【推荐】专题3-4+生活中的优化问题举例-试题君之课时同步君2017-2018学年高二数学人教版（选修1-1）x

【推荐】专题3-4+生活中的优化问题举例-试题君之课时同步君2017-2018学年高二数学人教版（选修1-1）x

第三章导数及其应用 ‎3.4 生活中的优化问题举例 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为，那么速度为零的时刻是 A．0秒 B．1秒末 C．2秒末 D．1秒末和2秒末 ‎【答案】D ‎2．现做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为 A．cm B．100cm C．20cm D．cm ‎【答案】A ‎【解析】设高为xcm，则底面半径为cm，‎ 所以圆锥形漏斗的体积，，‎ 令，得或（舍去），则当cm时，体积最大．故选A．‎ ‎3．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为，高为3m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为 A．900元 B．840元 C．818元 D．816元 ‎【答案】D ‎【解析】设箱底一边的长度为m，箱子的总造价为元，‎ 根据题意，得，．‎ 令，解得或(舍去)．当时，；当时，；‎ 故当时，取得最小值，为816．‎ 因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D．‎ 二、填空题：请将答案填在题中横线上．‎ ‎4．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为______________．‎ ‎【答案】和 ‎5．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为______________万件．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】由，得，由，得（舍去），．‎ 当时，，函数为增函数；‎ 当时，，函数为减函数，‎ 所以当时，函数有极大值，也就是最大值，为（万元）．‎ 故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎6．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎（1）求的值及的表达式；‎ ‎（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．‎ ‎【答案】（1），；（2）隔热层5cm厚时，总费用最小为70万元．‎ ‎（2），令，解得或（舍去）．‎ 当时，；当时，，‎ 故是的最小值点，对应的最小值是．‎ 故当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．‎ ‎7．请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．‎ ‎（1）某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？‎ ‎（2）某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时取得最大值，包装盒的高与底面边长的比值为．‎ ‎（2）， 由，得(舍去)或．‎ 当时，；当时，．‎ 所以当时，取得极大值，也是最大值．‎ 此时，即包装盒的高与底面边长的比值为．‎ ‎8．如图1，，，过动点A作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示）．则当的长为多少时，三棱锥的体积最大？‎ 图1 图2‎ ‎【答案】当时，三棱锥的体积最大．‎ ‎【解析】在如题图1所示的中，设，则．‎ 由， 知，为等腰直角三角形，所以．‎ 由折起前知，折起后（如题图2），，，且，‎ 所以平面．‎ 因为，所以．‎ 于是．‎ 令，由，且，解得．‎ 当时，；当时，．‎ 所以当时，取得最大值．‎ 故当时，三棱锥的体积最大．‎ ‎9．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（）千元．设该容器的建造费用为y千元．‎ ‎（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎（2）求该容器的建造费用最小时的r．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 因为，所以，当时，．‎ 令，则．所以．‎ ‎①当，即时，令，解得．‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增．‎ 所以是函数的极小值点，也是最小值点．‎ ‎②当，即时，当时，，函数单调递减，‎ 所以是函数的最小值点．‎ 综上所述，当时，该容器的建造费用最小时；‎ 当时，该容器的建造费用最小时．‎ ‎10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．‎ ‎（1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；‎ ‎（2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析．‎ ‎（2）因为V(r)＝(300r－4r3)（），所以．‎ 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝（因为r2＝不在定义域内，舍去）．‎ 当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数；‎ 当r∈(5，)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，)上为减函数．‎ 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．‎ 本学期结束 ‎ ‎