石景山区2016届高三一模数学（理）试题及答案

石景山区2016届高三一模数学（理）试题及答案

石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷 高三数学（理）‎ 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合，，则＝(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下图给出的是计算的值的一个框图，‎ 其中菱形判断框内应填入的条件是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．在数列中，“”是“数列为递增数列”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半 (即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．‎ 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则的所有不同值的个数为(　　)‎ A．4 B．6 C．32 D．128‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．双曲线的焦距是________，渐近线方程是________．‎ ‎10．若变量满足约束条件则的最大值等于_____．‎ ‎11．如图，是半圆的直径，，为半圆的切线，且，则点到的距离＝________．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，若直线与曲线相交于两点，则＝____．‎ ‎13．已知函数关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是________．‎ ‎14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．‎ 第1 题 第2题 第3 题 第4 题 第5 题 第6 题 第7题 第8 题 得分 甲 ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎5‎ 乙 ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎5‎ 丙 ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎6‎ 丁 ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎？‎ 丁得了_______________分．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 设△的内角的对边分别为且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值．‎ ‎16．（本小题共13分）‎ 我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：‎ 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频数 ‎35‎ ‎25‎ ‎10‎ 已知分3期付款的频率为,请以此人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；‎ ‎（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用表示销售一部苹果6S手机的利润，求的分布列及数学期望．‎ ‎17．（本小题共14分）‎ 如图，三棱柱中，⊥平面，，，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得⊥平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，；‎ ‎（Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值．‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知椭圆的短轴长为，离心率为，直线 与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线通过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求△（为坐标原点）面积的最大值．‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”．‎ ‎（Ⅰ）①前项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；‎ ‎②通项公式为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；‎ ‎（Ⅲ）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由．‎ 石景山区2015—2016学年第一次模拟考试 高三数学（理）参考答案 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D B D A C B C B 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎，‎ ‎6‎ ‎(第9题第一空2分，第二空3分)‎ 三、解答题共6小题，共80分．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）， ……………2分 由正弦定理得，‎ 在△中，，即，， ……………4分 ‎． ……………6分 ‎（Ⅱ），由正弦定理得， ……………8分 由余弦定理，‎ 得， ……………10分 解得，∴． ……………13分 ‎16．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得，‎ 所以，‎ 又，所以． ……………3分 ‎（Ⅱ）设事件为“购买一部手机的3名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”， ……………4分 由题意得：随机抽取一位购买者，分期付款的概率为， ……………5分 所以． ……………7分 ‎（Ⅲ）记分期付款的期数为，依题意得，，，，，‎ 因为可能取得值为元，元，元， ……………8分 并且易知， ……………9分 ‎， ……………10分 ‎， ……………11分 所以的分布列为 所以的数学期望．…13分 ‎17．（本小题共14分）‎ 解：（Ⅰ）证明：连接，与相交于，连接．‎ ‎∵是矩形，∴是的中点．‎ 又是的中点，∴∥． ………2分 ‎∵平面，平面， ………3分 ‎∴∥平面． ………4分 ‎（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，， ………5分 设是平面的一个法向量，‎ 则即 令，则， ………7分 易知是平面的一个法向量， ………8分 ‎∴， ………9分 由题意知二面角为锐角，‎ ‎∴二面角的余弦值为． ………10分 ‎（Ⅲ）假设侧棱上存在一点 ()，使得平面．‎ 则，即∴． ………12分 ‎∴方程组无解．∴假设不成立．‎ ‎∴侧棱上不存在点，使⊥平面． ………14分 ‎18．（本小题共13分）‎ 解： ………1分 ‎（Ⅰ），．‎ 所以切线方程为． ………3分 ‎（Ⅱ）令，‎ 则， ………4分 当时，设，则 所以在单调递减，‎ 即，所以………6分 所以在上单调递减，所以， ………7分 所以．………8分 ‎（Ⅲ）原题等价于对恒成立，‎ 即对恒成立，………9分 令，则． ………10分 易知，即在单调递增，‎ 所以，所以， ………11分 故在单调递减，所以．‎ 综上所述，的最大值为 ． ………13分 ‎19．（本小题共14分）‎ 解：（Ⅰ）由已知可得解得， ………2分 故椭圆的标准方程为． ………3分 ‎（Ⅱ）设，，‎ 联立方程 消去得． ………4分 当，‎ 即时， ………5分 ‎，． ………6分 所以，．‎ 当时，线段的垂直平分线显然过点 因为,所以 ‎，当时，取到等号. ………8分 当时，因为线段的垂直平分线过点，‎ 所以，‎ 化简整理得． ………9分 由得． ………10分 又原点到直线的距离为．‎ 所以 ………11分 而且，‎ 则． ………12分 ‎ 所以当，即时，取得最大值． ………13分 综上，最大值为． ………14分 ‎20．（本小题共13分）‎ 解:（Ⅰ）①∵，作差法可得，‎ 当时，；‎ 当时，，存在，使得 ‎∴数列是“回归数列”．………2分 ‎②∵，∴前项和，根据题意 ‎∵一定是偶数，∴存在，使得 ‎∴数列是“回归数列”．………4分 ‎（Ⅱ），根据题意，存在正整数，使得成立 即，，，‎ ‎∴，即．………8分 ‎（Ⅲ）设等差数列 总存在两个回归数列，‎ 使得………9分 证明如下：‎ 数列前项和，‎ 时，；时，；‎ 时，为正整数，当时，.‎ ‎∴存在正整数，使得，∴是“回归数列”……11分 数列前项和存在正整数，使得，∴是“回归数列”，所以结论成立．………13分 ‎【注：若有其它解法，请酌情给分】‎