数学卷·2018届河北省保定市唐县一中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届河北省保定市唐县一中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河北省保定市唐县一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（　　）‎ A．50 B．45 C．40 D．20‎ ‎2．椭圆=1的焦距是（　　）‎ A．4 B．2 C．8 D．与m有关 ‎3．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值是（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．7‎ ‎4．已知多项式f（x）=2x7+x6+x4+x2+1，当x=2时的函数值时用秦九韶算法计算V2的值是（　　）‎ A．1 B．5 C．10 D．12‎ ‎5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，求点P落在圆x2+y2=16外部的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（　　）‎ A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 ‎7．直线y﹣1=k（x﹣3）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的最短弦长等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．下列说法正确的是（　　）‎ A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件 B．命题“∃x0∈R，x02+1＜0”的否定是“∀x0∈R，x02+1＞0”‎ C．关于x的方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的两实根异号的充要条件是a＜1‎ D．若f（x）是R上的偶函数，则f（x+1）的图象的对称轴是x=﹣1‎ ‎9．设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（　　）‎ A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1‎ ‎11．若直线y=k（x﹣2）+4与曲线y=有两个交点，则k的取值范围是（　　）‎ A．‎ ‎12．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．命题“∀x∈R，x2+2x+5＞0”的否定是　　．‎ ‎14．二进制110011（2）化成十进制数为　　．‎ ‎15．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为　　．‎ ‎16．在区间上随机取一个数a，则使函数f（x）=x2+2ax+4无零点的概率是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（17题10分，其余每小题10分，共60分）‎ ‎17．（10分）命题p：∀x∈，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）为了解初三某班级的第一次中考模拟考试的数学成绩情况，从该班级随机调查了n名学生，数学成绩的概率分布直方图以及成绩在100分以上的茎叶图如图所示．‎ ‎（1）通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表的）；‎ ‎（2）从数学成绩在100分以上的学生中任选2人进行学习经验交流，求有且只有一人成绩是105分的概率．‎ ‎19．（12分）某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据 x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ 回归方程为=bx+a，其中b=，a=﹣b．‎ ‎（1）画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；‎ ‎（2）根据表中提供的数据，求出y与x的回归方程=bx+a；‎ ‎（3）预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．‎ ‎20．（12分）已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．‎ ‎21．（12分）已知关于x的一次函数y=mx+n．‎ ‎（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y=mx+n是增函数的概率；‎ ‎（2）实数m，n满足条件求函数y=mx+n的图象经过一、二、三象限的概率．‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣4，0），F2（4，0），线段OF1，OF2（O为坐标原点）的中点分别为B1，B2，上顶点为A，且△AOB1为等腰直角三角形．‎ ‎（Ⅰ） 求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ） 过B1点作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省保定市唐县一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（　　）‎ A．50 B．45 C．40 D．20‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】利用分层抽样性质求解．‎ ‎【解答】解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，‎ 现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，‎ ‎∴由分层抽样性质，得：，‎ 解得n=45．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查样本容量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．椭圆=1的焦距是（　　）‎ A．4 B．2 C．8 D．与m有关 ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的方程可知：椭圆=1的焦点在x轴上，c2=m2+12﹣（m2﹣4）=16，求得c，即可求得椭圆的焦距．‎ ‎【解答】解：由题意可知：m2+12＞m2﹣4，‎ ‎∴椭圆=1的焦点在x轴上，‎ 则c2=m2+12﹣（m2﹣4）=16，‎ ‎∴c=4，‎ ‎∴椭圆的焦距为2c=8，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆性质的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值是（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．7‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】执行程序框图，依次写出s，i的值，第四次循环后：s=7，i=5；此时，i≤n不成立输出s的值为7．‎ ‎【解答】解：执行程序框图，有 n=4，s=1，i=1‎ 第一次循环后：s=1，i=2；‎ 第二次循环后：s=2，i=3；‎ 第三次循环后：s=4，i=4；‎ 第四次循环后：s=7，i=5；此时，i≤n不成立输出s的值为7．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．已知多项式f（x）=2x7+x6+x4+x2+1，当x=2时的函数值时用秦九韶算法计算V2的值是（　　）‎ A．1 B．5 C．10 D．12‎ ‎【考点】秦九韶算法．‎ ‎【分析】f（x）=2x7+x6+x4+x2+1=（（（（（（2x+1）x）x+1）x）x+1）x）x+1，进而得出．‎ ‎【解答】解：f（x）=2x7+x6+x4+x2+1=（（（（（（2x+1）x）x+1）x）x+1）x）x+1，‎ 当x=2时的函数值时用秦九韶算法计算：v0=2，v1=2×2+1=5，V2=5×2=10．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了秦九韶算法求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，求点P落在圆x2+y2=16外部的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，共有6×6种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况共有8种结果，求比值，即可得到点P落在圆x2+y2=16外部的概率．‎ ‎【解答】解：由题意知，本题是一个古典概型，‎ 试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，共有6×6=36种结果，‎ 而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）‎ ‎（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果，‎ 根据古典概型概率公式得到点P落在该圆外部的概率为=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查等可能事件的概率，分别计算出事件总个数及满足条件的事件个数是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎6．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（　　）‎ A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 ‎【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】根据茎叶图所给的两组数据，做出甲和乙的平均数，把两个人的平均数进行比较，得到乙的平均数大于甲的平均数，得到结论．‎ ‎【解答】解：由茎叶图知，‎ 甲的平均数是=82，‎ 乙的平均数是=87‎ ‎∴乙的平均数大于甲的平均数，‎ 从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查两组数据的平均数和稳定程度，这是经常出现的一个问题，对于两组数据通常比较他们的平均水平和稳定程度，注意运算要细心．‎ ‎　‎ ‎7．直线y﹣1=k（x﹣3）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的最短弦长等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】易知直线过定点，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可．‎ ‎【解答】解：圆的方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，圆心C（2，2），半径为2．‎ 直线y﹣1=k（x﹣3），‎ ‎∴此直线恒过定点（3，1），‎ 当圆被直线截得的弦最短时，圆心C（2，2）与定点P（3，1）的连线垂直于弦，‎ 弦心距为： =．‎ ‎∴所截得的最短弦长：2=2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．解题的关键是利用数形结合的思想，通过半径和弦构成的三角形和圆心到弦的垂线段，应注意直线恒过定点．‎ ‎　‎ ‎8．下列说法正确的是（　　）‎ A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件 B．命题“∃x0∈R，x02+1＜0”的否定是“∀x0∈R，x02+1＞0”‎ C．关于x的方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的两实根异号的充要条件是a＜1‎ D．若f（x）是R上的偶函数，则f（x+1）的图象的对称轴是x=﹣1‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可，‎ B．根据特称命题的否定是全称命题进行判断，‎ C．根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次方程根的分布进行求解即可，‎ D．根据偶函数的性质以及函数平移关系进行判断．‎ ‎【解答】解：A．当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但a2＞b2不成立，即充分性不成立，故A错误，‎ B．命题“∃x0∈R，x02+1＜0”的否定是“∀x0∈R，x02+1≥0”，故B错误，‎ C．若方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的两实根异号，‎ 则，即，即a＜2，‎ 即方程有两实根异号的充要条件是a＜2，故C错误，‎ D．若f（x）是R上的偶函数，则公式f（x）关于y轴即x=0对称，‎ 将函数f（x）向左平移1个单位，得到f（x+1），则函数关于x=﹣1对称，‎ 即D正确，‎ 故选：D ‎【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大．‎ ‎　‎ ‎9．设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．‎ ‎【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．‎ ‎【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，‎ 满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，‎ 面积为=4﹣π，‎ ‎∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．‎ ‎　‎ ‎10．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（　　）‎ A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立，△＜0，可解得m的范围，然后看m＞1与选项中的m范围，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：当不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立时，‎ ‎△=4﹣4m＜0，‎ 解得m＞1；‎ 所以m＞1是不等式恒成立的充要条件；‎ m＞2是不等式成立的充分不必要条件；‎ ‎0＜m＜1是不等式成立的既不充分也不必要条件；‎ m＞0是不等式成立的必要不充分条件．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的恒成立问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，正确解出m的范围是解题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎11．若直线y=k（x﹣2）+4与曲线y=有两个交点，则k的取值范围是（　　）‎ A．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由直线方程的特点得到此直线恒过A（2，4），由曲线方程的特点得到曲线为一个半圆，在平面直角坐标系中画出相应的图形，根据直线与半圆有2个交点，取两个特殊情况：当直线与半圆相切，且切点在第二象限时，可得出圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=r，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到此时k的值；当直线过点C时，将C的坐标代入直线方程，得到关于k的方程，求出方程的解得到此时k的值，由图象可得出满足题意k的取值范围．‎ ‎【解答】解：直线y=k（x﹣2）+4，‎ 当x=2时，y=4，可得此直线恒过A（2，4），‎ 曲线y=为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，‎ 根据题意作出相应的图形，如图所示：‎ 当直线y=k（x﹣2）+4与半圆相切（切点在第二象限）时，圆心到直线的距离d=r，‎ ‎∴=2，即4k2﹣16k+16=4+4k2，‎ 解得：k=，‎ 当直线y=k（x﹣2）+4过点C时，将x=﹣2，y=0代入直线方程得：﹣4k+4=0，‎ 解得：k=1，‎ 则直线与曲线有2个交点时k的范围为（，1]．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，利用了数形结合的数学思想，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径），当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交．‎ ‎　‎ ‎12．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．‎ ‎【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．‎ ‎【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，‎ 因为，，‎ 所以=，‎ 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，‎ 因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．命题“∀x∈R，x2+2x+5＞0”的否定是　∃x0∈R，x02+2x0+5≤0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：“∀x∈R，x2+2x+5＞0”的否定是：∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．‎ 故答案为：∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．二进制110011（2）化成十进制数为　51　．‎ ‎【考点】排序问题与算法的多样性．‎ ‎【分析】根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果．‎ ‎【解答】解：110011（2）=1+1×2+0×22+0×23+1×24+1×25=51．‎ 故答案为：51．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则．‎ ‎　‎ ‎15．椭圆C： +=1（a＞b＞‎ ‎0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意得|OP|=|OA|cos60°=，从而P（），代入椭圆方程得a=，由此能求出离心率．‎ ‎【解答】解：∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．‎ ‎∠POA=60°，且OP⊥AP，‎ ‎∴由题意得|OP|=|OA|cos60°=，‎ ‎∴由题意得P（），代入椭圆方程得：，‎ ‎∴a2=5b2=5（a2﹣c2），‎ ‎∴a=，‎ ‎∴离心率e=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎16．在区间上随机取一个数a，则使函数f（x）=x2+2ax+4无零点的概率是　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】本题属于几何概型，只要求出区间长度以及满足条件的区间长度，由几何概型公式解答．‎ ‎【解答】解：由已知区间长度为8，‎ 使函数f（x）=x2+2ax+4无零点即判别式△=4a2﹣16＜0，解得﹣2＜a＜2，即（﹣2，2），区间长度为4，‎ 由几何概型的公式得使函数f（x）=x2+2ax+4无零点的概率是；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了几何概型的运用；关键是明确几何测度，利用公式解答．‎ ‎　‎ 三、解答题（17题10分，其余每小题10分，共60分）‎ ‎17．（10分）（2014春•泉州校级期末）命题p：∀x∈，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】本题的关键是给出命题p：“∀x∈，x2﹣a≥0”，命题q：“”为真时a的取值范围，在根据p、q中至少有一个为假，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵命题p：“∀x∈，x2﹣a≥0”，‎ ‎∴若p是真命题．则a≤x2，∵x∈，‎ ‎∴a≤1；‎ ‎∵命题q：“”，‎ ‎∴若q为真命题，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，‎ ‎∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即，a≥1或a≤﹣2，‎ 若p真q也真时∴a≤﹣2，或a=1‎ ‎∴若“p且q”为假命题，即实数a的取值范围 a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016•河南模拟）为了解初三某班级的第一次中考模拟考试的数学成绩情况，从该班级随机调查了n名学生，数学成绩的概率分布直方图以及成绩在100分以上的茎叶图如图所示．‎ ‎（1）通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表的）；‎ ‎（2）从数学成绩在100分以上的学生中任选2人进行学习经验交流，求有且只有一人成绩是105分的概率．‎ ‎【考点】频率分布直方图；茎叶图．‎ ‎【分析】（1）由样本平均数的来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩，‎ ‎（2）由茎叶图可知，100分以上的共有6人，列举法易得．‎ ‎【解答】解：（1）数学的平均成绩为55×0.04+65×0.08+75×0.12+85×0.28+95×0.24+105×0.2+115×0.04=88.6分；‎ ‎（2）由茎叶图可知，100分以上的共有6人，从数学成绩在100分以上的学生中任选2人，共有（103，103），（103，105），（103，105），（103，107），（103，112），（103，105），（103，105），（103，107），（103，112），（105，105），（105，107），（105，112），（105，107），（105，112），（107，112）共有15种，‎ 其中有且只有一人成绩是105分的有（103，105），（103，105），（103，105），（103，105），（105，107），（105，112），（105，107），（105，112）共有8种，‎ 故有且只有一人成绩是105分的概率 ‎【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、概率等知识，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•唐县校级期中）某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据 x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ 回归方程为=bx+a，其中b=，a=﹣b．‎ ‎（1）画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；‎ ‎（2）根据表中提供的数据，求出y与x的回归方程=bx+a；‎ ‎（3）预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）散点图如图：由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．‎ ‎（2）先求出、的值，可得和 的值，从而求得和，的值，从而求得线性回归方程．‎ ‎（3）在回归方程中，令y=115，求得x的值，可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）散点图如图：由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380， =22+42+52+62+82=145，‎ ‎∴==6.5，‎ ‎ =50﹣6.5×5=17.5，‎ ‎∴线性回归方程为 y=﹣6.5x+17.5．‎ ‎（3）令y=115，可得6.5×x+17.5=115，求得x=15，故预测销售额为115万元时，大约需要15万元广告费．‎ ‎【点评】本题主要考查线性回归问题，求回归直线的方程，以及回归方程的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016春•九原区校级期中）已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出圆心的坐标为（a，﹣2a），利用两点间的距离公式表示出圆心到A的距离即为圆的半径，且根据圆与直线x+y=1相切，根据圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标，进而求出圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．‎ ‎（Ⅱ）分类讨论，利用被圆C截得的弦长为2，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设所求圆心坐标为（a，﹣2a）‎ 由条件得=，化简得a2﹣2a+1=0，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴圆心为（1，﹣2），半径r=‎ ‎∴所求圆方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2‎ ‎（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，‎ 由题得=1，解得k=﹣，∴直线l的方程为y=﹣x．‎ 综上所述：直线l的方程为x=0或y=﹣x．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，常常利用此性质列出方程来解决问题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2010•辽宁模拟）已知关于x的一次函数y=mx+n．‎ ‎（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y=mx+n是增函数的概率；‎ ‎（2）实数m，n满足条件求函数y=mx+n的图象经过一、二、三象限的概率．‎ ‎【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（1）本小题是古典概型问题，欲求函数y=mx+n是增函数的概率，只须求出满足：使函数为增函数的事件空间中元素有多少个，再将求得的值与抽取的全部结果的个数求比值即得．‎ ‎（2）本小题是几何概型问题，欲求函数y=mx+n的图象经过一、二、三象限的概率，只须求出满足使函数图象过一、二、三象限的区域的面积，再将求得的面积值与整个区域的面积求比值即得．‎ ‎【解答】解：（1）抽取的全部结果所构成的基本事件空间为：‎ Ω={（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（﹣1，﹣2），（﹣1，3），‎ ‎（1，﹣2），（1，3），（2，﹣2），（2，3），（3，﹣2），‎ ‎（3，3）}共10个基本事件（2分）‎ 设使函数为增函数的事件空间为A：‎ 则A={（1，﹣2），（1，3），（2，﹣2），（2，3），（3，﹣2），‎ ‎（3，3）}有6个基本事件 所以，（6分）‎ ‎（2）m、n满足条件m+n﹣1≤0，﹣1≤m≤1，﹣1≤n≤1的区域如图所示：‎ 使函数图象过一、二、三象限的（m，n）为区域为第一象限的阴影部分 ‎∴所求事件的概率为．（12分）‎ ‎【点评】本小题主要考查古典概型、几何概型等基础知识．古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，几何概型的特点有下面两个：（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．（2）每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2012秋•房山区期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣4，0），F2（4，0），线段OF1，OF2（O为坐标原点）的中点分别为B1，B2，上顶点为A，且△AOB1为等腰直角三角形．‎ ‎（Ⅰ） 求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ） 过B1点作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先确定c的值，再利用B1为OF1的中点，A为上顶点，△AOB1为等腰直角三角形，a2=b2+c2，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）解法一：分类讨论设直线方程，解法二：设直线的方程为x=my﹣2，再与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量知识，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由焦点坐标可得c=4‎ 因为B1为OF1的中点，A为上顶点，△AOB1为等腰直角三角形 所以b=OA=OB1=2…（2分）‎ 所以a2=b2+c2=20…‎ 所以椭圆C标准方程为…‎ ‎（Ⅱ）解法一：当直线与x轴垂直时，可知PB2，QB2不垂直； …（6分）‎ 当直线与x轴不垂直时，设直线方程为y=k（x+2），…（7分）‎ 代入椭圆方程整理得（1+5k2）x2+20k2x+20k2﹣20=0（△＞0恒成立）…（8分）‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则…（9分）‎ ‎=‎ ‎=…（11分）‎ 由PB2⊥QB2，得 即，解得…（13分）‎ 所以满足条件的直线有两条，其方程为x+2y+2=0，x﹣2y+2=0…（14分）‎ 解法二：由题意可知B1（﹣2，0），B2（2，0），直线的斜率不为0，…（6分）‎ 设直线的方程为x=my﹣2…（7分）‎ 代入椭圆方程整理得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0（△＞0恒成立） …（8分）‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 则…（9分）=（my1﹣4）（my2﹣4）+y1y2=（m2+1）y1y2﹣4m（y1+y2）+16‎ ‎==…（12分）‎ 由PB2⊥QB2，得 即，解得 m=±2‎ 所以满足条件的直线有两条，其方程为x+2y+2=0，x﹣2y+2=0…（14分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎