广东省东莞市南城中学2013届高三第四次月考数学文

广东省东莞市南城中学2013届高三第四次月考数学文

命题人： 审核人： 审定人： ‎ 南城中学2013届高三第四次月考试卷 数学（文科）‎ ‎2012.12‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．‎ 注意：考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，只交回答题卡．‎ 参考公式：球的体积公式，其中是球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设全集，设集合，，则( )‎ A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1,2}‎ ‎2．设为虚数单位，则复数( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设，则“”是“”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是( )‎ 开始 S=4‎ i=1‎ i=i+1‎ 结束 是 否 输出S A． B． C． D．‎ O ‎5．如图，平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体 积为 ( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．下列函数中，既是偶函数，又在区间内是 增函数的为( )‎ A．，R B．，R C．，R且≠0 D．，R 高三数学（文科）试卷 第1页 共4页 ‎7．如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、，‎ B A C D E 则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．定义在上的函数满足.当时，，当时，．则( )‎ A．335 B．‎338 ‎‎ C．1678 D．2012‎ F1‎ F2‎ A B O x y ‎9．如图，椭圆的左、右顶点分别是，，‎ 左、右焦点分别是，，若，，成等比 数列，则此椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，，，，记，分别为集合，中的元素个数，那么下列结论不可能的是( )‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题.）‎ ‎（一）必做题：第11~13题为必做题。‎ ‎11．函数（，且）的定义域为 ．‎ ‎12．设，向量且，则_________．‎ ‎13．数列满足：（N*），则 ．‎ ‎（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆经过点，‎ 圆心为，则圆的极坐标方程为 ．‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图，过点P的直线与圆O 相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径 高三数学（文科）试卷 第2页 共4页 等于______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 函数（）的最大值为2，其最小正周期为．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设，则，求的值．‎ y O A C B x ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图中，,,．‎ ‎（1）写出区域（阴影部分且包括边界）所表 示的二元一次不等组；‎ ‎（2）已知点，求的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图，在长方体中，点在棱的延长线 上，且．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求四面体的体积．‎ 附：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高 高三数学（文科）试卷 第3页 共4页 ‎19．（本小题满分14分）‎ 等差数列前项和为，已知对任意的，都有.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）若，求数列前项和.‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆:的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当△AMN得面积为时，求的值．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设函数．‎ ‎（1）若函数在处取得极小值是，求的值； ‎ ‎（2）求函数的单调递增区间；‎ ‎（3）若函数在上有且只有一个极值点, 求实数的取值范围．‎ 高三数学（文科）试卷 第4页 共4页 南城中学2013届高三第四次月考文科数学参考答案 一.DBACB；CABCD 二.11、；12、；13、；14、；15、‎ ‎16.（1）由题意，………………2分 ‎∵最小正周期，∴………………4分 故函数的解析式为…………5分 ‎（2）∵，即，…………6分 ‎∵，∴，…………7分 ‎∴，，……………………10分 故………………12分 ‎（或）∵，∴，∴，……9分 故…………12分 ‎17.（1）解：设直线的方程为：，而,在直线上，则 ‎，解得，，从而直线的方程为；‎ 同理，直线的方程为，直线的方程为，‎ ‎∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得区域（包括边界）所表示的二元一次不等组为：……6分 ‎（2）令，作出的图象，通过平移可知：………………7分 经过点B时，截距最小，此时；………………9分 经过点C时，截距最大，此时，…………11分 所以的取值范围是………………12分 ‎18.解：（1）证明：连，‎ ‎，，∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 ………2分 ， 则 ‎ 又平面，平面 ‎∴//平面    ………5分 ‎（2） 由已知得，则，即 ……6分 由长方体的特征可知：平面 而平面， 则 ………9分 ‎∴平面 ………10分 ‎（3）四面体的体积 ‎ ………14分 ‎19.（1）点在二次函数的图象上，∴……1分 ‎ ，，‎ 又∵等差数列，∴， ………………………3分 ‎，………………6分 ‎（2）…………7分 ‎…………①………………8分 ‎……② ……………9分 ‎①-②‎ ‎ ……………13分 ‎………………………………14分 ‎20.（1）由题意得…………2分 解得.……4分 所以椭圆C的方程为.…………5分 ‎（2）由，消去得.…………7分 设点，的坐标分别为，，则，，‎ 由韦达定理得：，，…………8分， 所以 ‎.…10分 由因为点到直线的距离，……12分 所以的面积为，由，……13分 解得，或.…………14分 ‎21.（1）…………3分 ‎ ‎ 得 …………4分 ‎ 解得： …………5分 ‎（2） ‎ 令………………7分 当，即的单调递增区间为…………8分 当，即的单调递增区间为…………9分 当，即的单调递增区间为…………10分 ‎（3）由题意可得：……12分 ‎∴ ，，……14分 ‎ ∴的取值范围