天津市天津一中11-12学年高二数学上学期期中考试试题 理

天津市天津一中11-12学年高二数学上学期期中考试试题 理

天津一中2011—2012学年第一学期期中 高二数学试卷(理科)‎ 一、选择题（每题3分，共30分）‎ ‎1．如图是一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为 正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（ ）‎ A．6 B．‎12‎ C．24 D．3‎ ‎2．已知正方体的外接球的体积为π，则该正方体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．32‎ ‎3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）‎ A．至多只能有一个是直角三角形 B．至多只能有两个是直角三角形 C．可能都是直角三角形 D．必然都是非直角三角形 ‎4．对于平面和直线，内至少有一条直线与直线（ ）‎ A．平行 B． 垂直 C．异面 D．相交 ‎5．已知是两条不同直线,是三个不同平面，正确命题的个数是（ ）‎ ‎①若，，则// ②若，，则//‎ ‎③若，，则 ④若//，//，则//‎ ‎⑤若//，//，则//‎ A B C S E F A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎6．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，‎ 那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）‎ A． 90° B．45° C．60° D．30° ‎ ‎7．如图，ABCD－A1B‎1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）‎ A．BD∥平面CB1D1‎ B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1‎ D．异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ‎8．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是（ ）‎ A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎9．已知平行六面体，，，，是四边形的中心，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B‎1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（ ）‎ A．直线AB上 B．直线AC上 C．直线BC上 D．△ABC内部 二、填空题（每题4分，共24分）‎ ‎11．中，，将三角形绕AC边旋转一周所成的几何体的体积为__________．‎ ‎12．在△ABC中，C＝90°，AB＝8，B＝30°，PC⊥平面ABC，PC＝4，P′是AB边上动点，则PP′的最小值为 ．‎ ‎13．如右图，E、F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．‎ ‎14．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为 ． ‎ ‎15．正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于 ．‎ ‎16．正三棱柱的各棱长都为1，为的中点，则点到截面的距离为 ．‎ 三、解答题(共4题，46分)‎ ‎17．如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，‎ AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF//平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD ‎18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.‎ ‎（1）求证：PB⊥DM；‎ ‎（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．‎ ‎19．如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD ‎（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎（2）证明平面AMD平面CDE；‎ ‎（3）求二面角A-CD-E的余弦值．‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ ‎20．如图，正四棱柱中，，点在上且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值大小．‎ 参考答案：‎ 一、选择题：‎ ‎1．C 2．D 3．C 4．B 5．A ‎6．B 7．D 8．C 9．D 10．A 二、填空题：‎ ‎11．‎ ‎12．‎ ‎13．‎ ‎14．‎ ‎15．‎ ‎16．‎ 三、解答题：‎ ‎17．证明：‎ ‎（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，‎ 又 直线EF‖平面PCD ‎（2） F是AD的中点，‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，‎ 所以，平面BEF⊥平面PAD。‎ ‎18．‎ ‎（1）证明：‎ 设BC=1‎ P（0，0，2）‎ B（2，0，0）‎ D（0，2，0）‎ C（2，1，0）‎ M（1，，1）‎ ‎∴PB⊥DM ‎（2）‎ 设平面ADMN的法向量 取z=-1‎ 设直线CD与平面ADMN成角为θ ‎19．‎ ‎（1）BCFE ……………………1分 ‎∴BCEF是□‎ ‎∴BF//CE ‎∴∠CED或其补角为BF与DE所成角 ……………………2分 取AD中点P连结EP和CP ‎∵FEAP ‎∴FAEP 同理ABPC 又FA⊥平面ABCD ‎∴EF⊥平面ABCD ‎∴EP⊥PC、EP⊥AD 由AB⊥AD PC⊥AD 设FA=a，则EP=PC=PD=a CD=DE=EC=a ‎∴△ECD是正三角形 ‎∴∠CED=60o ‎∴BF与DE成角60o ……………………2分 ‎（2）∵DC=DE，M为EC中点 ‎∴DM⊥EC 连结MP，则MP⊥CE 又DMMP=M ‎∴DE⊥平面ADM ……………………3分 又CE平面CDE ‎∴平面AMD⊥平面CDE ……………………1分 ‎（3）取CD中点Q，连结PQ和EQ ‎∵PC=DQ ‎∴PQ⊥CD，同理EQ⊥CD ‎∴∠PQE为二面角的平面角 ……………………2分 在Rt△EPQ中，‎ ‎∴二面角A-CD-E的余弦值为 方法二：‎ 以A为原点以AB、AD、AF所在直线为x轴、y轴、z轴 设AB=1‎ A（0，0，0）‎ B（1，0，0）‎ C（1，1，0）‎ D（0，2，0）‎ E（0，1，1）‎ F（0，0，1）‎ M（，1，）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ 可得 ‎∴CE⊥AM，CE⊥AD 又AMAD=A ‎∴CE⊥平面ADM，而，所以平面AMD⊥平面CDE ‎（3）平面CDE的法向量 所以cos<,>==‎ 因为二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为 ‎20．‎ 以D为原点，分别以DA、DC、DD余弦值所在直线为x轴、y轴、z轴，建系如图所示 D（0，0，0）‎ A1（2，0，4） ‎ B（2，2，0） ‎ E（0，2，1）‎ C（0，2，0）‎ ‎（1）‎ ‎∴A1C⊥DB A‎1C⊥DE 又DBDE=D ‎∴A1C⊥平面BDE ‎（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量 ‎=（-2，2，-4）‎ 设平面A1DE的一个法向量=（x，y，z）‎