2005年湖北省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2005年湖北省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P, b∈Q}．若P={0, 2, 5}，Q={1, 2, 6}，则P+Q中元素的个数是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
2. 对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件．
其中真命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3. (1-i)(1+2i)1+i=( )
A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i
4. 函数y=e|lnx|-|x-1|的图象大致是( )
A. B. C. D.
5. 双曲线x2m-y2n=1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为( )
A.316 B.38 C.163 D.83
6. 在y=2x，y=log2x，y=x2这三个函数中，当0
f(x1+x2)2恒成立的函数的个数是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7. 若sinα+cosα=tanα(0<α<π2)，则α所在的区间（ ）
A.(0, π6) B.(π6, π4) C.(π4, π3) D.(π3, π2)
8. 若limx→1(a1-x-b1-x2)=1，则常数a，b的值为（ ）
A.a=-2，b=4 B.a=2，b=-4 C.a=-2，b=-4 D.a=2，b=4
9. 若03sinx B.2x<3sinx
C.2x=3sinx D.与x的取值有关
10. 如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，点E、F、H、K分别为AC'、CB'、A'B、B'C'的中点，G为△ABC的重心从K、H、G、B'中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（ ）
A.K B.H C.G D.B'
11. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，⋯，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．
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关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A.②，③都不能为系统抽样 B.②，④都不能为分层抽样
C.①，④都可能为系统抽样 D.①，③都可能为分层抽样
12. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为（ ）
A.367385 B.376385 C.192385 D.18385
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 已知向量a→=(-2,2),b→=(5,k).|a→+b→|不超过5，则k的取值范围是________．
14. (x2+1x+2)5的展开式中整理后的常数项等于________．
15. 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为________．
16. 为了了解噪声污染的情况，某市环保局抽样调查了80个测量点的噪声声级（单位：分贝），并进行整理后分成五组，绘制出频率分布直方图，如图所示．已知从左至右前四组的频率分别是0.15，0.25，0.3，0.2，且噪声声级高于69.5分贝就会影响工作和生活，那么影响到工作和生活而需对附近区域进行治理的测量点有________个．
三、解答题（共6小题，17~21题每题12分，22题14分，满分74分）
17. 已知向量a→=(x2, x+1)，b→=(1-x, t)，若函数f(x)=a→⋅b→在区间(-1, 1)上是增函数，求t的取值范围．
18. 在△ABC中，已知AB=463，cosB=66，AC边上的中线BD=5，求sinA的值．
19. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率．
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20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．
21. 设A、B是椭圆3x2+y2＝λ上的两点，点N(1, 3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
(Ⅰ)确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；
(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．
22. 已知不等式12+13+...+1n>12[log2n]，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数．设数列{an}的各项为正，且满足a1=b(b>0)，an≤nan-1n+an-1，n=2，3，4，…．证明：an<2b2+b[log2n]，n=3，4，5，…．
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参考答案与试题解析
2005年湖北省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.C
2.B
3.C
4.D
5.A
6.B
7.C
8.C
9.D
10.C
11.D
12.A
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.[-6, 2]
14.6322
15.-2
16.8
三、解答题（共6小题，17~21题每题12分，22题14分，满分74分）
17.依定义f(x)＝x2(1-x)+t(x+1)＝-x3+x2+tx+t，则f'(x)＝-3x2+2x+t．
若f(x)在(-1, 1)上是增函数，则在(-1, 1)上f'(x)≥0恒成立．
∴ f'(x)≥0⇔t≥3x2-2x，在区间(-1, 1)上恒成立，
考虑函数g(x)＝3x2-2x，由于g(x)的图象是对称轴为x=13，开口向上的抛物线，
故要使t≥3x2-2x在区间(-1, 1)上恒成立⇔t≥g(-1)，即t≥5．
而当t≥5时，f'(x)在(-1, 1)上满足f'(x)>0，即f(x)在(-1, 1)上是增函数；
故t的取值范围是t≥5．
18.解：解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE // AB，且DE=12AB=263，设BE=x．
由DE // AB可得出∠BED=π-∠B，即cos∠BED=-66
在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2-2BE⋅EDcos∠BED，5=x2+83+2×263×66x，
解得x=1，x=-73（舍去）．
故BC=2，从而AC2=AB2+BC2-2AB⋅BCcosB=283，即AC=2213
又sinB=306，故2sinA=2213306，sinA=7014．
解法二：以B为坐标原点，BC→为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限．
由sinB=306，则BA→=(463cosB, 463sinB)=(43, 453)，
设BC→=(x, 0)，则BD→=(4+3x6, 253)．
由条件得|BD¯|=(4+3x6)2+(253)2=5．
从而x=2，x=-143（舍去）．故CA→=(-23, 453)．
于是cosA=|BA→|⋅|CA→|˙=-89+809169+809⋅49+809=31414．
∴ sinA=1-cos2A=7014．
解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC．
过P做PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=43，AH=453，
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BN=BP2-PN2=BP2-AH2=(25)2-(453)2=103，
而HB=43，∴ CN=43，HC=23，AC=AH2+HC2=2213．
故由正弦定理得2sinA=2213306，∴ sinA=7014．
19.解：ξ的取值分别为1，2，3，4．
ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(ξ=1)=0.6
ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(ξ=2)=(1-0.6)×0.7=0.28
ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
P(ξ=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096．
ξ=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故
P(ξ=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024．
∴ 李明实际参加考试次数ξ的分布列为
∴ ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544．李明在一年内领到驾照的概第为
1-(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.9)=0.9976．
20.解：（1）设AC∩BD=O，连OE，则OE // PB，
∴ ∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角．
在△AOE中，AO=1，OE=12PB=72，AE=12PD=52，
∴ cosEOA=1+74-542×72×1=3714．
即AC与PB所成角的余弦值为3714．
（2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则∠ADF=π6．
连PF，则在Rt△ADF中DF=ADcosADF=233，AF=ADtanADF=33．
设N为PF的中点，连NE，则NE // DF，
∵ DF⊥AC，DF⊥PA，∴ DF⊥面PAC．从而NE⊥面PAC．
∴ N点到AB的距离=12AP=1，N点到AP的距离=12AF=36．
21.（1）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y＝k(x-1)+3，
代入3x2+y2＝λ，整理得：(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ＝0①
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1，x2是方程①的两个不同的根，
∴ △＝4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0，②
且x1+x2=2k(k-3)k2+3．由N(1, 3)是线段AB的中点，得x1+x2＝2，
∴ k(k-3)＝k2+3解得k＝-1，代入②得λ>12，
即λ的取值范围是(12, +∞)．
于是直线AB的方程为y-3＝-(x-1)，即x+y-4＝0．
解法二：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则有3x12+y12=λ3x22+y22=λ. ⇒3 (x1-x2) (x1+x2)+(y1-y2)＝0．
依题意，x1≠x2，∴ kAB=-3(x1+x2)y1+y2．
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∵ N(1, 3)是AB的中点，∴ x1+x2＝2，y1+y2＝6，从而kAB＝-1．
又由N(1, 3)在椭圆内，∴ λ>3×12+32＝12，
∴ λ的取值范围是(12, +∞)．
直线AB的方程为y-3＝-(x-1)，即x+y-4＝0．
（2）解法一：∵ CD垂直平分AB，
∴ 直线CD的方程为y-3＝x-1，即x-y+2＝0代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ＝0．③
又设C(x3, y3)，D(x4, y4)，CD的中点为M(x0, y0)，
则x3，x4是方程③的两根，
∴ x3+x4＝-1，且x0=x3+x42=-12，y0＝x0+2=32，即M(-12, 32)
于是由弦长公式可得|CD|==+(-1k)2⋅|x3-x4|=2(λ-3)．④
将直线AB的方程x+y-4＝0代入椭圆方程得4x2-8x+16-λ＝0．⑤
同理可得|AB|=1+k2⋅|x1-x2|=2(λ-12)．⑥
∵ 当λ>12时，2(λ-3)>2(λ-12)，
∴ |AB|<|CD|．
假设存在λ>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．
点M到直线AB的距离为d=|x0+y0-4|2=|-12+32-4|2=322．⑦
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|2＝|MB|2＝d2+|AB2|2=92+λ-122=λ-32=|CD2|2．
故当λ>12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，|CD2|为半径的圆上．
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
A、B、C、D共圆⇔ACD为直角三角形，A为直角⇔|AN|2＝|CN|⋅|DN|，
即(|AB|2)2=(|CD2|+d)(|CD2|-d)．⑧
由⑥式知，⑧式左边=λ-122，
由④⑦知，⑧式右边＝(2(λ-3)2+322)(2(λ-3)2-322)=λ-32-92=λ-122．
∴ ⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆．）
解法二：由(Ⅱ)解法一知λ>12，
∵ CD垂直平分AB，
∴ 直线CD的方程为y-3＝x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ＝0．③
将直线AB的方程x+y-4＝0代入椭圆方程整理得4x2-8x+16-λ＝0．⑤
解③和⑤式可得x1,2=2±λ-122，x3,4=-1±λ-32，
不妨设A(1+12λ-12, 3-12λ-12)，
C(-1-λ-32, 3-λ-32)，D(-1+λ-32, 3+λ-32)．
∴ CA→=(3+λ-12+λ-32, 3-λ-12+λ-32)，
DA→=(3+λ-12-λ-32, 3-λ-12-λ-32)，
计算可得CA→⋅DA→=0，
∴ A在以CD为直径的圆上．
又B为A关于CD的对称点，
∴ A、B、C、D四点共圆．
22.证明：设f(n)=12+13+...+1n，首先利用数学归纳法证不等式an<b1+f(n)b，n=3，4，5．
(I)当n=3时，由a3≤3a23+a2=33a2+1≤33⋅2+a12a1+1=b1+f(3)b，知不等式成立．
(II)假设当n=k(k≥3)时，不等式成立，即ak<b1+f(n)b，则ak+1≤(k+1)ak(k+1)+ak=k+1k+1ak+1
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