高考数学难点突破24__直线与圆锥曲线

高考数学难点突破24__直线与圆锥曲线

高中数学难点 24 直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置 关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨 论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能 力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. ●难点磁场 (★★★★★)已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q，且 OP⊥OQ，|PQ|= 2 10 ，求椭圆方程. ●案例探究 ［例 1］如图所示，抛物线 y2=4x 的顶点为 O，点 A 的坐标为(5， 0)，倾斜角为 4  的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛 物线于 M、N 两点，求△AMN 面积最大时直线 l 的方程，并求△AMN 的最大面积. 命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长 的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”.属★★★ ★★级题目. 知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想. 错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定 m 的取值范围.不等式法求最值忽 略了适用的条件. 技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系 往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算. 解：由题意，可设 l 的方程为 y=x+m,－5＜m＜0. 由方程组      xy mxy 42 ,消去 y,得 x2+(2m－4)x+m2=0 ① ∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N， ∴方程①的判别式Δ =(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0, 解得 m＜1,又－5＜m＜0,∴m 的范围为(－5，0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4－2m，x1·x2=m2, ∴|MN|=4 )1(2 m . 点 A 到直线 l 的距离为 d= 2 5 m . ∴S△=2(5+m) m1 ,从而 S△ 2=4(1－m)(5+m)2 =2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2( 3 5522 mmm  )3=128. ∴S△≤8 2 ,当且仅当 2－2m=5+m,即 m=－1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x－1，△AMN 的最大面积为 8 . ［例 2］已知双曲线 C：2x2－y2=2 与点 P(1，2) (1)求过 P(1，2)点的直线 l 的斜率取值范围，使 l 与 C 分别有一个交点，两个交点，没 有交点. (2)若 Q(1，1)，试判断以 Q 为中点的弦是否存在. 命题意图：第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考 查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“差分法”，属★★★★★级题目. 知识依托：二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式. 错解分析：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以 Q 为中点弦的斜率为 2，就认为所求直线存在了. 技巧与方法：涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率， 弦的中点坐标联系起来，相互转化. 解：(1)当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.当 l 的斜率存在 时，设直线 l 的方程为 y－2=k(x－1),代入 C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*) (ⅰ)当 2－k2=0,即 k=± 2 时，方程(*)有一个根，l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2－k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) ①当Δ =0,即 3－2k=0,k= 2 3 时，方程(*)有一个实根，l 与 C 有一个交点. ②当Δ ＞0,即 k＜ ,又 k≠± ,故当 k＜－ 或－ ＜k＜ 或 ＜k＜ 时，方 程(*)有两不等实根，l 与 C 有两个交点. ③当Δ ＜0，即 k＞ 时，方程(*)无解，l 与 C 无交点. 综上知：当 k=± ,或 k= ，或 k 不存在时，l 与 C 只有一个交点； 当 ＜k＜ ,或－ ＜k＜ ,或 k＜－ 时，l 与 C 有两个交点； 当 k＞ 时，l 与 C 没有交点. (2)假设以 Q 为中点的弦存在，设为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 2x1 2－y1 2=2,2x2 2－y2 2=2 两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即 kAB= 21 21 xx yy   =2 但渐近线斜率为± ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为 中点的弦不存在. ［例 3］如图，已知某椭圆的焦点是 F1(－4，0)、F2(4，0)，过点 F2 并垂直于 x 轴的直 线与椭圆的一个交点为 B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件： |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦 AC 中点的横坐标； (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m，求 m 的取值范围. 命题意图：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙 地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强，属★★★★★级题目. 知识依托：椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法. 错解分析：第三问在表达出“k= 36 25 y0”时，忽略了“k=0”时的情况，理不清题目中变 量间的关系. 技巧与方法：第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半 径公式)求解，第三问利用 m 表示出弦 AC 的中点 P 的纵坐标 y0,利用 y0 的范围求 m 的范围. 解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= 22 ca  =3. 故椭圆方程为 925 22 yx  =1. (2)由点 B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|= 5 9 .因为椭圆右准线方程为 x= 4 25,离心率为 5 4 ，根 据椭圆定义，有|F2A|= ( －x1),|F2C|= ( －x2)， 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得 ( －x1)+ ( －x2)=2× ,由此得出：x1+x2=8. 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0= 2 21 xx  =4. (3)解法一：由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上. 得      259259 259259 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx ①－②得 9(x1 2－x2 2)+25(y1 2－y2 2)=0, 即 9× )()2(25)2( 21 212121 xx yyyyxx   =0(x1≠x2) 将 kxx yyyyyxxx 1,2,42 21 21 0 21 0 21   (k≠0)代入上式，得 9×4+25y0(－ k 1 )=0 (k≠0) 即 k= 36 25 y0(当 k=0 时也成立). ① ② 由点 P(4，y0)在弦 AC 的垂直平分线上，得 y0=4k+m,所以 m=y0－4k=y0－ 9 25y0=－ 9 16 y0. 由点 P(4，y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部，得－ 5 9 ＜y0＜ ,所以－ 5 16 ＜ m＜ 5 16 . 解法二：因为弦 AC 的中点为 P(4,y0)，所以直线 AC 的方程为 y－y0=－ k 1 (x－4)(k≠0) ③ 将③代入椭圆方程 925 22 yx  =1,得 (9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0 所以 x1+x2= 259 )4(50 2 0   k k =8,解得 k= 36 25 y0.(当 k=0 时也成立) (以下同解法一). ●锦囊妙计 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的 方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即 应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关 系灵活转化，往往就能事半功倍. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 4 2x +y2=1 相交于 A、B 两点，则|AB|的最大值为 ( ) A.2 B. 5 54 C. 5 104 D. 5 108 2.(★★★★)抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点，且此两点的横坐标分别 为 x1,x2,直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 二、填空题 3.(★★★★)已知两点 M(1， 4 5 )、N(－4，－ )，给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0, ②x2+y2=3,③ 2 2x +y2=1,④ 2 2x －y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 _________. 4.(★★★★★)正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上，C、D 两点在抛物线 y2=x 上， 则正方形 ABCD 的面积为_________. 5.(★★★★★)在抛物线 y2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程 是_________. 三、解答题 6.(★★★★★)已知抛物线 y2=2px(p＞0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线 交于不同的两点 A、B，且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求△NAB 面积的最大值. 7.(★★★★★)已知中心在原点，顶点 A1、A2 在 x 轴上，离心率 e= 3 21 的双曲线过点 P(6，6). (1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过△A1PA 2 的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M、N，问：是否存在直 线 l,使 G 平分线段 MN，证明你的结论. 8.(★★★★★)已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点，且都以点 A( 2 ，0)为圆心，1 为半径的圆相切，双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A，斜率为 k,当 0＜k＜1 时，双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 ，试求 k 的值及此时 B 点的坐标. 参考答案 难点磁场 解：设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)， P(x1,y1),Q(x2,y2) 由      1 1 22 nymx xy 得(m+n)x2+2nx+n－1=0, Δ =4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即 m+n－mn＞0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴ nm n nm n   2)1(2 +1=0,∴m+n=2 ① 又 2 )2 10()(4   nm mnnm 2, 将 m+n=2,代入得 m·n= 4 3 ② 由①、②式得 m= 2 1 ,n= 2 3 或 m= ,n= 故椭圆方程为 2 2x + y2=1 或 x2+ y2=1. 歼灭难点训练 一、1.解析：弦长|AB|= 5 542 2t ≤ 5 104 . 答案：C 2.解析：解方程组      bkxy axy 2 ,得 ax2－kx－b=0,可知 x1+x2= a k ,x1x2=－ a b ,x3=－ k b ,代入验 证即可. 答案：B 二、3.解析：点 P 在线段 MN 的垂直平分线上，判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否 存在交点. 答案：②③④ 4.解析：设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用 |CD|的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离，求出 b 的值，再代入求出|CD|的长. 答案：18 或 50 5.解析：设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B，且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y1 2=16x1,y2 2=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2). 即   2121 21 16 yyxx yy kAB=8. 故所求直线方程为 y=8x－15. 答案：8x－y－15=0 三、6.解：(1)设直线 l 的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即 x2－ 2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|= 22 4)(42 apa  ≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤－p2 又∵p＞0,∴a≤－ 4 p . (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB 的中点 C(x,y), 由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p, 则有 x= 2 2 2,2 212121 axxyyypaxx  =p. ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y－p=－(x－a－p),从而 N 点坐标为(a+2p,0 点 N 到 AB 的距离为 papa 2 2 |2|  从而 S△NAB= 222 2224)(422 1 papppapa  当 a 有最大值－ 4 p 时，S 有最大值为 2 p2. 7.解：(1)如图，设双曲线方程为 2 2 2 2 b y a x  =1.由已知得 3 21,166 2 22 2 2 2 2 2  a bae ba ,解 得 a2=9,b2=12. 所以所求双曲线方程为 129 22 yx  =1. (2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0）， ∴其重心 G 的坐标为(2，2） 假设存在直线 l，使 G(2，2)平分线段 MN，设 M(x1,y1)，N(x2,y2).则有 3 4 9 12 4 4 108912 108912 21 21 21 21 2 2 2 2 2 1 2 1              xx yy yy xx yx yx ，∴kl= 3 4 ∴l 的方程为 y= (x－2)+2, 由      )2(3 4 108912 22 xy yx ,消去 y,整理得 x2－4x+28=0. ∵Δ =16－4×28＜0,∴所求直线 l 不存在. 8.解：(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d= 1 |2| 2 k k =1,解得 k=±1. 即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0， 2 ). ∴a= =b,所求双曲线 C 的方程为 x2－y2=2. (2)设直线 l：y=k(x－ )(0＜k＜1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上，且 l 与 l′间的距 离为 . 设直线 l′：y=kx+m,应有 2 1 |2| 2    k mk ,化简得 m2+2 2 km=2. ② 把 l′代入双曲线方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0, 由Δ =4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.可得 m2+2k2=2 ③ ② 、 ③ 两 式 相 减 得 k= m, 代 入 ③ 得 m2= 5 2 , 解设 m= 5 10 ,k= 5 52 , 此时 x= 22 12    k mk ,y= 10 .故 B(2 , ).