2019-2020学年河南省洛阳市高一上学期期末考试 数学

2019-2020学年河南省洛阳市高一上学期期末考试 数学

洛阳市２０１９———２０２０学年第一学期期末考试 高一数学试卷参考答案 一、选择题 １－５ＡＢＢＣＡ　　６－１０ＡＣＤＤＣ　　１１－１２ＢＤ 二、填空题 １３．狓＋狔－５＝０或３狓－２狔 ＝０　　　　　１４．（－ ∞，１ ２ ］ １５．（狓－２）２ ＋ （狔－３）３ ＝４ １６．４ 三、解答题 １７．解：∵　狘犃犅狘＝ （１＋３）２ ＋ （１＋１）槡 ２ ＝ 槡２ ５． 狘犃犆狘＝ （１－３）２ ＋ （１＋３）槡 ２ ＝ 槡２ ５． ∴　狘犃犅狘＝狘犃犆狘． ……２分 又犽犃犅 ＝ １ ２ ，犽犃犆 ＝－２， ∴　犽犃犅 ·犽犃犆 ＝－１，即 犃犅 ⊥ 犃犆． ……４分 ∴　△犃犅犆 是等腰直角三角形． ……５分 （２）由（１）知 △犃犅犆 的外接圆的方程为： 狓２ ＋ （狔＋２）２ ＝１０． ……７分 将 犇 点坐标代入方程（－１）２ ＋ （１＋２）２ ＝１０， 可知 犇 点坐标适合方程，即 犇 点在 △犃犅犆 的外接圆上． ……９分 ∴　犃，犅，犆，犇 四点共圆． ……１０分 １８．（１）设犳（狋）＝犽狋＋犫，狋≥０，由犳（０）＝犽×０＋犫＝２０， 犳（１０）＝犽×１０＋犫＝４０，可得犽＝２，犫＝２０， 即 犘１ ＝２狋＋２０，狋≥０． ……３分 （２）设犵（狋）＝犪０犪狋，狋≥０．由犵（０）＝２０，犵（１０）＝４０， 可得犪０ ＝２０，犪＝２ １ １０ ， 即 犘２ ＝２０×２ 狋 １０ ，狋≥０． ……６分 （３）根据两个函数的图像和下表， 狋 ０ ５ １０ １５ ２０ 犘１／万元 ２０ ３０ ４０ ５０ ６０ 犘２／万元 ２０ 槡２０ ２ ４０ 槡４０ ２ ８０ ……８分 高一数学答案　第１页　（共４页）　（２０２０．１） ……１０分 房价按函数 犘１ ＝犳（狋）呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按 函数 犘２ ＝犵（狋）呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越 快，但保持相同的增长比例． ……１２分 １９．（１）取 犃犆 的中点犉，连接 犇犉，犅犉． ∵　△犃犇犆 是正三角形， ∴　犇犉 ⊥ 犃犆． ……１分 又 △犃犅犆 是等腰直角三角形， ∴　犅犉 ⊥ 犃犆． ……２分 又 犇犈 ∩犅犉 ＝ 犉，犇犉  平面 犅犉犇，犅犉犆  平面 犅犉犇， ∴　犃犆 ⊥ 平面犅犉犇， ……４分 又 ∵　犅犇  平面犅犉犇， ∴　犃犆 ⊥犅犇． ……５分 （２）连接犉犈，　∵　犃犆 ⊥ 平面犅犉犇，犅犉  平面犅犉犇，犉犈  平面犅犉犇． ∴　犃犆 ⊥犅犉，犃犆 ⊥犉犈， ……７分 ∴　∠犅犉犈 即为二面角犅 －犃犆 －犈 的平面角． ……８分 设 犃犅 ＝犅犆 ＝犪，则 犃犆 ＝ 犃犇 ＝犆犇 ＝犅犇 ＝ 槡２犪 ∴　犅犉 ＝ 槡２ ２犪，犇犉 ＝ 槡６ ２犪， 在 △犅犉犇 中，犅犇２ ＝犅犉２ ＋犇犉２， ∴　犅犉 ⊥ 犇犉，即 △犅犉犇 是直角三角形． ……１０分 ∴　犉犈 ＝ １ ２犅犇 ＝ 槡２ ２犪． 故 △犅犈犉 为正三角形，　∴　∠犅犉犈 ＝６０°， ……１１分 ∴　 二面角犅－犃犆 －犈 的大小为６０°． ……１２分 ２０．解：（１）∵　犳（狓）为奇函数，且定义域为犚， 所以犳（０）＝０，即犿－犲０ １＋犲０ ＝０，所以 犿 ＝１， 所以犳（狓）＝１－犲狓 １＋犲狓 ． ……２分 函数犳（狓）在犚 上单调递减． ……３分 高一数学答案　第２页　（共４页）　（２０２０．１） 设狓１ ＜狓２，则 犳（狓１）－犳（狓２）＝１－犲狓１ １＋犲狓１ －１－犲狓２ １＋犲狓２ ＝ （１－犲狓１ ）（１＋犲狓２ ）－ （１－犲狓２ ）（１＋犲狓１ ） （１＋犲狓１ ）（１＋犲狓２ ） ＝ ２（犲狓２ －犲狓１ ） （１＋犲狓１ ）（１＋犲狓２ ）． ……５分 因为狓１ ＜狓２，所以犲狓２ －犲狓１ ＞０． 所以 ２（犲狓２ －犲狓１ ） （１＋犲狓１ ）（１＋犲狓２ ）＞０． ……６分 所以犳（狓１）－犳（狓２）＞０，即犳（狓１）＞犳（狓２）， 所以函数犳（狓）在犚 上单调递减． ……７分 （２）存在实数狋∈ ［１，４］，使犳（狋２ ＋２狋＋犽）＋犳（－２狋２ ＋２狋－５）＞０成立， 即存在实数狋∈ ［１，４］，使犳（狋２ ＋２狋＋犽）＞－犳（－２狋２ ＋２狋－５）成立． 因为犳（狓）为奇函数，所以犳（狋２ ＋２狋＋犽）＞犳（２狋２ －２狋＋５）成立． ……８分 又因为函数犳（狓）在犚 上单调递减， 所以存在实数狋∈ ［１，４］，使狋２ ＋２狋＋犽＜２狋２ －２狋＋５成立， ……９分 即存在实数狋∈ ［１，４］，使犽＜狋２ －４狋＋５＝ （狋－２）２ ＋１成立． ……１０分 而当狋∈ ［１，４］时，１≤ （狋－２）２ ＋１≤５， ……１１分 所以犽的取值范围是（－ ∞，５）． ……１２分 ２１．（１）证明：连接 犃犅１，设 犃犅１ ∩ 犃１犅 ＝犗，连接犈犉，犈犗． 因为犈犉 ＝犅１犗，且犈犉 ∥犅１犗，所以四边形犈犉犅１犗 是平行四 边形，因此犅１犉 ∥犗犈． ……３分 又犅１犉  平面 犃１犅犈，犈犗  平面 犃１犅犈， 所以犅１犉 ∥ 平面 犃１犅犈． ……６分 （２）由（１）知点犉，犅１ 到平面 犃１犅犈 的距离相等， ……７分 ∴　犞三棱锥犉－犃１犅犈 ＝犞三棱锥犅１－犃１犅犈 ＝犞三棱锥犈－犃１犅犅１ ……９分 又三棱锥犈－犃１犅犅１ 的高犺＝２，犛△犃１犅犅１ ＝ １ ２ ×２×２＝２， ……１０分 ∴　犞三棱锥犈－犃１犅犅１ ＝ １ ３·犛△犃１犅犅１ ·犺＝ １ ３ ×２×２＝ ４ ３． ∴　犞三棱锥犉－犃１犅犈 ＝ ４ ３． ……１２分 ２２．解：（１）由狘犆犃狘＝３狘犆犅狘，得 （狓＋１）２ ＋狔槡 ２ ＝３ （狓－１）２ ＋狔槡 ２ ， 化简得狓２ ＋狔２ － ５ ２狓＋１＝０，即（狓－ ５ ４）２ ＋狔２ ＝ ９ １６． ……３分 所以狔２ ＝－ （狓－ ５ ４）２ ＋ ９ １６， 当狓 ＝ ５ ４ 时，狔２ 有最大值９ １６，此时点犆 到犃犅 距离最大，为３ ４． ……５分 高一数学答案　第３页　（共４页）　（２０２０．１） 所以，△犃犅犆 面积的最大值为１ ２ ×２× ３ ４ ＝ ３ ４． ……６分 （２）由狘犆犃狘２ ＋狘犆犇狘２ ＝１２得［（狓＋１）２ ＋狔２］＋ ［（狓－１）２ ＋ （狔－２）２］＝１２ 化简得狓２ ＋狔２ －２狔－３＝０，即狓２ ＋ （狔－１）２ ＝４． ……７分 故点犆 在以 犕（０，１）为圆心，半径为２的圆上； ……８分 结合（１）中（狓－ ５ ４ ）２ ＋狔２ ＝ ９ １６ ，知 点犆 还在以犖（５ ４，０）为圆心，半径为３ ４ 的圆上． 由于狘犕犖狘＝ （５ ４ －０）２ ＋ （０－１）槡 ２ ＝ 槡４１ ４ ． ……９分 狘狉１ －狉２狘＝ ５ ４ ，狘狉１ ＋狉２狘＝１１ ４ ， 且５ ４ ＜ 槡４１ ４ ＜１１ ４ 所以两圆 犕，犖 相交，有２个公共点． ……１１分 故存在２个点犆 符合要求． ……１２分 高一数学答案　第４页　（共４页）　（２０２０．１）