江西省南康中学2018-2019学年高二下学期期中考试（第二次大考）数学（理）试题

江西省南康中学2018-2019学年高二下学期期中考试（第二次大考）数学（理）试题

南康中学2018—2019学年度第二学期高二第二次大考 数学（理科）试卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设，则在复平面对应的点位于第 (　　)象限 A．一 B．二 C．三 D．四 ‎2．“”是“”的( ) ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．曲线在处的切线的倾斜角是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 二项式的展开式的常数项为（ ）‎ A． -5 B．5 C. -10 D．10‎ ‎5. 用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数共有 （ ）‎ A．36个 B.72 C.48 D.60‎ ‎6．函数的大致图像为（ ）‎ ‎7. 已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为 为椭圆上一动点, 面积的最大值为，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B.1 C. D. ‎ ‎8. 已知中，，则为（ ）‎ A．等腰三角形 B．的三角形 C．等腰三角形或的三角形 D．等腰直角三角形 ‎9. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，‎ 则该四棱锥的体积为 （ ）‎ A．2 B． ‎ C. D．‎ ‎11. 已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的外接圆半径为( )‎ A． B． C．2 D．‎ ‎12. 已知函数.若过点存在3条直线与曲线相切，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则至少选中一名男生的选法种数是_____．‎ ‎14. 如图所示，在正方形内，随机投入一个质点，‎ 则所投质点恰好落在与轴及抛物线所 围成的区域内的概率是______________． ‎ ‎15. 已知，‎ ‎,则与的值分别为______________．‎ ‎16.已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为．若函数，且，，则实数的取值范围是______________．‎ 三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本题满分10分）已知函数，.‎ ‎（1）若a＝4，求的单调区间；‎ ‎（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．‎ ‎18.（本题满分12分）在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q(q≠1)，且b2＋S2＝12，q＝.‎ ‎(1)求an与bn；‎ ‎(2)证明： ＋＋…＋<.‎ ‎19．（本题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2‎ .‎ ‎(1)求cos B；‎ ‎(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.‎ ‎20．（本题满分12分）如图，在梯形中，，.‎ ‎，且平面，，点为上任意一点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）点在线段上运动（包括两端点），若平面与平面所成的锐二面角 为60°，试确定点的位置．‎ ‎21．（本题满分12分）已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的两焦点在x轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)动直线l:交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎22. （本题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对于任意，，恒有成立，试求的 取值范围．‎ 南康中学2018—2019学年度第二学期高二第二次大考 数学（理科）参考答案 一、选择题：1-5DBCBD 5-10AACBD 11-12CB ‎12. 解析 设函数上任意一点，‎ 在点处的切线方程为,即.‎ 若过点，则 依题意，方程有三个不等实根. 令，，得，.‎ 当时，，函数在上单调递减；‎ 当时，，函数在上单调递增.‎ 因此的极小值为,极大值为.若有三个不等实根，故.‎ 二、填空题：13.7 14. 15. 6，35 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：⑴‎ ‎ 当或时，‎ 当时，‎ 所以的单调递增区间是和，的单调递减区间是 ‎⑵因为f(x)在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f (x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性，可知f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，结合f(x)的单调性，可知m的取值范围是(－3,1)．‎ ‎18. 解　(1)设{an}的公差为d，因为所以 解得q＝3或q＝－4(舍)，d＝3.‎ 故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1‎ ‎(2)证明：因为Sn＝，所以＝＝.‎ 故＋＋…＋＝‎ ＝.‎ 因为n≥1，所以<，即＋＋…＋<.‎ ‎19．解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2 ，故sin B＝4(1－cos B)，‎ 上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，解得cos B＝1(舍去)或cos B＝.‎ ‎(2)由cos B＝得sin B＝，故S△ABC＝acsin B＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.‎ 由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B) ‎ ‎ ＝36－2×× ＝4，∴b＝2.‎ ‎20. 解析：（1）证明：∵，， ∴，‎ 连接，在中，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵平面，∴，又，‎ ‎∴平面，∵平面，∴．‎ ‎（2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，‎ 轴建立空间直角坐标系，则，，‎ 设，则，‎ ‎∴，故，∴，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 令，可得，∴．‎ 易知平面的一个法向量为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴点与点重合．‎ ‎21.解　(1)∵椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，‎ ‎∴b＝c. ……………1分 又斜边长为2，即2b＝2，故c＝b＝1，a＝，………………………3分 椭圆方程为＋y2＝1. ………………………4分 ‎(2)由题意可知该动直线过定点,当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为；当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.‎ 由得 故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0,1). ………………………6分 下面证明Q(0,1)为所求：‎ 若直线l的斜率不存在，上述已经证明.‎ 若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，………………………7分 Δ＝144k2＋64(9＋18k2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝，…………………8分 ＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，‎ ·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋ ‎＝(1＋k2)·－·＋＝0，………………………10分 ‎∴⊥，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1). ………………………12分 ‎22.解析：（1）函数的定义域为，‎ ‎，‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，函数的上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）恒成立，即恒成立，‎ 不妨设，因为当时，在上单调递减，则，可得，设，‎ ‎∴对于任意的，，恒成立，∴在上单调递增，‎ 在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∵当时，， ∴只需在上恒成立，即在上恒成立，‎ 设，则，‎ ‎∴，故实数的取值范围为．‎