广东省茂名市2019届高三第一次综合测试 数学（理）（扫描版）

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- 15 -‎ - 15 -‎ - 15 -‎ - 15 -‎ - 15 -‎ - 15 -‎ 绝密★启用前 试卷类型：A ‎2019年茂名市高三级第一次综合测试 理科数学参考答案及评分标准2019.1‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B D C A C A D A D B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 部分答案提示：‎ ‎4．【解析】由所以.，故选D.‎ ‎7. 【解析】方法一：定义法：由，，‎ ‎，，,故选C.‎ 方法二：特值法：，，故选C.‎ ‎8. 【解析】显然f(x)是奇函数，图像关于原点对称排除D；在区间(0,)上，sin2x＞0，sinx＞0，‎ D A B C ‎ 即f(x)＞0，∴排除B、C； 故选A.‎ ‎10．【解析】作一个长，宽，高分别为4,3,3的长方体，‎ 根据三视图得该几何体为三棱锥A−BCD（如图），‎ 因为三棱锥A−BCD的四个顶点，都在同一个长方体中，‎ 所以三棱锥A−BCD体积为,故选A.‎ O y x ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎11 .【解析】：解析：因为，则，所以的最小正周期为2，又由得的图像也关于对称，由图像可得，有7个交点，则实数解的和为,故选D ‎12 .【解析】：若直接联立方程求解的坐标,运算会十分繁琐.‎ 因为，所以的坐标可看做圆与渐进线的交点，由解得 - 15 -‎ ‎，所以可得直线，由，解得，所以，由，可得，即，即，所以， 因此，即，所以，化简得，即，解得,故选B.‎ ‎15 .【解析】：由余弦定理得，所以有：化简得：，当时，则，所以△ABC为等腰三角形；‎ 当时，则，则B为直角，而不合题意；‎ 故△ABC为等腰三角形；根据余弦定理可知,，,有,,所以.‎ ‎16.【解析】：先求四个球心连线是正三棱锥的高，而第四个球的最高点与桌面的距离即为高加上两个半径，从而求出所求．四个球心连线是正三棱锥．棱长均为4‎ ‎,‎ ‎∴第四个球的最高点与桌面的距离为OA加上两个半径即 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17. 解：解：（I）由……①‎ 得……②‎ ‎①-②得…………………………………………………………………2分 ‎…………………………………………………………………………3分 由得……………………………………………………………4分 - 15 -‎ 是以为首项,公比为的等比数列 ‎……………………………………………………………………………6分 ‎ （II） ……………………………………………………8分 ‎ …………………………………9分 ‎………………………………………10分 ‎………………………………………………………………11分 ‎……………………………………………………………………12分 ‎18.解：（Ⅰ）样本数据按顺序为 数据的中位数为：……………………………………………2分 平均数为 ……3分 方差为 ‎ ……4分 ‎（Ⅱ）设抽到优秀作品的个数为，则的可能值为0,1，2,3…………………………5分 ‎ ………………………………………………6分 ‎， …………………………………………7分 ‎………………………………………………8分 ‎…………………………………………………………9分 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ - 15 -‎ P ‎…………………………………………………………………………………………………10分 期望为…………………………………12分 A C B P E F ‎19. （1）证明：设为的中点，连结，‎ ‎ ‎ ‎……………………………………1分 又 ‎ …………………………………………………………………2分 ‎ ‎ ‎……………………………………………………………………………………3分 又 ‎……………………………………………………………………………4分 又………………………………………………………………5分 ‎（2）解法1：作于点,连结…………………………………………………6分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎…………………………………………………………………7分 ‎ ……………………………………………………………………………………8分 为二面角的一个平面角 ……………………………………………9分 ‎………………………………………………………10分 ‎…………………………………11分 - 15 -‎ 所以二面角的平面角的余弦值为……………………………………12分 解法2：‎ ‎ ‎ ‎………………………………………………………………6分 建立坐标系如右图所示，则 ‎………………………7分 A C B E 设平面的一个法向量为，则 由得 解得 ……8分 设平面的一个法向量为，则 由得解得 …………………9分 ‎……………………………………………………………11分 所以二面角的平面角的余弦值为………………………………………………12分 ‎20.解：（Ⅰ）①当时，的轨迹不存在…………………………………………………1分 ‎ ②当时，的轨迹为一线段，方程为…………………………2分 ‎ ③当时，的轨迹为焦点在轴上的椭圆，‎ 方程为…………………………………3分 - 15 -‎ ‎ (Ⅱ) 若，则的轨迹方程为………………………………………………4分 ‎ 当轴时不合题意，‎ ‎………………………………5分 由得 解得……………………6分 由韦达定理得 …………………………………………………7分 ‎ ‎ ‎…………………………………8分 ‎……………………………………………………9分 ‎ …………………………10分 令 ，则 ‎,……………………………………………………………11分 当且仅当即,时等号成立,‎ ‎ ………………12分 方法二：若，则的轨迹方程为………………………………………………4分 ‎ 当轴时不合题意， 且 ‎………………………………5分 由得 解得……………………6分 - 15 -‎ 由韦达定理得 …………………………………………………7分 ‎ ……………… 8分 ‎=，………………10分 令 ，则 ‎,……………………………………………………………11分 当且仅当即,时等立,‎ ‎ ………………12分 ‎21.解：(Ⅰ)，…………………………………………………………1分 ‎，……………………………………………………………………………2分 ‎，………………………………………………………3分 令，故……………………………………4分 令，故 ……………………………………5分 由为函数的两个零点，得…………………6分 两式相减，可得 ……………………………………7分 ‎，， ‎ 因此， ……………………………………………8分 - 15 -‎ 令 则，…………………………9分 构造函数，………………………………………10分 则 所以函数故………………………………11分 即，可知.故命题得证. …………………12分 ‎22.解：(Ⅰ)设点Q的坐标为(x, y)，则点P的坐标为(2x, 2y)，‎ 由点P在椭圆上得，化解可得： ①….……..….…….…2分 由x=rcosq，y=rsinq，代入①得，‎ 化简可得点Q轨迹的极坐标方程为．..….…….…….……………..………..…….……..……5分 ‎(Ⅱ)（法一）把直线l参数方程(t为参数)代入①得化简得：………7分 所以…….………….…………...…….……..…….……8分 ‎∴弦长…….……. …….……..…….……..…….……..……10分 ‎（法二）由直线l参数方程(t为参数)知，直线l过极点，倾斜角为，.……. ……..………6分 ‎∴直线l的极坐标方程为．.…….…….….……..……7分 由解得：或…….……..…….……..……9分 ‎∴弦长．.…….…….……….…….….…….…….……..……10分 - 15 -‎ ‎（法三）由直线l参数方程(t为参数)知，直线l的普通方程为，.…….……6分 联立①解得 .…….…………..…….……….……….……8分 弦长.……….…………..……….……….…10分 ‎23.解：由已知 f(x)=|2x+1|−|x−a|= …………………………………1分 ‎(Ⅰ)当a=1时，f(x)= 由f(x)≥1，得 或或即x≤−3或≤x≤1或x＞1.…………………………………3分 ‎∴x≤−3或x≥，即不等式f(x)≥1的解集{ x | x≤−3或x≥} …………………………5分 ‎(Ⅱ)函数f(x)的解析式知当x＜时，f(x)单调递减，当≤x≤a时，f(x)单调递增，当x＞a时，f(x)单调递增.‎ ‎∴当x=时，f(x)取得最小值f(x)min=−a …………………………………8分 由−a＞−2，解得a＜, 又 ‎∴实数的取值范围是(0,)．.…………………………………………………………………10分 - 15 -‎