即可求解 ‎【详解】‎ ‎“这两条直线为异面直线”则“这两条直线没有公共点”‎ 反之，两条直线没有公共点，则两直线可以平行或异面，故“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断，熟记异面直线性质是关键，是基础题 ‎6．直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　)‎ A．－24 B．24 C．6 D．±6‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵直线和直线的交点在 轴上，可设交点坐标为 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选A ‎7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 A．17π B．18π C．20π D．28π ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：‎ 是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．‎ ‎【考点】三视图及球的表面积与体积 ‎【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.‎ ‎8．两圆与的公共弦长等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长．‎ ‎【详解】‎ ‎∵两圆为x2+y2+4x﹣4y＝0①，x2+y2+2x﹣12＝0，②‎ ‎①﹣②可得：x﹣2y+6＝0．‎ ‎∴两圆的公共弦所在直线的方程是x﹣2y+6＝0，‎ ‎∵x2+y2+4x﹣4y＝0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2，‎ ‎∴圆心到公共弦的距离为d＝0，‎ ‎∴公共弦长＝4．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆与圆的位置关系，求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．‎ ‎9．若分别为直线与上任意一点，则的最小值为（ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】转化两点的距离为平行线之间的距离，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：分别为直线与上任意一点，‎ 则的最小值为两条平行线之间的距离， 即， 所以的最小值为：． 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平行线之间的距离的求法，注意转化思想的应用，考查计算能力．‎ ‎10．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q ‎；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是(　　)‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题正确，对于命题，当为负数时不成立，即命题不正确，所以根据真值表可得 为真命题，故选C.‎ ‎【考点】1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.‎ ‎11． 若x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是(　　)‎ A．－5 B．5－‎ C．30－10 D．无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】由x2＋y2－2x＋4y－20＝0得，设圆心，则x2＋y2的最小值是,选C.‎ 点睛：与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．‎ ‎12．如图4，正三棱柱中，各棱长都相等，则二面角的平面角的正切值为（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】 设棱长为的中点为，连接，‎ ‎ 由正三棱柱中，个棱长都相等，‎ ‎ 可得， 所以二面角的平面角为，‎ ‎ 在中，，所以，‎ ‎ 即二面角的平面角的正切值为，故选D.‎ ‎ 点睛：本题主要考查了二面角的平面角及其求法，解答此类问题的关键在于通过取的中点，得出二面角的平面角为，进而放置在三角形中求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生推理与运算能力.‎ 二、填空题 ‎13．命题“”的否定是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用全称命题的否定可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 由全称命题的否定可知，命题“”的否定是“，‎ ‎”，故答案为：“，”.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题的否定，熟记全称命题与特称命题的否定形式是解本题的关键，属于基础题。‎ ‎14．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等边三角形边长为，则，‎ ‎∴，即圆锥底面的圆半径为，‎ 圆锥的高，母线长为，‎ 侧面积．‎ ‎15．过点且与两定点、等距离的直线方程为_________.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】①过点且与过两定点、的直线平行时满足条件，求出斜率，利用点斜式可写出直线方程； ②经过点A（1，2）且过两定点、中点时满足条件，求出中点，利用点斜式可写出直线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：①过两定点、的直线斜率为：， 则过点的直线且与过两定点、的直线平行的直线为：，即； ②两定点、所在线段的中点为．则经过点A（1，2）且过两定点、中点的直线为：，即． 综上可得：满足条件的直线方程为：，． 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎16．如图所示，在圆锥中，为底面圆的两条直径，，且,，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于与是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线与所成角，由此连接OP再利用中位线的性质得到异面直线与所成角为 ‎ ,并求出其正切值。‎ ‎【详解】‎ 连接，则，‎ 即为异面直线与所成的角，‎ 又，，，‎ 平面，‎ ‎，‎ 即，‎ 为直角三角形，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了异面直线所成角的计算，关键是利用三角形中位线的性质使异面直线平移为相交直线。‎ 三、解答题 ‎17．已知直线的倾斜角为且经过点.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）求点关于直线的对称点的坐标.‎ ‎【答案】（1）x＋y－2＝0；（2）(－2,－1)‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）由题意得直线的斜率为，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 即.‎ ‎（2）设点，‎ 由题意得 ‎ 解得．‎ ‎∴点的坐标为.‎ ‎18．已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．‎ 若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ 若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）若为真命题，则应有，解得实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，则，应一真一假，进而实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若为真命题，则应有，解得； ‎ ‎（2）若为真命题，则有，即，‎ 因为为真命题，为假命题， ‎ 则，应一真一假.‎ ‎①当真假时，有，得；‎ ‎②当假真时，有，无解，综上，的取值范围是.‎ ‎19．已知曲线是动点到两个定点、距离之比为的点的轨迹. ‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）求过点且与曲线相切的直线方程.‎ ‎【答案】（1）；(2），。‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）在给定的坐标系里，设点。‎ 由及两点间的距离公式，得， ①‎ 将①式两边平方整理得：‎ 即所求曲线方程为：。‎ ‎（2）由（1）得，其圆心为，半径为。‎ i)当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，显然与圆相切；‎ ii) 当过点的直线的斜率存在时，设其方程为 即 由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，得 ‎，解得，‎ 此时直线方程为 所以过点与曲线相切的直线方程为或。‎ ‎20．如图所示的多面体中，四边形是的正方形，平面平面，点分别为、的中点. ‎ ‎ ‎ 求证：（1）平面；  ‎ ‎（2）平面.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）连接，证明，进而可得平面；‎ ‎（2）利用可证面面垂直的性质，线面垂直的性质可证AD⊥BC，进而利用线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面ACD．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）连接，‎ 因为四边形是的正方形，点为的中点，‎ 所以点为的中点，又点为的中点，‎ 所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（2）因为四边形是的正方形，‎ 所以，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以，‎ 又，平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间线面关系、面面关系等知识，考查空间想象能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎21．已知圆：，点，. ‎ ‎（1）若线段的中垂线与圆相切，求实数的值；‎ ‎（2）过直线上的点引圆的两条切线，切点为，若，则称点为“好点”. 若直线上有且只有两个“好点”，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）求出的中点坐标，直线的斜率，可得的中垂线方程，利用直线与圆相切，求解即可． （2）连接，先求出圆的方程，直线上有且只有两个“好点”，推出圆心到直线的距离，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，得：‎ 的中点坐标为，直线的斜率为，‎ 所以的中垂线方程为，即，‎ 又因为的中垂线与圆相切，‎ 所以圆心到中垂线的距离，‎ 即； ‎ ‎（2）连接，‎ 在中，，，‎ 所以，‎ 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，记为圆，‎ 则圆的方程为，‎ 又因为直线的方程为，且直线上有且只有两个“好点”，‎ 则直线与圆相交，‎ 所以圆心到直线的距离，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎22．已知三棱锥中：，，，是的中点，是的中点. ‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）连结，推导出，，．从而平面，由此能证明平面平面； （2）推导出，，从而平面，进而．设点到平面的距离为，由，能求出点到平面的距离．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）连结，‎ 在中：，是中点，‎ ‎∴‎ 又∵，，‎ ‎∴. ‎ ‎∵，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴. ‎ 又，平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面. ‎ ‎（2）∵是的中位线，∴. ‎ ‎∵是中点，，‎ ‎∴. ‎ 又平面平面，两平面的交线为，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴. ‎ 设点到平面的距离为，则，‎ ‎∴，‎ 又在中，，，‎ 在中，‎ ‎∴点到平面的距离：‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题.‎