2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§5-3 三角函数的图象、性质及应用（试题部分）
§5.3 三角函数的图象、性质及应用
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 三角函数的图象及其变换
1.将函数y=sinx+π6图象上所有的点向左平移π4个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象的解析式为( )
A.y=sin2x+5π12 B.y=sinx2+5π12
C.y=sinx2-π12 D.y=sinx2+5π24
答案 B
2.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)在区间-π6,5π6上的图象,为了得到这个图象,只需将g(x)=Acos ωx的图象( )
A.向右平移π6个单位长度 B.向右平移π12个单位长度
C.向右平移π8个单位长度 D.向左平移π6个单位长度
答案 B
3.将函数f(x)=2sin4x-π3的图象向左平移π6个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是( )
A.最小正周期为π B.图象关于直线x=π12对称
C.图象关于点π12,0对称 D.初相为π3
答案 C
4.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度,得到偶函数g(x)的图象,则φ的最大值是 .
答案 -π6
考点二 三角函数的性质及其应用
5.已知函数f(x)=(sin x+cos x)sin x,则下列说法不正确的为( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在3π8,7π8上单调递减
C.f(x)的图象关于直线x=-π8对称
D.将f(x)的图象向右平移π8个单位长度,再向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图象
答案 D
6.若f(x)为偶函数,且在0,π2上满足:对任意x1
0,则f(x)可以为( )
A. f(x)=cosx+5π2 B. f(x)=|sin(π+x)|
C. f(x)=-tan x D. f(x)=1-2cos22x
答案 B
7.已知点P32,-332是函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)图象上的一个最低点,M,N是与点P相邻的两个最高点,若∠MPN=60°,则该函数的最小正周期是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 D
8.已知向量a=(cos x,0),b=(0,3sin x),记函数f(x)=(a+b)2+3sin 2x.
(1)求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
解析 (1)f(x)=(a+b)2+3sin 2x=1+2sin2x+3sin 2x=3sin 2x-cos 2x+2=2sin2x-π6+2.
当且仅当2x-π6=-π2+2kπ(k∈Z),即x=-π6+kπ(k∈Z)时, f(x)min=0,此时x的取值集合为xx=-π6+kπ,k∈Z.
(2)由-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ(k∈Z),
得-π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为-π6+kπ,π3+kπ(k∈Z).
综合篇知能转换
【综合集训】
考法一 关于三角函数图象的问题
1.(2016课标Ⅱ,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sin2x-π6 B.y=2sin2x-π3
C.y=2sinx+π6 D.y=2sinx+π3
答案 A
2.(2019河北衡水中学3月全国大联考,9)将曲线C1:y=2cos2x-π6上的点向右平移π6个单位长度,再将各点横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到曲线C2,则C2的方程为( )
A.y=2sin 4x B.y=2sin4x-π3
C.y=2sin x D.y=2sinx-π3
答案 A
3.(2020届黑龙江哈师大附中9月月考,7)函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,为了得到g(x)=sin 3x的图象,只需将f(x)的图象( )
A.向右平移π4个单位长度 B.向左平移π4个单位长度
C.向右平移π12个单位长度 D.向左平移π12个单位长度
答案 C
4.(2018广东肇庆二模,14)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f-π3的值是 .
答案 -62
考法二 三角函数的单调性问题
5.(2019河南郑州一模,8)已知函数f(x)=sin(ωx+θ)ω>0,-π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2,若将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,则函数f(x)的一个单调递减区间为( )
A.-π3,π6 B.π4,7π12
C.0,π3 D.π2,5π6
答案 B
6.(2018广东省际名校联考(二),15)将函数f(x)=1-23·cos2x-(sin x-cos x)2的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,若x∈-π2,π2,则函数g(x)的单调递增区间是 .
答案 -5π12,π12
7.(2020届吉林白城通榆一中第一次月考,20)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的图象与直线y=2两相邻交点之间的距离为π,且图象关于直线x=π3对称.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)先将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间以及g(x)≥3的x的取值范围.
解析 (1)由已知可得T=π,∴2πω=π,∴ω=2,
又f(x)的图象关于直线x=π3对称,
∴2×π3+φ=kπ+π2,k∈Z,
∴φ=kπ-π6,k∈Z,
∵|φ|<π2,∴φ=-π6.
∴f(x)=2sin2x-π6.
(2)由(1)可得f(x)=2sin2x-π6,∴g(x)=2sinx+π6,由2kπ-π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z得2kπ-2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z,∴g(x)的单调递增区间为2kπ-2π3,2kπ+π3,k∈Z.
∵2sinx+π6≥3,∴sinx+π6≥32,
∴2kπ+π3≤x+π6≤2kπ+2π3,k∈Z,
∴2kπ+π6≤x≤2kπ+π2,k∈Z,
∴g(x)≥3的x的取值范围为x2kπ+π6≤x≤2kπ+π2,k∈Z.
考法三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性的有关问题
8.(2020届湖南长沙一中第一次月考,9)将函数f(x)=2sin2x-π6-1的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数g(x)的最小正周期是π2
B.函数g(x)的图象关于直线x=-π12对称
C.函数g(x)在π6,π2上单调递减
D.函数g(x)在0,π6上的最大值是1
答案 C
9.(2018河南六市第一次联考,5)已知函数f(x)=2sinωx+π6(ω>0)的图象与函数g(x)=cos(2x+φ)|φ|<π2的图象的对称中心完全相同,则φ为( )
A.π6 B.-π6 C.π3 D.-π3
答案 D
10.(2020届四川绵阳南山中学9月月考,18)已知函数f(x)=cos2ωx+3sin ωxcos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f23π的值;
(2)求函数f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程.
解析 (1)f(x)=cos2ωx+3sin ωxcos ωx
=1+cos2ωx2+32sin 2ωx=12cos 2ωx+32sin 2ωx+12
=sin2ωx+π6+12.
∵f(x)的最小正周期为π,ω>0,
∴2π2ω=π,∴ω=1.
∴f(x)=sin2x+π6+12.
∴f23π=sin4π3+π6+12=sin 3π2+12=-1+12=-12.
(2)因为y=sin x的单调增区间为-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z,单调减区间为π2+2kπ,3π2+2kπ,k∈Z,
所以由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z.
由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z.
∴f(x)的单调增区间为-π3+kπ,π6+kπ,k∈Z,单调减区间为π6+kπ,2π3+kπ,k∈Z.
∵y=sin x图象的对称轴为x=kπ+π2,k∈Z,
∴2x+π6=π2+kπ,k∈Z.
∴f(x)图象的对称轴方程为x=π6+kπ2,k∈Z.
考法四 三角函数的最值
11.(2019山西3月质检,7)将函数f(x)=sin x的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=f(x)·g(x)的最大值为( )
A.2+24 B.2-24 C.1 D.12
答案 A
12.(2019湖北武昌调研,8)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为( )
A.34 B.1 C.32 D.2
答案 C
【五年高考】
考点一 三角函数的图象及其变换
1.(2017课标Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin2x+2π3,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2
答案 D
2.(2018天津,6,5分)将函数y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间3π4,5π4上单调递增
B.在区间3π4,π上单调递减
C.在区间5π4,3π2上单调递增
D.在区间3π2,2π上单调递减
答案 A
3.(2016北京,7,5分)将函数y=sin2x-π3图象上的点Pπ4,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则( )
A.t=12,s的最小值为π6 B.t=32,s的最小值为π6
C.t=12,s的最小值为π3 D.t=32,s的最小值为π3
答案 A
4.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-3cos x的图象可由函数y=sin x+3cos x的图象至少向右平移 个单位长度得到.
答案 23π
5.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是 .
答案 7
考点二 三角函数的性质及其应用
6.(2016山东,7,5分)函数f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是( )
A.π2 B.π C.3π2 D.2π
答案 B
7.(2019课标Ⅱ,9,5分)下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是( )
A. f(x)=|cos 2x| B. f(x)=|sin 2x|
C. f(x)=cos|x| D. f(x)=sin|x|
答案 A
8.(2019课标Ⅲ,12,5分)设函数f(x)=sinωx+π5(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在0,π10单调递增
④ω的取值范围是125,2910
其中所有正确结论的编号是( )
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④
答案 D
9.(2019课标Ⅰ,11,5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:
① f(x)是偶函数
② f(x)在区间π2,π单调递增
③ f(x)在[-π,π]有4个零点
④ f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
答案 C
10.(2018课标Ⅱ,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( )
A.π4 B.π2 C.3π4 D.π
答案 A
11.(2016课标Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=kπ2-π6(k∈Z) B.x=kπ2+π6(k∈Z)
C.x=kπ2-π12(k∈Z) D.x=kπ2+π12(k∈Z)
答案 B
12.(2015课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.kπ-14,kπ+34,k∈Z B.2π-14,2kπ+34,k∈Z
C.k-14,k+34,k∈Z D.2k-14,2k+34,k∈Z
答案 D
13.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2,x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在π18,5π36单调,则ω的最大值为( )
A.11 B.9 C.7 D.5
答案 B
14.(2019天津,7,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且gπ4=2,则f 3π8=( )
A.-2 B.-2 C.2 D.2
答案 C
15.(2019上海,15,5分)已知ω∈R,函数f(x)=(x-6)2·sin(ωx),存在常数a∈R,使得f(x+a)为偶函数,则ω的值可能为( )
A.π2 B.π3 C.π4 D.π5
答案 C
16.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f5π8=2, f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
A.ω=23,φ=π12 B.ω=23,φ=-11π12
C.ω=13,φ=-11π24 D.ω=13,φ=7π24
答案 A
17.(2017课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin2x+3cos x-34x∈0,π2的最大值是 .
答案 1
18.(2019北京,9,5分)函数f(x)=sin22x的最小正周期是 .
答案 π2
19.(2018北京,11,5分)设函数f(x)=cosωx-π6(ω>0).若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立,则ω的最小值为 .
答案 23
20.(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=fx+π122+fx+π42的值域.
解析 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.考查的数学素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想.
(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2.
(2)y=fx+π122+fx+π42
=sin2x+π12+sin2x+π4
=1-cos2x+π62+1-cos2x+π22
=1-1232cos2x-32sin2x=1-32cos2x+π3.
因此,函数的值域是1-32,1+32.
思路分析 (1)根据偶函数的定义,知f(-x+θ)=f(x+θ)恒成立,利用三角恒等变换,得出cos θ=0,从而求出θ的值.
(2)将函数解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,利用三角函数的性质求值域.
21.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(x∈R).
(1)求f2π3的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解析 本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.
(1)由sin2π3=32,cos2π3=-12,
得f2π3=322--122-23×32×-12=2.
(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得
f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin2x+π6.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,
解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是π6+kπ,2π3+kπ(k∈Z).
教师专用题组
考点一 三角函数的图象及其变换
1.(2016四川,3,5分)为了得到函数y=sin2x-π3的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点( )
A.向左平行移动π3个单位长度
B.向右平行移动π3个单位长度
C.向左平行移动π6个单位长度
D.向右平行移动π6个单位长度
答案 D
2.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=π3,则φ=( )
A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6
答案 D
3.(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin2x+π4的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是 .
答案 3π8
考点二 三角函数的性质及其应用
4.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( )
A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关
答案 B
5.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
答案 C
6.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A. f(2)< f(-2)< f(0) B. f(0)< f(2)< f(-2)
C. f(-2)< f(0)< f(2) D. f(2)< f(0)< f(-2)
答案 A
7.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是 ,单调递减区间是 .
答案 π;38π+kπ,78π+kπ(k∈Z)
8.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解析 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-3),a∥b,
所以-3cos x=3sin x.
若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.
于是tan x=-33.又x∈[0,π],所以x=5π6.
(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-3)=3cos x-3sin x=23cosx+π6.
因为x∈[0,π],所以x+π6∈π6,7π6,
从而-1≤cosx+π6≤32.
于是,当x+π6=π6,即x=0时, f(x)取到最大值3;
当x+π6=π,即x=5π6时, f(x)取到最小值-23.
9.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=2sinx2cosx2-2sin2x2.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.
解析 (1)因为f(x)=22sin x-22(1-cos x)
=sinx+π4-22,
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为-π≤x≤0,所以-3π4≤x+π4≤π4.
当x+π4=-π2,即x=-3π4时, f(x)取得最小值.
所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f-3π4=-1-22.
10.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2x-π6,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间-π3,π4上的最大值和最小值.
解析 (1)由已知,有
f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-π32=1212cos2x+32sin2x-12cos 2x=34sin 2x-14cos 2x=12sin2x-π6.
所以, f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)因为f(x)在区间-π3,-π6上是减函数,在区间-π6,π4上是增函数, f -π3=-14, f -π6=-12, f π4=34,所以, f(x)在区间-π3,π4上的最大值为34,最小值为-12.
11.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2x+π4.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求△ABC面积的最大值.
解析 (1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+π22
=sin2x2-1-sin2x2=sin 2x-12.
由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z;
由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z);
单调递减区间是π4+kπ,3π4+kπ(k∈Z).
(2)由fA2=sin A-12=0,得sin A=12,
由题意知A为锐角,所以cos A=32.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
可得1+3bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+3,且当b=c时等号成立.
因此12bcsin A≤2+34.
所以△ABC面积的最大值为2+34.
评析 本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,以及解三角形等基础知识和基本方法,对运算能力有较高要求.属中等难度题.
12.(2015重庆,18,13分)已知函数f(x)=sinπ2-x·sin x-3cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)讨论f(x)在π6,2π3上的单调性.
解析 (1)f(x)=sinπ2-xsin x-3cos2x
=cos xsin x-32(1+cos 2x)
=12sin 2x-32cos 2x-32=sin2x-π3-32,
因此f(x)的最小正周期为π,最大值为2-32.
(2)当x∈π6,2π3时,0≤2x-π3≤π,从而当0≤2x-π3≤π2,即π6≤x≤5π12时, f(x)单调递增,
当π2≤2x-π3≤π,即5π12≤x≤2π3时, f(x)单调递减.
综上可知, f(x)在π6,5π12上单调递增,在5π12,2π3上单调递减.
【三年模拟】
一、单项选择题(每题5分,共45分)
1.(2020届四川绵阳南山中学,5)要得到函数y=sin 2x+3cos 2x(x∈R)的图象,可将y=2sin 2x的图象向左平移( )
A.π6个单位 B.π3个单位
C.π4个单位 D.π12个单位
答案 A
2.(2020届吉林白城通榆一中第一次月考,8)若函数f(x)=cos 2ωx(ω>0)在区间0,π3上为减函数,在区间π3,π2上为增函数,则ω=( )
A.3 B.2 C.32 D.23
答案 C
3.(2020届黑龙江大庆一中第一次月考,10)若函数f(x)=sin(2x+φ)+b对任意实数x,都有fx+π3=f(-x), f2π3=-1,则实数b的值为( )
A.-2或0 B.0或1 C.±1 D.±2
答案 A
4.(2020届黑龙江哈师大附中9月月考,11)已知函数f(x)=asin x-3cos x图象的一条对称轴为直线x=5π6,且f(x1)·f(x2)=-4,则|x1+x2|的最小值为( )
A.-π3 B.0 C.π3 D.2π3
答案 D
5.(2020届宁夏银川一中第一次月考,6)函数f(x)=sin(2x+φ)|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后关于y轴对称,则函数f(x)在0,π2上的最小值为( )
A.-32 B.-12 C.12 D.32
答案 B
6.(2020届广西桂林十八中第一次月考,8)将函数y=sin2x-π6的图象向左平移π4个单位,所得函数图象的一条对称轴方程为( )
A.x=π3 B.x=π6
C.x=π12 D.x=-π12
答案 C
7.(2020届四川邻水实验学校第一次月考,5)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,则当x∈[0,π]时,不等式g(x)<1的解集为( )
A.0,π4 B.7π12,π
C.0,π4∪7π12,π D.π4,7π12
答案 C
8.(2020届吉林白城通榆一中第一次月考,5)将函数y=sinx-π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π3个单位,得到的图象对应的解析式是( )
A.y=sin 12x B.y=sin12x-π2
C.y=sin12x-π6 D.y=sin2x-π6
答案 C
9.(2020届河南中原名校第二次质量考评)已知函数f(x)=sin2x-π3,若方程f(x)=13在(0,π)的根为x1,x2(x1cos β
C.函数y=sin23x-7π2是偶函数
D.函数y=sin 2x的图象向右平移π4个单位,得到y=sin2x+π4的图象
答案 ABC
12.(改编题)已知函数f(x)=sin xsinx+π3-14的定义域为[m,n](m0,ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x=13对称.该函数的部分图象如图所示,AC=BC=22,C=90°,则f12的值为 .
答案 34
14.(2020届四川邻水实验学校第一次月考,15)将函数f(x)=cos x-3sin x(x∈R)的图象向左平移α(α>0)个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则α的最小值是 .
答案 π6
15.(2020届宁夏银川一中第一次月考,15)若函数y=cos(x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向左平移π3个单位后,与函数y=sinx+π6的图象重合,则φ= .
答案 -2π3
四、解答题(共45分)
16.(2020届吉林白城通榆一中第一次月考,19)已知函数f(x)=Asinωx+π6(A>0,ω>0)的部分图象如图所示.
(1)求A,ω的值及f(x)的单调增区间;
(2)求f(x)在区间-π6,π4上的最大值和最小值.
解析 (1)由题图可得A=1,最小正周期T=22π3-π6=π,∴ω=2πT=2.
∴f(x)=sin2x+π6.
由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,
得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为-π3+kπ,π6+kπ,k∈Z.
(2)∵-π6≤x≤π4,∴-π6≤2x+π6≤2π3,
∴-12≤sin2x+π6≤1,∴函数f(x)在区间-π6,π4上的最大值为1,最小值为-12.
17.(2020届宁夏银川一中第一次月考,17)已知函数f(x)=sin2ωx+3sin ωx·sinωx+π2-1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)求ω的值;
(2)当x∈-π12,π2时,求函数f(x)的值域.
解析 (1)f(x)=1-cos2ωx2+3sin ωxcos ωx-1
=32sin 2ωx-12cos 2ωx-12=sin2ωx-π6-12.
由题意得函数f(x)的最小正周期为π,
∴2π2ω=π,解得ω=1,∴f(x)=sin2x-π6.
(2)∵x∈-π12,π2,∴2x-π6∈-π3,5π6,根据正弦函数的图象可得当2x-π6=π2,即x=π3时, f(x)=sin2x-π6取最大值1,
当2x-π6=-π3,即x=-π12时, f(x)=sin2x-π6取最小值-32,
∴-12-32≤sin2x-π6-12≤12,即当x∈-π12,π2时,f(x)的值域为-1+32,12.
18.(2020届黑龙江哈尔滨六中第一次调研,20)将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π6个单位长度后得到函数f(x)的图象.
(1)写出函数f(x)的解析式;
(2)若对任意x∈-π6,π12, f 2(x)-mf(x)-1≤0恒成立,求实数m的取值范围;
(3)求实数a和正整数n,使F(x)=f(x)-a在[0,nπ]上恰有2 019个零点.
解析 (1)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得y=sin 2x,再将所得的图象向左平移π6个单位得f(x)=sin2x+π3的图象,
∴f(x)=sin2x+π3.
(2)∵x∈-π6,π12,∴2x+π3∈0,π2.
∴f(x)∈[0,1].令t=f(x),t∈[0,1].
则g(t)=t2-mt-1≤0恒成立,故有g(0)=-1≤0且g(1)=-m≤0,∴m≥0.
(3)∵F(x)=f(x)-a在[0,nπ]上恰有2 019个零点,故f(x)的图象和直线y=a在[0,nπ]上恰有2 019个交点.
①当a>1或a<-1时, f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ]上无交点.
②当a=1或a=-1时, f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ]上恰有2 019个交点,则n=2 019.
③当-1
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