高考数学复习练习第3部分 专题一 第三讲 “2道”拉分题专练卷(一~二)

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高考数学复习练习第3部分 专题一 第三讲 “2道”拉分题专练卷(一~二)

“2 道”拉分题专练卷(一) 1.已知函数 f(x)=ln x-ax2+(2-a)x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 a>0,证明:当 0f( 1 a-x ); (3)若函数 y=f(x)的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x 0,证明: f′(x0)<0. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1 x-2ax+(2-a)=- (2x+1)(ax-1) x . ①若 a≤0,则 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②若 a>0,则由 f′(x)=0 得 x=1 a,且当 x∈(0,1 a )时,f′(x)>0;当 x>1 a时,f′(x)<0, 所以 f(x)在(0,1 a )上单调递增,在( 1 a,+∞)上单调递减. (2)证明:设函数 g(x)=f( 1 a+x )-f( 1 a-x ),则 g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax, g′(x)= a 1+ax+ a 1-ax-2a= 2a3x2 1-a2x2. 当 00,而 g(0)=0,所以 g(x)>0, 故当 0f( 1 a-x ). (3)证明:由(1)可得,当 a≤0 时,函数 y=f(x)的图像与 x 轴至多有一个交点,故 a>0, 从而 f(x)的最大值为 f( 1 a ),且 f( 1 a )>0. 不妨设 A(x1,0),B(x2,0),0f(x1)=0. 从而 x2>2 a-x1,于是 x0=x1+x2 2 >1 a. 由(1)知,f′(x0)<0. 2.在平面直角坐标系中,已知焦距为 4 的椭圆 C:x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别 为 A、B,右焦点为 F,过 F 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于 R、S 两点,若线段 RS 的长 为10 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q(9,m)是直线 x=9 上的点,直线 QA、QB 与椭圆 C 分别交于点 M、N,求证: 直线 MN 必过 x 轴上的一定点,并求出此定点的坐标. 解:(1)依题意,椭圆过点(2,5 3 ), 故Error!解得Error! 所以椭圆 C 的方程为x2 9+y2 5=1. (2)由题意知,直线 QA 的方程为 y=m 12(x+3),代入椭圆方程, 得(80+m2)x2+6m2x+9m2-720=0, 设 M(x1,y1),则-3x1=9m2-720 m2+80 ⇒x1=240-3m2 m2+80 , 所以 y1=m 12(x1+3)=m 12( 240-3m2 m2+80 +3)= 40m m2+80, 故点 M 的坐标为( 240-3m2 m2+80 , 40m m2+80). 同理,直线 QB 的方程为 y=m 6(x-3),代入椭圆方程,得(20+m2)x2-6m2x+9m2-180= 0, 设 N(x2,y2),则 3x2=9m2-180 m2+20 ⇒x2=3m2-60 m2+20 , 所以 y2=m 6(x2-3)=m 6( 3m2-60 m2+20 -3)=- 20m m2+20, 故点 N 的坐标为( 3m2-60 m2+20 ,- 20m m2+20). ①若240-3m2 m2+80 =3m2-60 m2+20 ⇒m2=40,直线 MN 的方程为 x=1,与 x 轴交于点(1,0); ②若 m2≠40,直线 MN 的方程为 y+ 20m m2+20= 10m 40-m2(x-3m2-60 m2+20 ), 令 y=0,解得 x=1. 综上所述,直线 MN 必过 x 轴上的定点(1,0). “2 道”拉分题专练卷(二) 1.(2013·温州八校联考)已知函数 f(x)=ex+2x2-3x. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程; (2)当 x≥1 2时,若关于 x 的不等式 f(x)≥5 2x2+(a-3)x+1 恒成立,试求实数 a 的取值范 围. 解:(1)f′(x)=ex+4x-3,则 f′(1)=e+1, 又 f(1)=e-1,∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-e+1=(e+1)(x-1),即(e +1)x-y-2=0. (2)由 f(x)≥5 2x2+(a-3)x+1,得 ex+2x2-3x≥5 2x2+(a-3)x+1, 即 ax≤ex-1 2x2-1. ∵x≥1 2,∴a≤ ex-1 2x2-1 x 令 g(x)= ex-1 2x2+1 x . 则 g′(x)= ex(x-1)-1 2x2+1 x2 . 令 φ(x)=ex(x-1)-1 2x2+1, 则 φ′(x)=x(ex-1). ∵x≥1 2,∴φ′(x)>0,∴φ(x)在[ 1 2,+∞)上单调递增, ∴φ(x)≥φ( 1 2 )=7 8-1 2 e>0, 因此 g′(x)>0,故 g(x)在[ 1 2,+∞)上单调递增, 则 g(x)≥g( 1 2 )= e-1 8-1 1 2 =2 e-9 4. ∴a 的取值范围是(-∞,2 e-9 4]. 2.经过点 F(0,1)且与直线 y=-1 相切的动圆的圆心轨迹为 M.点 A、D 在轨迹 M 上, 且关于 y 轴对称,过线段 AD(两端点除外)上的任意一点作直线 l,使直线 l 与轨迹 M 在点 D 处的切线平行,设直线 l 与轨迹 M 交于点 B、C. (1)求轨迹 M 的方程; (2)证明:∠BAD=∠CAD; (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于 2 2 |AD|,且△ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程. 解:(1)法一:设动圆圆心为(x,y),依题意得, x2+(y-1)2=|y+1|. 整理,得 x2=4y.所以轨迹 M 的方程为 x2=4y. 法二:设动圆圆心为 P,依题意得点 P 到定点 F(0,1)的距离和点 P 到定直线 y=-1 的 距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹是抛物线. 且其中定点 F(0,1)为焦点,定直线 y=-1 为准线. 所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x2=4y. (2)证明:由(1)得 x2=4y,即 y=1 4x2,则 y′=1 2x. 设点 D(x0,1 4x20 ),由导数的几何意义知,直线 l 的斜率为 kBC=1 2x0. 由题意知点 A(-x0,1 4x20 ),设点 C(x1,1 4x21 ),B(x2,1 4x22 ),则 kBC= 1 4x21-1 4x22 x1-x2 =x1+x2 4 =1 2x0, 即 x1+x2=2x0. 因为 kAC= 1 4x21-1 4x20 x1+x0 =x1-x0 4 ,kAB= 1 4x22-1 4x20 x2+x0 =x2-x0 4 , 所以 kAC+kAB=x1-x0 4 +x2-x0 4 = (x1+x2)-2x0 4 =0,即 kAC=-kAB. 所以∠BAD=∠CAD. (3)法一:由点 D 到 AB 的距离等于 2 2 |AD|,可知∠BAD=45°. 不妨设点 C 在 AD 上方,即 x2
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