2019-2020学年安徽省六安市第一中学高一下学期疫情防控延期开学期间辅导测试（三）数学试题

2019-2020学年安徽省六安市第一中学高一下学期疫情防控延期开学期间辅导测试（三）数学试题

六安一中高一年级疫情防控延期开学期间数学辅导测试三 一、单选题（共12题；共60分）‎ ‎1. 已知幂函数f（x）=λ•xα的图象过点 ，则λ+α=（    ） ‎ A. 2                                           B. 1                                           C.                                            D. ‎ ‎2. 三个数0.993.3 ， log3π，log20.8的大小关系为（   ） ‎ A. log20.8＜0.993.3＜log3π                                   B. log20.8＜log3π＜0.993.3 C. 0.993.3＜log20.81＜log3π                                 D. log3π＜0.993.3＜log20.8‎ ‎3. 已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（   ） ‎ A.         B.          C.         D. ‎ ‎4.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2sinx，则当x＜0时，f（x）=（   ） ‎ A. ﹣x2﹣2sinx                        B. ﹣x2+2sinx                        C. x2+2sinx                        D. x2﹣2sinx ‎5. 某商场在2020年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率= ，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（   ） ‎ A. 55%                                    B. 65%                                    C. 75%                                    D. 80%‎ ‎6. 已知锐角α终边上一点A的坐标为（2sin3，﹣2cos3），则角α的弧度数为（   ） ‎ A. 3                                    B. π﹣3                                    C. 3﹣                                     D.  ﹣3‎ ‎7. 已知当 时，函数y=sinx+acosx取最大值，则函数y=asinx﹣cosx图象的一条对称轴为（   ） ‎ A.                               B.                               C.                               D. ‎ ‎8.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足 ，则点P与△ABC的关系为（   ） ‎ A. P在△ABC内部        B. P在△ABC外部        C. P在AB边所在直线上        D. P是AC边的一个三等分点 ‎9. 设f（sinα+cosα）=sinα•cosα，则f（sin ）的值为（   ） ‎ A.                                       B.                                       C.                                       D. ‎ ‎10. 函数y=sin （2x+ ）的图象可由函数y=cosx的图象（   ） ‎ A. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍，再向左平移 个单位          ‎ B. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍，再向右平移 个单位 C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 个单位          ‎ D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 个单位 ‎11. 已知函数f（x）= （a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A可以是（   ） ‎ A. （﹣∞，0）                           B. [1，2）                           C. （﹣1，5]                           D. [4，6]‎ ‎12. 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（ ）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0，恰有4个不同的实数根，则实数a（a＞0，a≠1）的取值范围是（   ） ‎ A. （ ，1）                        B. （1，4）                        C. （1，8）                        D. （8，+∞）‎ 二、填空题（共4题；共20分）‎ ‎13. 函数 的定义域为________． ‎ ‎14. 函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0， ]上单调递增，且在这个区间上的最大值是 ，则ω的值为________． ‎ ‎15. 若函数 的定义域和值域都是 ，则 ________． ‎ ‎16. 的值等于________． ‎ 三、解答题（共6题；共70分）‎ ‎17. ( 10分 ) ‎ 如图△ABC，点D是BC中点， =2 ，CF和AD交于点E，设 =a， =b． ‎ ‎（1）以a，b为基底表示向量 ， ． ‎ ‎（2）若 =λ ，求实数λ的值． ‎ ‎18. ( 12分 ) 已知函数 ． ‎ ‎（1）求函数f（x）的对称中心； ‎ ‎（2）若 ，不等式|x﹣m|＜3的解集为B，A∩B=A，求实数m的取值范围． ‎ ‎19. ( 12分 ) 在△ABC中， = + ‎ ‎（Ⅰ）求△ABM与△ABC的面积之比 ‎（Ⅱ）若N为AB中点， 与 交于点P且 =x +y （x，y∈R），求x+y的值．‎ ‎20. ( 12分 ) 已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ （ω＞0）的最小正周期为π． ‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．‎ ‎21. ( 12分 ) 已知函数 ，θ∈[0，2π） ‎ ‎（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求 的值． ‎ ‎（2）若f（x）在 上是单调函数，求θ的取值范围． ‎ ‎22. ( 12分 ) 已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R． ‎ ‎（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）． ‎ ‎①若a= ，求函数y=F（x）的零点；‎ ‎②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围． ‎ （2） 设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围． ‎ 答案部分 一、单选题 ‎1.C ‎ ‎2. A 解：∵0＜0.993.3＜1，log3π＞1，log20.8＜0， ‎ ‎∴log20.8＜0.993.3＜log3π，故选：A．‎ ‎3.D 解：f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sinx， ‎ ‎∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sinx=﹣f（x），∴f（x）奇函数，‎ ‎∵当x= 时，f（ ）=﹣ ＜0，故选：D ‎4. A 解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），‎ 当x≥0时，f（x）=x2﹣2sinx，当x＜0时，则﹣x＞0，可得f（﹣x）=x2+2sinx=﹣f（x），‎ ‎∴f（x）=﹣x2﹣2sinx，故答案为：A．‎ ‎5. B 解：当购买标价为2700元的商品时，‎ 产品的八折后价格为：2700×0.8=2160，故实际付款：2160﹣400=1760，‎ 故购买某商品的实际折扣率为： ≈65%，故答案为：B ‎6.C 解：∵锐角α终边上一点的坐标为（2sin3，﹣2cos3）， ‎ 由任意角的三角函数的定义可得 tanα=﹣cot3=tan（ 3﹣ ），‎ 又3﹣ ∈（0，  ），∴α=3﹣ ．故选C ‎7.A 解：∵当 时，函数y=sinx+acosx取最大值， ∴ 解得： ，‎ ‎∴ ，∴ 是它的一条对称轴，故选A．‎ ‎8.D 解：∵ ， ∴ ，∴ ， ∴P是AC边的一个三等分点．故选项为D 9. A 解：令sinα+cosα=t（t∈[﹣ ， ]），‎ 平方后化简可得 sinαcosα= ，再由f（sinα+cosα）=sinαcosα，得f（t）= ，‎ 所以f（sin ）=f（ ）= =﹣ ．故答案为：A．‎ ‎10.B 解：把函数y=cosx=sin（x+ ）的图象的横坐标变为原来的 倍，可得y=sin（2x+ ）的图象，再把所得图象再向右平移 个单位，可得y=sin[2（x﹣ ）+ ]=sin（2x+ ）的图象，故答案为：B．‎ ‎11. A 解：由题意，f（x）在区间（0，1]上是减函数．函数f（x）= （a∈A）， ‎ 当a=0时，函数f（x）不存在单调性性，故排除C．‎ 当a＜0时，函数y= 在（0，1]上是增函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是减函数，故A对．‎ 当1≤a＜2时，函数y= 在（0，1]上是减函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是增函数，故B不对．‎ 当4≤a≤6时，函数y= 在（0，1]上可能没有意义．故D不对．故选A．‎ ‎12. D 解：对于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），‎ ‎∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．‎ 又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（ ）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，‎ 若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0，恰有4个不同的实数解，‎ 则函数y=f（x）与y=log a（x+2），在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：‎ 又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，‎ 则对于函数y=log a（x+2），根据题意可得，当x=6时的函数值小于1，‎ 即log a8＜1，由此计算得出：a＞8，∴a的范围是（8，+∞），故答案为：D．‎ 二、填空题 ‎13. 解：要使函数有意义，需 ，解得 故答案为 ． 14. 解：∵函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0， ]上单调递增，∴ ≤ ． ‎ 再根据在这个区间上f（x）的最大值是 ，可得ω• = ，则ω= ，故答案为： ．‎ ‎15. . 当 时，函数 递增，又函数 的定义域和值域都是 ， 则： ，此不等式组无解。‎ 当 时，函数 递减，又函数 的定义域和值域都是 ，‎ 则： ，解得： ，‎ 所以 .‎ ‎16. 解： = ﹣ = = = = ．故答案为： ．‎ 三、解答题 ‎17.（1）解：因为点D是BC中点， ‎ 所以2 = + ，即 =2 ﹣ ，‎ 所以 = ﹣ =2 ﹣ ﹣ =2 ﹣ ， （2）解： =λ = （ + ）= + ， ‎ 因为点C，E，F共线，所以 + λ=1，所以λ= ．‎ ‎18.（1）解： ，‎ 解得：‎ ‎（2）解： ，不等式|x﹣m|＜3的解集为B，A∩B=A， ‎ ‎，∴ ，∴A=[1，2]，又解得B=（m﹣3，m+3）‎ 而A∩B=A⇒A⊆B∴ ，得﹣1＜m＜4‎ ‎19.解：（Ⅰ）在△ABC中， = + ⇒ ⇒3 ‎ ‎⇒3 ，即点M在线段BC上的靠近B的四等分点，‎ ‎∴△ABM与△ABC的面积之比为 ．‎ ‎（Ⅱ）∵ = + ， =x +y （x，y∈R）， ，‎ ‎∴设 = = ；‎ ‎∵三点N、P、C共线，∴ ， ，x+y= ．‎ ‎20.解：（Ⅰ）由题意，可得 ‎ f（x）= = ．‎ ‎∵函数的最小正周期为π，∴ =π，解之得ω=1．由此可得函数的解析式为 ．‎ 令 ，解之得 ‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间是 ． ‎ ‎（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+ ）+1的图象，‎ ‎∵ ‎ ‎∴g（x）= +1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．‎ 令g（x）=0，得sin2x=﹣ ，可得2x= 或2x= ‎ 解之得 或 ．‎ ‎∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，‎ 若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，‎ 即b的最小值为 ．‎ ‎21.（1）解：∵函数f（x）是偶函数，∴ ∴ ‎ ‎①tanθ= ‎ ‎② = （2）解：f（x）的对称轴为 ， ‎ 或 ，‎ 或 （9分），‎ ‎∵θ∈[0，2π），∴ ，‎ ‎∴ ，∴ ，‎ ‎∴ ， ，∴ ‎ ‎22.（1）解：F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|， ①若a= ，则由F（x）=x﹣ |x|﹣ =0得： |x|=x﹣ ，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x= （舍去）； 综上可知，a= 时，函数y=F（x）的零点为1； ②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，当a＞0时，作图如下： ‎ ‎ 由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F（x）存在零点； 同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点； 又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点； 综上所述，a的取值范围为（﹣1，1）． （2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x-a+a|x|，x∈[-2，2]， ∴当-2≤x＜0时，h（x）=（1-a）x-a； 当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x-a； 又对任意x1 ， x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立， 则h（x1）max-h（x2）min≤6， ①当a≤-1时，1-a＞0，1+a≤0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增； h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递减（当a=-1时，h（x）=-a）； ∴h（x）max=h（0）=-a，又h（-2）=a-2，h（2）=2+a， ∴h（x2）min=h（-2）=a-2， ∴-a-（a-2）=2-2a≤6，解得a≥-2， 综上，-2≤a≤-1； ②当-1＜a＜1时，1-a＞0，1-a＞0，∴h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增， 且h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上也单调递增， ∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（-2）=a-2， 由a+2-（a-2）=4≤6恒成立，即-1＜a＜1适合题意； ③当a≥1时，1-a≤0，1+a＞0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递减 （当a=1时，h（x）=-a），h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递增； ∴h（x）min=h（0）=-a； 又h（2）=2+a＞a-2=h（-2）， ∴h（x）max=h（2）=2+a， ∴2+a-（-a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1， ∴1≤a≤2； 综上所述，-2≤a≤2． ‎