2016年普通高等学校招生全国统一考试北京文科数学
2016年普通高等学校招生全国统一考试
北京文科数学
1.(2016北京,文1)已知集合A={x|2
5},则A∩B=( )
A.{x|25}
C.{x|25}
答案C ∵A={x|25},
∴A∩B={x|20,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则a= ;b= .
答案1 2
解析∵双曲线的方程为x2a2-y2b2=1,
∴双曲线的渐近线 方程为y=±bax.
∴由题意可知ba=2,c=5,c2=a2+b2.∴a=1,b=2.
13.(2016北京,文13)在△ABC中,A=2π3,a=3c,则bc= .
答案1
解析由正弦定理知sinAsinC=ac=3,即sin C=sin2π33=12,又a>c,可得C=π6,∴B=π-2π3-π6=π6,∴b=c,即bc=1.
14.(2016北京,文14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有 种;
(2)这三天售出的商品最少有 种.
答案(1)16 (2)29
解析(1)由于前两天都售出的商品有3种,因此第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种.
(2)同理可知第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=14种.当前两天都售出的3种商品与后两天都售出的4种商品有3种是一样的,剩下的1种商品在第一天未售出;且第三天售出但第二天未售出的14种商品都在第一天售出的商品中,此时商品总数最少,为29种.如图,分别用A,B,C表示第一、二、三天售出的商品种数.
15.(2016北京,文15)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
解(1)等比数列{bn}的公比 q=b3b2=93=3,
所以b1=b2q=1,b4=b3q=27.
设等差数列{an}的公差 为d.
因为a1=b1=1,a14=b4=27,
所以1+13d=27,即d=2.
所以an=2n-1(n=1,2,3,…).
(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1.
因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.
从而数列{cn}的前n项和
Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1
=n(1+2n-1)2+1-3n1-3=n2+3n-12.
16.(2016北京,文16)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解(1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx
=2sin2ωx+π4,
所以f(x)的最小正周期 T=2π2ω=πω.
依题意,πω=π,解得ω=1.
(2)由(1)知f(x)=2sin2x+π4.函数y=sin x的单调递增区间 为2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z).
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8.
所以f(x)的单调递增区间 为kπ-3π8,kπ+π8(k∈Z).
17.(2016北京,文17)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
解(1)由用水量的频率分布直方图 知,
该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.
依题意,w至少定为3.
(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表 :
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[2,4]
(4,6]
(6,8]
(8,10]
(10,12]
(12,17]
(17,22]
(22,27]
频率
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.05
0.05
0.05
根据题意,该市居民该月的人均水费 估计为
4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).
18.(2016北京,文18)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
解(1)
因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC,
所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC,DC⊥AC,
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.
所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)棱PB上存在 点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:
取PB中点F,连接EF,CE,CF.
又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.
又因为PA⊄平面CEF,
所以PA∥平面CEF.
19.(2016北京,文19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.
解(1)由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程 为x24+y2=1.又c=a2-b2=3,所以离心率 e=ca=32.
(2)设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则x02+4y02=4.
又A(2,0),B(0,1),
所以直线PA的方程 为y=y0x0-2(x-2).
令x=0,得yM=-2y0x0-2,从而|BM|=1-yM=1+2y0x0-2.
直线PB的方程 为y=y0-1x0x+1.
令y=0,得xN=-x0y0-1,从而|AN|=2-xN=2+x0y0-1.
所以四边形ABNM的面积
S=12|AN|·|BM|
=122+x0y0-11+2y0x0-2
=x02+4y02+4x0y0-4x0-8y0+42(x0y0-x0-2y0+2)
=2x0y0-2x0-4y0+4x0y0-x0-2y0+2
=2.
从而四边形ABNM的面积为定值.
20.(2016北京,文20)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;
(3)求证:a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
解(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.
因为f(0)=c,f'(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程 为y=bx+c.
(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,
所以f'(x)=3x2+8x+4.
令f'(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-23.
f(x)与f'(x)在区间(-∞,+∞)上的情况如下:
x
(-∞,-2)
-2
-2,-23
-23
-23,+∞
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
c
↘
c-3227
↗
所以,当c>0且c-3227<0时,存在x1∈(-4,-2),x2∈-2,-23,x3∈-23,0,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.
由f(x)的单调性 知,当且仅当c∈0,3227时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.
(3)当Δ=4a2-12b<0时,f'(x)=3x2+2ax+b>0,x∈(-∞,+∞),
此时函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,
所以f(x)不可能有三个不同零点.
当Δ=4a2-12b=0时,f'(x)=3x2+2ax+b只有一个零点 ,记作x0.
当x∈(-∞,x0)时,f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,x0)上单调递增;
当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.
所以f(x)不可能有三个不同零点.
综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有Δ=4a2-12b>0.
故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件 .
当a=b=4,c=0时,a2-3b>0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件 .
因此a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.