数学理卷·2018届内蒙古包头市第三十三中学高二上学期期末考试（2017-01）
包33中2016～2017学年度第一学期期末考试
高二年级数学（理）试卷
命题人： 韩飞 2017年1月9日
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。每题只有一个正确答案)
1．若某一随机变量X的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为( )
X
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
A.－0.2 B．0.2
C．0.1 D．－0.1
2．服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( )
A．0.3% B．0.23% C．1.5% D．0.15%
3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9 个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为( )
A. B.
C．36 D.
4．若a＝，b＝，c＝， 则 ( )
A．a
0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
9．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1
10．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A. B. C. D.
11．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )
A．540种 B．300种 C．180种 D．150种
12．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13．下面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．
14．执行下边的程序框图，输出的T＝________.
（13题图） （15题图）
15.如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________
16．若不等式a·4x－2x＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
三、简答题(共70分),写出必要的解题过程.
17．(本题满分10分)
已知变量x，y满足
(1)设z＝，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
18．(本小题满分12分)某中学动员学生在春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活动”)．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；
(2)从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
(3)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列．
19．(本小题满分12分)为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表：
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
大于40岁
16
小于等于40岁
12
合计
40
已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为.
(1) 请将2×2列联表补充完整；据此数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？
(2) (2)已知大于40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望
下面的临界值表供参考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
20 (本小题满分12分)已知函数
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的范围
21．已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992.求在(2x－)2n的展开式中，
(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．
22．(本小题满分12分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．
包33中2016~2017学年度第一学期期末考试
高二年级数学（理）试卷答案
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
C
C
C
B
C
D
D
D
C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13. 14. 30 ；
15 16
三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17答案 (1) (2)[16,64]
解析 由约束条件
作出(x，y)的可行域如图所示．
由解得A(1，)．
由解得C(1,1)．由解得B(5,2)．
(1)因为z＝＝，
故z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．
观察图形可知zmin＝kOB＝. 5分
(2)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8，
则16≤z≤64. 10分
18解析 根据统计图知参加活动1次、2次、3次的学生数分别为10,50,40.
(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为＝＝2.3 3分
(2)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率P0＝＝.
7分
(3)ξ的取值为0,1,2，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
12 分
19解析 (1)
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
大于40岁
16
4
20
小于等于40岁
8
12
20
合计
24
16
40
K2＝≈6.667>6.735，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关． 6分
(2)ξ可以取0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 12 分
20【解析】 (1)∵x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，须Δ＝a2－4(3－a)≤0，
即a2＋4a－12≤0，所以－6≤a≤2. 4分
(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：
①如图(1)，当g(x)的图像恒在x轴上方时，满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤
a≤2.
②如图(2)，g(x)的图像与x轴有交点，但在x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
即⇔
解之得x∈∅.
③如图(3)，g(x)的图像与x轴有交点，但在x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，
即即⇔
∴－7≤a≤－6.
综合，得－7≤a≤2. 12分
21解析 由题意知22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，
∴2n＝32，解得n＝5. 3分
(1)由二项式系数的性质知，(2x－)10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C＝252.
∴二项式系数最大的项为T6＝C(2x)5(－)5＝－8 064. 6分
(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，∴Tr＋1＝C·(2x)10－r·(－)r＝(－1)rC·210－r·x10－2r
∴得即
解得≤r≤.∵r∈Z，∴r＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝－C·27·x4＝－15 360x4. 12分
22解析 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)＝2＋×2＋××2＝. 4分
(2)X的可能取值为2, 3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4 )＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
X
2
3
4
5
P
E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 12分
