2020年全国高考全国卷Ⅲ（理科）数学试卷【word版本试题；可编辑；含答案】

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1 / 9 2020 年全国高考 全国卷Ⅲ（理科）数学试卷 一、选择题 1.已知集合퐴 = {(푥, 푦)|푥, 푦 ∈ 퐍∗，푦 ≥ 푥}，퐵 = {(푥, 푦)|푥 + 푦 = 8}，则퐴 ∩ 퐵中元素的个数为() A.2 B.3 C.4 D.6 2.复数 1 1−3푖 的虚部是() A.− 3 10 B.− 1 10 C. 1 10 D. 3 10 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为푝1，푝2，푝3，푝4， 且∑ 푝푖 4 푖=1 = 1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是() A.푝1 = 푝4 = 0.1，푝2 = 푝3 = 0.4 B.푝1 = 푝4 = 0.4，푝2 = 푝3 = 0.1 C.푝1 = 푝4 = 0.2，푝2 = 푝3 = 0.3 D.푝1 = 푝4 = 0.3，푝2 = 푝3 = 0.2 4.퐿표푔푖푠푡푖푐模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根 据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数퐼(푡)（푡的单位：天） 的퐿표푔푖푠푡푖푐模型：퐼(푡) = 퐾 1+푒−0.23(푡−53)，其中퐾为最大确诊病例数.当퐼(푡∗) = 0.95퐾时，标志已初步遏制疫情，则푡∗约为()(ln19 ≈ 3) A.60 B.63 C.66 D.69 5.设푂为坐标原点，直线푥 = 2与抛物线퐶: 푦2 = 2푝푥(푝 > 0)交于퐷，퐸两点， 若푂퐷 ⊥ 푂퐸，则퐶的焦点坐标为() A.(1 4 , 0) B.(1 2 , 0) C.(1,0) D.(2,0) 6.已知向量푎→，푏 → 满足|푎→| = 5，|푏 → | = 6，푎→ ⋅ 푏 → = −6，则cos < 푎→, 푎→ + 푏 → >= （） A.− 31 35 B.− 19 35 C.17 35 D.19 35 7.在△ 퐴퐵퐶中，cos퐶 = 2 3 ，퐴퐶 = 4，퐵퐶 = 3，则cos퐵 =() A.1 9 B.1 3 C.1 2 D.2 3 8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是() A.6 + 4√2 B.4 + 4√2 C.6 + 2√3 D.4 + 2√3 9.已知2tan휃 − tan (휃 + 휋 4) = 7，则tan휃 =() A.−2 B.−1 C.1 D.2 10.若直线푙与曲线푦 = √푥和圆푥2 + 푦2 = 1 5 相切，则푙的方程为() A.푦 = 2푥 + 1 B.푦 = 2푥 + 1 2 C.푦 = 1 2 푥 + 1 D.푦 = 1 2 푥 + 1 2 11.已知双曲线퐶：푥2 푎2 − 푦2 푏2 = 1(푎 > 0，푏 > 0)的左右焦点퐹1，퐹2，离心率 为√5．푃是퐶上的一点，且퐹1푃 ⊥ 퐹2푃．若△ 푃퐹1퐹2的面积为4，则푎 =() A.1 B.2 C.4 D.8 12.已知55 < 84，134 < 85．设푎 = log53，푏 = log85，푐 = log138，则() 2 / 9 A.푎 < 푏 < 푐 B.푏 < 푎 < 푐 C.푏 < 푐 < 푎 D.푐 < 푎 < 푏 二、填空题 13.若푥，푦满足约束条件{ 푥 + 푦 ≥ 0, 2푥 − 푦 ≥ 0, 푥 ≤ 1, 则푧 = 3푥 + 2푦的最大值是________. 14.(푥2 + 2 푥) 6 的展开式中常数项是________（用数字作答）. 15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体 积为________. 16.关于函数푓(푥) = sin푥 + 1 sin푥 . ①푓(푥)的图像关于푦轴对称； ②푓(푥)的图像关于原点对称； ③푓(푥)的图像关于푥 = 휋 2 对称； ④푓(푥)的最小值为2． 其中所有真命题的序号是________. 三、解答题 17.设数列{푎푛}满足푎1 = 3，푎푛+1 = 3푎푛 − 4푛. (1)计算푎2，푎3，猜想{푎푛}的通项公式并加以证明； (2)求数列{2푛푎푛}的前푛项和푆푛. 18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天 到公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)： (1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区 间的中点值为代表)； (3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的 3 / 9 空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完 成下列的2 × 2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天 中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附：퐾2 = 푛(푎푑−푏푐)2 (푎+푏)(푐+푑)(푎+푐)(푏+푑)， 19.如图，长方形퐴퐵퐶퐷 − 퐴1퐵1퐶1퐷1中，点퐸，퐹分别在棱퐷퐷1，퐵퐵1上， 且2퐷퐸 = 퐸퐷1，퐵퐹 = 2퐹퐵1. (1)证明：点퐶1在平面퐴퐸퐹内； (2)若퐴퐵 = 2，퐴퐷 = 1，퐴퐴1 = 3，求二面角퐴 − 퐸퐹 − 퐴1的正弦值． 4 / 9 20.已知椭圆퐶: 푥2 25 + 푦2 푚2 = 1(0 < 푚 < 5)的离心率为√15 4 ，퐴，퐵分别为퐶的 左、右顶点． (1)求퐶的方程； (2)若点푃在퐶上，点푄在直线푥 = 6上，且|퐵푃| = |퐵푄|，퐵푃 ⊥ 퐵푄，求△ 퐴푃푄的面积． 21.设푓(푥) = 푥3 + 푏푥 + 푐，푥 ∈ R，曲线푓(푥)在点(1 2 , 푓(1 2))处的切线与푦轴 垂直. (1)求푏； (2)若푓(푥)有一个绝对值不大于1的零点，证明：푓(푥)的所有零点的绝对值 都不大于1. 5 / 9 22.在直角坐标系푥푂푦中，曲线퐶的参数方程为{ 푥 = 2 − 푡 − 푡2， 푦 = 2 − 3푡 + 푡2， （푡为参 数且푡 ≠ 1）， 퐶与坐标轴交于퐴，퐵两点． (1)求|퐴퐵|； (2)以坐标原点为极点，푥轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线퐴퐵的极 坐标方程． 23.设푎，푏，푐 ∈ R，푎 + 푏 + 푐 = 0，푎푏푐 = 1. (1)证明：푎푏 + 푏푐 + 푐푎 < 0； (2)用푚푎푥{푎, 푏, 푐}表示푎，푏，푐的最大值，证明：푚푎푥{푎, 푏, 푐} ≥ √43 . 6 / 9 参考答案与试题解析 2020 年全国高考 全国卷Ⅲ（理科）数学试卷 一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.D 10.D 11.A 12.A 二、填空题 13.7 14.240 15.√2 3 휋 16.②③ 三、解答题 17.解：(1)由푎1 = 3，푎푛+1 = 3푎푛 − 4푛， 푎2 = 3푎1 − 4 = 5，푎3 = 3푎2 − 4 × 2 = 7， ⋯， 猜想{푎푛}的通项公式为푎푛 = 2푛 + 1. 证明如下：（数学归纳法）当푛 = 1，2，3时，显然成立；① 假设푛 = 푘时，即푎푘 = 2푘 + 1成立，其中(푘 ∈ N∗)， 由푎푘+1 = 3푎푘 − 4푘 = 3(2푘 + 1) − 4푘 = 2(푘 + 1) + 1，② 故假设成立. 综上①②，所以푎푛 = 2푛 + 1(푛 ∈ N∗). (2)令푏푛 = 2푛푎푛 = (2푛 + 1)2푛， 则前푛项和푆푛 = 푏1 + 푏2 + ⋯ + 푏푛 = 3 × 21 + 5 × 22 + ⋯ + (2푛 + 1)2푛，③ 由③两边同乘以2得： 2푆푛 = 3 × 22 + 5 × 23 + ⋯ + (2푛 − 1)2푛 + (2푛 + 1)2푛+1，④ 由③−④得−푆푛 = 3 × 2 + 2 × 22 + ⋯ + 2 × 2푛 − (2푛 + 1)2푛+1 = 6 + 23(1−2푛−1) 1−2 − (2푛 + 1)2푛+1， 化简得푆푛 = (2푛 − 1)2푛+1 + 2. 18.解：(1)푃1 = 2+16+25 100 = 43 100 ， 푃2 = 5+10+12 100 = 27 100 ， 푃3 = 6+7+8 100 = 21 100 ， 푃4 = 7+2+0 100 = 9 100 . (2)푥¯ = (2 + 5 + 6 + 7) × 100 + (16 + 10 + 7 + 2) × 300 + (25 + 12 + 8) × 500 100 = 350. (3)完成2 × 2列联表如下： 人次≤ 400 人次> 400 合计 空气质量好 33 37 70 空气质量不好 22 8 30 合计 55 45 100 则퐾2 = 푛(푎푑−푏푐)2 (푎+푏)(푐+푑)(푎+푐)(푏+푑) = 100(33 × 8 − 37 × 22)2 70 × 30 × 55 × 45 7 / 9 = 1100 189 ≈ 5.82. ∵5.82 > 3.841， ∴有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有 关. 19.解：(1)设퐴퐵 = 푎，퐴퐷 = 푏，퐴퐴1 = 푐， 如图，以퐶1为坐标原点，퐶퐷 → 的方向为正轴正方向，建立空间直角坐标系 퐶1 − 푥푦푧. 连结퐶1퐹，则퐶1(0,0,0)．퐴(푎, 푏, 푐)，퐸 (푎, 0, 2 3 푐)，퐹 (0, 푏, 1 3 푐)， 퐸퐴 → = (0, 푏, 1 3 푐)，퐶1퐹 → = (0, 푏, 1 3 푐)， 得퐸퐴 → = 퐶1퐹 → ， 因此퐸퐴//퐶1퐹， 即퐴，퐸，퐹，퐶1四点共面， 所以点퐶1在平面퐴퐸퐹内． (2)由(1)得퐴(2，1，3)퐸(2，0，2)，퐹(0，1，1)，퐴(2，1，0)， 퐴퐸 → = (0， − 1， − 1)，퐴퐹 → = (−2，0， − 2)， 퐴1퐸 → = (0， − 1，2)，퐴1퐹 → = (−2，0，1)， 设푛1 = (푥，푦，푧)为平面퐴퐸퐹的法向量， 则{푛1 → ⋅ 퐴퐸 → = 0， 푛1 ⋅ 퐴퐹 → = 0， 即{−푦 − 푧 = 0， −2푥 − 2푧 = 0， 可取푛1 = (−1, −1，1). 设푛2 = (푥′，푦′，푧′)为平面퐴1퐸퐹的法向量， 则{푛2 → ⋅ 퐴1퐸 → = 0， 푛2 ⋅ 퐴1퐹 → = 0， 同理可取푛2 = (1 2 , 2，1). 因为cos⟨푛1 → ，푛2 → ⟩ = 푛1 → ⋅푛2 → |푛1 → ||푛1 → | = − √7 7 ， 所以二面角퐴 − 퐸퐹 − 퐴1的正弦值为√42 7 . 20.解：(1)设푎 = 4푡1，푐 = √15푡1， 则푏 = 푚 = 푡1， 8 / 9 所以푚 = 푡1. 因为푎 = 4푡1 = 5，解得푡1 = 5 4 ， 所以푚 = 5 4 ， 所以퐶的方程为퐶: 푥2 25 + 16푦2 25 = 1(0 < 푚 < 5). (2)设点푄(6, 푡)，푃(푚1, 푛1)，又퐴(−5,0)，퐵(5,0)， 则퐵푃 → = (푚1 − 5, 푛1)，퐵푄 → = (1, 푡)， 所以퐵푃 → ⋅ 퐵푄 → = 0， 得푚1 − 5 + 푛1푡 = 0. 过푃作푃퐾 ⊥ 푥轴，如图所示， 所以∠1 + ∠2 = 휋 2 ，又∠1 + ∠3 = 휋 2 ， 所以∠2 = ∠3，∠4 = ∠1，又|퐵푃| = |퐵푄|， 所以△ 푃퐾퐵 ≅△ 퐵퐺푄， 得퐾퐵 = 푄퐺，푃퐾 = 퐵퐺 = 1，即푦푃 = 1， 所以푃(푚1, 1), 得푚1 − 5 + 푡 = 0. 将푃的坐标代入椭圆方程得푚12 25 + 16 25 = 1， 解得푚1 = ±3，则푡 = 2或푡 = 8， 所以푃(3,1)，푄(6,2)或푃(−3,1)，푄(6,8). 当푃(3,1)，푄(6,2)时，|퐴푄| = 5√5， 直线퐴푄的方程为：2푥 − 11푦 + 10 = 0， 푃(3,1)到直线퐴푄的距离为푑 = 5 5√5 ， 所以푆△퐴푃푄 = 1 2 |퐴푄|푑 = 1 2 × 5√5 × 5 5√5 = 5 2 ； 当푃(−3,1)，푄(6,8)时，|퐴푄| = √185， 直线퐴푄的方程为：8푥 − 11푦 + 40 = 0， 푃(−3,1)到直线퐴푄的距离为푑 = 5 √185 ， 所以푆△퐴푃푄 = 1 2 |퐴푄|푑 = 1 2 × √185 × 5 √185 = 5 2 . 综上，△ 퐴푃푄的面积为5 2 ． 21.(1)解：푓′(푥) = 3푥2 + 푏， ∵曲线푓(푥)在点(1 2 , 푓(1 2))处的切线与푦轴垂直， ∴曲线푓(푥)在点(1 2 , 푓(1 2))处的切线斜率为0， ∴푓′(1 2) = 3 × (1 2)2 + 푏 = 0， 解得푏 = − 3 4 . (2)证明：设푥0为푓(푥)的一个零点， 根据题意，푓(푥0) = 푥0 3 − 3 4 푥0 + 푐 = 0，且|푥0| ≤ 1， 则푐 = −푥0 3 + 3 4 푥0. 9 / 9 由|푥0| ≤ 1，푐′ = −3푥0 2 + 3 4 ，显然푐(푥0)在(−1, − 1 2)上单调递减， 在(− 1 2 , 1 2)上单调递增，在(1 2 , 1)上单调递减， 易得푐(−1) = 1 4 ，푐(1) = − 1 4 ， 푐(− 1 2) = − 1 4 ，푐(1 2) = 1 4 ， ∴− 1 4 ≤ 푐 ≤ 1 4 . 设푥1为푓(푥)的零点， 则必有푓(푥1) = 푥1 3 − 3 4 푥1 + 푐 = 0， 即− 1 4 ≤ 푐 = −푥1 3 + 3 4 푥1 ≤ 1 4 ， ∴{4푥1 3 − 3푥1 − 1 = (푥1 − 1)(2푥1 + 1)2 ≤ 0, 4푥1 3 − 3푥1 + 1 = (푥1 + 1)(2푥1 − 1)2 ≥ 0, ∴−1 ≤ 푥1 ≤ 1，即|푥1| ≤ 1， ∴푓(푥)的所有零点的绝对值都不大于1. 22.解：(1)当푥 = 0时，即0 = 2 − 푡 − 푡2， 解得푡 = −2或푡 = 1（舍）， 将푡 = −2代入푦 = 2 − 3푡 + 푡2中， 解得푦 = 12； 当푦 = 0时，即0 = 2 − 3푡 + 푡2， 解得푡 = 2或푡 = 1（舍）， 将푡 = 2代入푥 = 2 − 푡 − 푡2中， 解得푥 = −4， 所以曲线与坐标轴交于(0,12)和(−4,0)， 故|퐴퐵| = √(−4)2 + 122 = 4√10. (2)设直线퐴퐵的解析式为푦 = 푘푥 + 푏， 由(1)得直线퐴퐵过点(0,12)和(−4,0)， 所以直线퐴퐵的解析式为3푥 − 푦 + 12 = 0. 故直线퐴퐵的极坐标方程为3휌cos휃 − 휌sin휃 + 12 = 0. 23.证明：(1)∵푎 + 푏 + 푐 = 0， ∴(푎 + 푏 + 푐)2 = 0， ∴푎2 + 푏2 + 푐2 + 2푎푏 + 2푏푐 + 2푐푎 = 0， 即2푎푏 + 2푏푐 + 2푐푎 = −(푎2 + 푏2 + 푐2)， ∴2푎푏 + 2푏푐 + 2푐푎 < 0， ∴푎푏 + 푏푐 + 푐푎 < 0. (2)不妨设푎 ≤ 푏 < 0 < 푐 < √43 ， 则푎푏 = 1 푐 > 1 √43 ，−푎 − 푏 = 푐 < √43 ， 而√43 > −푎 − 푏 ≥ 2√푎푏 > 2 √46 = 21−1 3 = √43 ，矛盾， 所以命题得证．