河南省许昌济源平顶山2020届高三第二次质量检测数学（文）试题 Word版含解析

河南省许昌济源平顶山2020届高三第二次质量检测数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 许昌济源平顶山2020年高三第二次质量检测 文科数学 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将答题卡交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数，则（ ）‎ A. B. 3 C. 1 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则和共轭复数的概念先求出，即可得解.．‎ ‎【详解】，‎ 则，则.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎2.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合A,B,再利用交集的运算求解．‎ - 24 -‎ ‎【详解】由题得集合，，‎ 则，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的解法和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．‎ ‎3.已知数列是等比数列，函数的零点分别是，，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦达定理可知，，由此利用等比数列的性质求解即可.‎ ‎【详解】函数的零点分别是，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 又数列是等比数列，‎ ‎，‎ ‎，经检验满足要求.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦函数、对数函数、指数函数的单调性，比较大小即可.‎ - 24 -‎ ‎【详解】，‎ ‎，即，‎ ‎，，‎ ‎，即，‎ ‎，，‎ ‎，即，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数单调性比较大小，属于基础题.‎ ‎5.已知圆C：上存在两点关于直线对称，=（ ）‎ A. 1 B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的对称性圆心在对称轴上，通过列方程解得结果.‎ ‎【详解】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，，，得.故选：A ‎【点睛】本题考查圆的对称性，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6.三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（ ）‎ A. 动力学方程的知识 B. 概率与统计的知识 C. 气象预报模型的知识 D. 迷信求助于神灵 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 应用丰富的气象观测经验，预报天气，属于经验预报法，可知诸葛亮应用的是概率与统计的知识.‎ - 24 -‎ ‎【详解】诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，‎ 属于气象业务实践中的经验预报法，利用的是概率与统计的知识.‎ 并未应用到动力学方程的知识和气象预报模型的知识.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了天气预报中的概率解释，属于基础题.‎ ‎7.函数的图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.‎ ‎【详解】设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.‎ - 24 -‎ ‎8.给出下列四个结论：‎ ‎①若在上是奇函数，则在上也是奇函数 ‎②若不是正弦函数，则不是周期函数 ‎③“若，则.”的否命题是“若，则.”‎ ‎④若：；：，则是的充分不必要条件 其中正确结论的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①，利用函数奇偶性的定义可判断；对于②，举反例，例如不是正弦函数，但是周期函数；对于③，由否命题的定义判断即可；对于④，根据充分条件和必要条件的定义加以判定即可.‎ ‎【详解】对于①，若在上是奇函数，则，，‎ 则，‎ 故在上也是奇函数，‎ 故①正确；‎ 对于②，例如不是正弦函数，但是周期函数，‎ 故②错误；‎ 对于③，由否命题的定义可知，对于两个命题，若其中一个命题的条件和结论分别为另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题互为否命题，如果把其中一个称为原命题，则另一个就叫做它的否命题，‎ 而的否定为，的否定为，‎ 故③正确；‎ 对于④，，即，即是的充分条件，‎ - 24 -‎ 而或，因此推不出，即是的不必要条件，‎ 所以是的充分不必要条件，‎ 故④正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性、否命题的定义以及充分条件与必要条件，考查了推理能力，属于基础题.‎ ‎9.自新型冠状病毒疫情爆发以来，人们时刻关注疫情，特别是治愈率，治愈率累计治愈人数／累计确诊人数，治愈率的高低是“战役”的重要数据，由于确诊和治愈人数在不断变化，那么人们就非常关心第天的治愈率，以此与之前的治愈率比较，来推断在这次“战役”中是否有了更加有效的手段，下面是一段计算治愈率的程序框图，请同学们选出正确的选项，分别填入①②两处，完成程序框图.（ ）‎ ‎：第天新增确诊人数；：第天新增治愈人数；：第天治愈率 - 24 -‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由治愈率的公式，结合程序框图可知和的意义，可得①处正确选项，即可得解.‎ ‎【详解】∵治愈率累计治愈人数／累计确诊人数，‎ 由程序框图可知，表示累计治愈人数，表示累计确诊人数，‎ ‎∴，即①处填.‎ 故选：D.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了补全程序框图，属于基础题.‎ ‎10.为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据的最小值，得到关于的方程，进而求得答案.‎ ‎【详解】因为，恰好为椭圆的两个焦点，‎ 因为，‎ 所以.‎ 因为，得，‎ 所以，则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.‎ ‎11.已知函数，对任意，都有，若在上的值域为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数，根据正弦函数性质求最大值，解得；再根据在上的值域确定取值范围，解得结果.‎ - 24 -‎ ‎【详解】=‎ ‎，， ‎ ‎，，，‎ ‎，.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎12.已知函数在处的导数相等，则不等式恒成立时，实数m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数，根据条件解得，代入化简不等式；再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，最后利用导数求对应函数最值，即得结果.‎ ‎【详解】由题得，由已知得为两个不等实根，所以，恒成立，恒成立.‎ 令，‎ 则，当，当 上单调递减，在上单调递增.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ - 24 -‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知均为单位向量，若，则与的夹角为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知模平方后可求得两向量的数量积，然后根据数量积的定义可求得夹角．‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎，∴，，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积与模的关系，考查求向量夹角，掌握数量积的定义是解题基础．‎ ‎14.数列中，，且，则通项公式__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把题干中的递推关系式进行转换，构造出新数列，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ 整理得，，‎ 数列为常数列，‎ 又，则，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了由递推关系求通项公式，考查了构造法求数列通项，属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎15.设曲线在点处的切线与直线垂直，则————．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题解析：，曲线在点（e，e）处的切线斜率为，∴2×（－a）＝－1，解得．‎ 考点：考查了利用导数求曲线的切线的斜率．‎ 点评：解本题的关键是正确求导，切点横坐标的导数值等于切线的斜率，两条互相垂直的直线的斜率乘积等于－1．‎ ‎16.在棱长为6的正方体中，是的中点，是该正方体侧面上的点，且满足，则三棱锥的体积最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意易知，由此可得，在平面上，作，垂足为，设，，求出的最大值，说明底面，即可得三棱锥的体积最大值.‎ ‎【详解】如图，在棱长为6的正方体中，‎ ‎，‎ 则平面，平面，‎ 又，在平面上，‎ 所以，，‎ 又，‎ - 24 -‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 作，垂足为，‎ 设，，‎ 所以，‎ 化简整理得，，‎ 则时，，，‎ 在正方形中，‎ 因为，所以，‎ 又正方体中，平面，‎ 所以平面，‎ 所以三棱锥的体积最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体的最值问题，考查了线面垂直的性质定理，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：60分.‎ ‎17.内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角；‎ - 24 -‎ ‎（2）若，且面积为，求值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简已知等式，利用两角和的正弦定理及诱导公式进行化简，再根据，求出的值，即可确定角的大小；‎ ‎（2）利用余弦定理及三角形的面积公式，求出和，结合正弦定理即可得的值.‎ 详解】（1）∵，‎ ‎∴由正弦定理可得，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∵，则，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴由余弦定理得，，‎ 即，‎ ‎∵面积为，‎ - 24 -‎ ‎∴.，即，‎ ‎∴，‎ 解得或，‎ 由正弦定理得，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积计算公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎18.某校在高一部分学生中调查男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图（黑色代表喜好，白色代表不喜好）.‎ ‎（1）写出列联表；‎ ‎（2）能否有99%的把握认为喜好这项体育运动与性别有关；‎ ‎（3）在这次调查中从喜好这项体育活动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求恰是一男一女的概率.‎ 附：‎ ‎0.25‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0001‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.83‎ - 24 -‎ ‎【答案】（1）见解析（2）没有99%把握认为喜好这项体育运动与性别有关（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）观察二维条形图得到所需数据，由此写出列联表即可；‎ ‎（2）根据列联表中的数据计算，对照数表即可得出结论；‎ ‎（3）通过列举法分别写出任选两人的情况和选一名男生和一名女生的情况，再由古典概型的概率公式计算即可.‎ ‎【详解】（1）观察二维条形图可得，‎ 男生总共45人，其中喜好这项运动的有15人，不喜好的有30人；‎ 女生总共45人，其中喜好这项运动的有5人，不喜好的有40人.‎ 由此写出列联表如下：‎ 列联表：单位；人 喜欢 不喜欢 总计 男 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 女 ‎5‎ ‎40‎ ‎45‎ 总计 ‎20‎ ‎70‎ ‎90‎ ‎（2）.‎ 所以没有99%把握认为喜好这项体育运动与性别有关.‎ ‎（3）设喜好这项体育活动的一名男生和两名女生记为，，.‎ 任选两人的情况为：，，，‎ 选一名男生和一名女生的情况为：，，‎ 所以，‎ - 24 -‎ 即恰是一男一女的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.‎ ‎19.如图，四棱锥中，，，，，且.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由线面垂直的判定定理证明平面，由线面垂直的性质定理可得，由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理证明平面平面即可.‎ ‎（2）由，利用等体积法，即可求出点到平面的距离.‎ ‎【详解】（1）解：取、的中点分别为、，连结，，，‎ 因为，，‎ 所以四边形为梯形，‎ 又、为、的中点，‎ 所以为梯形的中位线，‎ 所以，‎ - 24 -‎ 又，‎ 所以，‎ 因为，为的中点 所以，‎ 又，平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 故，‎ 因为，为中点，‎ 所以，‎ 又，不平行，必相交于某一点，且，都在平面上， ‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 则平面平面.‎ ‎（2）由（1）及题意知，为三棱锥的高，‎ ‎，，，‎ 故，‎ ‎，‎ 而，‎ 设点到平面的距离为，‎ 由等体积法知：，‎ 解得，‎ 所以点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式以及利用等体积法求点到面的距离，考查了转化能力与推理能力，属于中档题.‎ ‎20.己知函数，它的导函数为.‎ - 24 -‎ ‎（1）当时，求的零点；‎ ‎（2）若函数存在极小值点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）是的零点；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得时的，由单调性及求得结果.‎ ‎（2）当时，，易得存在极小值点，再分当时和当时，令，通过研究的单调性及零点情况，得到的零点及分布的范围，进而得到的极值情况，综合可得结果.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，‎ 当时，，.‎ 易知为上的增函数，‎ 又，所以是的零点.‎ ‎（2），‎ ‎① 当时，，令，得；令，得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.‎ 令，则.‎ ‎② 当时，，所以在上单调递增.‎ 又，，‎ 所以在上恰有一个零点，且当时，；当时，，所以是的极小值点，符合题意.‎ ‎③ 当时，令，得.‎ - 24 -‎ 当）时，；当时，，‎ 所以.‎ 若，即当时，恒成立，‎ 即在上单调递增，无极值点，不符合题意.‎ 若，即当时，，‎ 所以，即上恰有一个零点，且当时，；当时，，‎ 所以是的极小值点，符合题意.‎ 综上，可知，即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查了函数的极值，单调性和函数的导数之间的关系，构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．‎ ‎21.设抛物线C:与直线交于A、B两点.‎ ‎（1）当取得最小值为时，求的值.‎ ‎（2）在（1）的条件下，过点作两条直线PM、PN分别交抛物线C于M、N（M、N不同于点P）两点，且的平分线与轴平行，求证：直线MN的斜率为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析，定值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先确定直线过抛物线焦点，再根据抛物线定义求，最后根据最小值求的值；‎ ‎（2）先确定PM、PN的斜率互为相反数，再设直线PM方程，与抛物线联立解得M坐标，类似可得N点坐标，最后利用斜率公式求结果.‎ ‎【详解】（1）由题意知：直线过定点，该点为抛物线焦点. ‎ - 24 -‎ 联立，消去得： ‎ 设，‎ 有，‎ ‎…‎ ‎，当时，‎ ‎，解得 ‎（2）证明：由已知可知直线PM、PN的斜率存在，且互为相反数 设，直线PM的方程为.‎ 联立，消去x整理得：.‎ 又4为方程的一个根，所以，得 同理可得 所以直线MN的斜率为定值. ‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查焦点弦长以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，已知圆的参数方程是（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、两点，与直线的交点为.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）求线段的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）圆C的参数方程消去参数，求出圆C的普通方程，由，，，即可求出圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，将圆C的极坐标方程与射线联立，求出的极坐标，设点的极坐标为，联立直线的极坐标方程与射线的极坐标方程，求出的极坐标，即可求得线段的长.‎ ‎【详解】解：（1）由题可得，圆的普通方程是，‎ 即，‎ 又，，，‎ 所以圆的极坐标方程是.‎ ‎（2）设点的极坐标为，‎ 则有，‎ - 24 -‎ 解得，‎ ‎，‎ 设点的极坐标为，‎ 则有，‎ 解得，‎ ‎，‎ 由于，‎ 所以，‎ 所以线段的长为5.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的参数方程和普通方程的互化以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了极坐标系中线段长的求法，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）设，求的最小值.‎ ‎【答案】（1），，；（2）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分类讨论法解不等式即可;（2），利用绝对值三角不等式可得其最小值．‎ ‎【详解】（1）原不等式等价于，‎ - 24 -‎ ‎①时，原不等式化为：，得，，‎ ‎②时，原不等式化为：，得，，‎ ‎③时，原不等式化为：，得，，‎ 综上：，，；‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 当且仅当，且，即时，等号成立，‎ 故的最小值为4.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ - 24 -‎ - 24 -‎