【数学】2019届理科一轮复习北师大版2-8函数与方程教案

【数学】2019届理科一轮复习北师大版2-8函数与方程教案

第八节　函数与方程 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．‎ ‎(对应学生用书第27页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．函数的零点 ‎(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．‎ ‎(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．‎ ‎(3)零点存在性定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．‎ ‎(4)二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点所似值的方法叫作二分法．‎ ‎2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图像 与x轴的交点 ‎(x1,0)，(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎[知识拓展]　有关函数零点的结论 ‎(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．‎ ‎(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．‎ ‎(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(　　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　)‎ ‎(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)‎ ‎(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)‎ ‎(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　)‎ A．(1,2)　　　　 B．(2,3)‎ C．和(3,4) D．(4，＋∞)‎ B　[易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B．]‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)‎ A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1‎ A　[由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cos x是偶函数又有零点．]‎ ‎4．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)‎ A．0　　 B．1　　　　C．2　　　　D．3‎ B　[∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，‎ ‎∴f(x)在(－1,0)内有零点，‎ 又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．]‎ ‎5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．‎ 　[∵函数f(x)的图像为直线，‎ 由题意可得f(－1)·f(1)＜0，‎ ‎∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，‎ ‎∴实数a的取值范围是.]‎ ‎(对应学生用书第28页)‎ 判断函数零点所在区间 ‎　(1)已知函数f(x)＝ln x－的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)‎ A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎(2)(2018·北京东城区综合练习(二))已知函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在(k∈Z)内，那么k＝________.‎ ‎(1)C　(2)5　[(1)∵f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上是增函数，‎ 又f(1)＝ln 1－＝ln 1－2＜0，‎ f(2)＝ln 2－＜0，‎ f(3)＝ln 3－＞0，‎ ‎∴x0∈(2,3)，故选C．‎ ‎(2)∵f′(x)＝＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且f＝ln －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零点在内，则整数k＝5.]‎ ‎[规律方法]　判断函数零点所在区间的方法 (1)解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来判断.‎ (2)利用零点存在性定理进行判断.‎ (3)数形结合画出函数图像，通过观察图像与x轴在给定区间内是否有交点来判断.‎ ‎[跟踪训练]　(1)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎(2)函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．‎ ‎(1)B　(2)存在　[(1)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图像交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：‎ 可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．‎ ‎(2)法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，‎ f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，‎ ‎∴f(1)·f(8)＜0，‎ 又f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图像是连续的，‎ 故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．‎ 法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，‎ ‎∴(x－6)(x＋3)＝0.‎ ‎∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，‎ ‎∴f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．]‎ 判断函数零点的个数 ‎　(1)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f(x)＝的零点个数是________. ‎ ‎【导学号：79140061】‎ ‎(1)C　(2)3　[(1)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x＞0)，y＝ln x(x＞0)的图像，如图所示：‎ 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.‎ ‎(2)当x＞0时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图像，‎ 由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点；‎ 当x≤0时，由f(x)＝0得x＝－，‎ 综上，f(x)有3个零点．]‎ ‎[规律方法]　判断函数零点个数的三种方法 (1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点.‎ (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断.‎ (3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.‎ ‎[跟踪训练]　(1)函数f(x)＝0.9x－x的零点个数是(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎(1)B　(2)B　[(1)因为f(x)＝0.9x－x，则函数f(x)为减函数，值域为R，所以函数f(x)的图像必与x轴有一个交点，即方程0.9x－x＝0有一解．‎ ‎(2)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，‎ 可得|log0.5x|＝.‎ 设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．]‎ 函数零点的应用 ‎　(1)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)‎ A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a)‎ C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0‎ ‎(2)(2016·山东高考)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．‎ ‎(1)A　(2)(3，＋∞)　[(1)∵f(x)＝ex＋x－2，‎ ‎∴f′(x)＝ex＋1＞0，‎ 则f(x)在R上为增函数，‎ 又f(0)＝e0－2＜0，f(1)＝e－1＞0，‎ 且f(a)＝0，∴0＜a＜1.‎ ‎∵g(x)＝ln x＋x2－3，‎ ‎∴g′(x)＝＋2x.‎ 当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，‎ ‎∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，‎ 又g(1)＝ln 1－2＝－2＜0，g(2)＝ln 2＋1＞0，且g(b)＝0，∴1＜b＜2，∴a＜b，‎ ‎∴故选A．‎ ‎(2)作出f(x)的图像如图所示．‎ 当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.]‎ ‎[规律方法]　已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.‎ (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.‎ (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.‎ ‎[跟踪训练]　(1)已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝ln x－1的零点依次为a，b，c，则(　　)‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c ‎(2)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　) ‎ ‎【导学号：79140062】‎ A．(1,3) B．(1,2)‎ C．(0,3) D．(0,2)‎ ‎(1)A　(2)C　[(1)∵ea＝－a，∴a＜0，∵ln b＝－b，且b＞0，∴0＜b＜1，∵ln c＝1，∴c＝e＞1，故选A．‎ ‎(2)∵函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.]‎