高考数学专题复习练习：10-1 专项基础训练

高考数学专题复习练习：10-1 专项基础训练

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．(2017·铜梁第一中学月考)如果把个位数是1，且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有(　　)‎ A．9个　　　　　　　　　　　B．3个 C．12个 D．6个 ‎【解析】 当重复数字是1时，有C·C；当重复数字不是1时，有C种．由分类加法计数原理，得满足条件的“好数”有C·C＋C＝12个．‎ ‎【答案】 C ‎2．(2017·临沂模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是(　　)‎ A．16 B．32‎ C．48 D．64‎ ‎【解析】 每四个小方格(2×2型)中有“L”型图案4个，共有2×2型小方格12个，所以共有“L”型图案4×12＝48个．‎ ‎【答案】 C ‎3．从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有(　　)‎ A．32个 B．34个 C．36个 D．38个 ‎【解析】 将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每一小组中取一个，有C＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个．故选A.‎ ‎【答案】 A ‎4．集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　　)‎ A．9 B．14‎ C．15 D．21‎ ‎【解析】 当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1‎ ‎＝7，则共有14个点，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎5．(2016·课标全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ A．24 B．18‎ C．12 D．9‎ ‎【解析】 如图，除已知标记的E，F，G三点外，另记A，B，A1，B1，E1，A2，B2，G1，A3，B3，F1，如图所示．‎ 若总体路线最短，则需E到F最短，并且F到G也最短．‎ E到F最短，可由E→B→F或E→E1→F.‎ 显然，由E→B→F最短有3条(E→B→A→A1→F或E→B→B1→A1→F或E→B→B1→A2→F)．‎ 由E→E1→F最短有3条(E→E1→B1→A1→F或E→E1→B1→A2→F或E→E1→B2→A2→F)，由分类加法计数原理可知，E→F共有6条最短路径．而F→G有F→G1→A3→G，F→B3→A3→G，F→B3→F1→G共3条最短路径，由分步乘法计数原理可知，共有6×3＝18条最短路径．故选B.‎ ‎【答案】 B ‎6．(2017·济南模拟)若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为________．‎ ‎【解析】 当m＝1时，n＝2，3，4，5，6，7共6种 当m＝2时，n＝3，4，5，6，7共5种；‎ 当m＝3时，n＝4，5，6，7共4种；‎ 当m＝4时，n＝5，6，7共3种；‎ 当m＝5时，n＝6，7共2种．‎ 故共有6＋5＋4＋3＋2＝20种．‎ ‎【答案】 20‎ ‎7．如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相接的三角形，‎ 则三条线段一共至少需要移动________格．‎ ‎【解析】 如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，根据平移的基本性质知：左边的线段向右平移3格，中间的线段向下平移2格，最右边的线段先向左平移2格，再向上平移2格，此时平移的格数最少为3＋2＋2＋2＝9，其他平移方法都超过9格，∴至少需要移动9格．‎ ‎【答案】 9‎ ‎8．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有________种．‎ ‎【解析】 编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字3，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字4，共有3种不同填法．于是由分类加法计数原理，得共有3＋3＋3＝9种不同的填法．‎ ‎【答案】 9‎ ‎9．有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加，‎ ‎(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？‎ ‎(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？‎ ‎(3)若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同选法？‎ ‎【解析】 (1)只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有3，6，8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17种．‎ ‎(2)分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6＋8＝14种选法，由分步乘法计数原理知，总方法数为3×14＝42种．‎ ‎(3)教师，男同学，女同学各一人可分三步，每步方法依次为3，6，8种．由分步乘法计数原理知总方法数为3×6×8＝144种．‎ ‎10．为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？‎ ‎【解析】 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C种抽调方法．故共有C＋A＋C＝84种抽调方法．‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．(2017·保定调研)已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．‎ ‎【解析】 当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1，2}时，B有22－1种情况；当A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B均有1种情况；所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．‎ ‎【答案】 17‎ ‎12．(2017·湖南十二校联考)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎【解析】 把区域分为三部分，第一部分1，5，9，有3种涂法．第二部分4，7，8，当5，7同色时，4，8各有2种涂法，共4种涂法；当5，7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．‎ ‎【答案】 108‎ ‎13．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则(1)4位回文数有________个；‎ ‎(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．‎ ‎【解析】 (1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90种填法，即4位回文数有90个．‎ ‎(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×10n种填法．‎ ‎【答案】 (1)90　(2)9×10n ‎14．一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12‎ 张不同的中国联通手机卡．‎ ‎(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡自己使用，共有多少种不同的取法？‎ ‎(2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，问一共有多少种不同的取法？‎ ‎【解析】 (1)任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类加法计数原理，有10＋12＝22种不同的取法．‎ ‎(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步乘法计数原理，有10×12＝120种不同的取法．‎ ‎15．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．‎ ‎(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？‎ ‎(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？‎ ‎(3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？‎ ‎【解析】 (1)利用分类加法计数原理：5＋2＋7＝14(种)不同的选法．‎ ‎(2)国画有5种不同选法，油画有2种不同的选法，水彩画有7种不同的选法，利用分步乘法计数原理得到5×2×7＝70(种)不同的选法．‎ ‎(3)选法分三类，分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画，由分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有5×2＋2×7＋5×7＝59(种)不同的选法．‎