数学卷·2018届四川省内江市威远中学高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届四川省内江市威远中学高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年四川省内江市威远中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.‎ ‎1．直线的方程为，则直线的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎2．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎3．下列说法中错误的是（　　）‎ A．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直 B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行 ‎4．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（　　）‎ A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0‎ ‎5．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（　　）‎ A．0 B．﹣8 C．2 D．10‎ ‎6．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊂α，n∥α，则m∥n D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n ‎7．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（　　）‎ A．6 B．8 C．2+3 D．2+2‎ ‎8．若方程（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y﹣4m+1=0表示一条直线，则实数m满足（　　）‎ A．m≠0 B．m≠﹣‎ C．m≠1 D．m≠1，m≠﹣，m≠0‎ ‎9．如图所示，是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．8+2π B．16+2π C．20+2π D．16+π ‎11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（　　）‎ A．①④ B．②③ C．②④ D．①②‎ ‎12．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=b＜a，若Q是A1D1上的定点，P在C1D1上滑动，则四面体PQEF的体积（　　）‎ A．是变量且有最大值 B．是变量且有最小值 C．是变量无最大最小值 D．是常量 ‎　‎ 三、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎13．若三点A（3，3），B（a，0），C（0，b）（其中a•b≠0）共线，则+=　　．‎ ‎14．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为　　．‎ ‎15．已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎16．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是　　．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知直线l：x+y﹣1=0，‎ ‎（1）若直线l1过点（3，2）且l1∥l，求直线l1的方程；‎ ‎（2）若直线l2过l与直线2x﹣y+7=0的交点，且l2⊥l，求直线l2的方程．‎ ‎18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．求证：‎ ‎（Ⅰ） EF∥平面A1BC1；‎ ‎（Ⅱ） 平面AEF⊥平面BCC1B1．‎ ‎19．（12分）如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点．‎ ‎（I）求证：ED⊥AC；‎ ‎（Ⅱ）若直线BE与平面ABCD成45°角，求异面直线GE与AC所成角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知△ABC的顶点A（3，2），∠C的平分线CD所在直线方程为y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0．‎ ‎（1）求顶点C的坐标；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎21．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．‎ ‎（1）证明：PH⊥平面ABCD；‎ ‎（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；‎ ‎（3）证明：EF⊥平面PAB．‎ ‎22．（12分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=90°（如图1）．把△‎ ABD沿BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ（如图2）‎ ‎（1）若，求证：CD⊥AB；‎ ‎（2）是否存在适当θ的值，使得AC⊥BD，若存在，求出θ的值，若不存在说明理由；‎ ‎（3）若，取BD中点M，BC中点N，P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得．令PQ与BD和AN所成的角分别为θ1和θ2．求sinθ1+sinθ2的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省内江市威远中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.‎ ‎1．直线的方程为，则直线的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】确定直线位置的几何要素．‎ ‎【分析】设直线的倾斜角为α，则tanα=，α∈[0°，180°），即可得出．‎ ‎【解答】解：设直线的倾斜角为α，‎ 则tanα=，α∈[0°，180°），‎ ‎∴α=30°．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】由长方体的特点可得AB与AD所成的角即为异面直线AB，A1D1所成的角，由矩形的性质可求．‎ ‎【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA∥A1D1，‎ ‎∴AB与AD所成的角即为异面直线AB，A1D1所成的角，‎ 在矩形ABCD中易得AB与AD所成的角为90°，‎ 故异面直线AB，A1D1所成的角等于90°‎ 故选：D ‎【点评】本题考查异面直线所成的角，属基础题．‎ ‎　‎ ‎3．下列说法中错误的是（　　）‎ A．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直 B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】在A中，垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面；在B中，由平行公理得这条直线与这两个平面的交线平行；在C中，由面面垂直的判定定理得这两个平面相互垂直；在D中，由面面平行的判定定理得这两个平面相互平行．‎ ‎【解答】解：在A中，垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面，故A错误；‎ 在B中，一条直线平行于两个相交平面，则由平行公理得这条直线与这两个平面的交线平行，故B正确；‎ 在C中，若一个平面经过另一个平面的垂线，那么由面面垂直的判定定理得这两个平面相互垂直，故C正确；‎ 在D中，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，‎ 那么由面面平行的判定定理得这两个平面相互平行，故D正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．‎ ‎　‎ ‎4．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（　　）‎ A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0‎ ‎【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．‎ ‎【分析】根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．‎ ‎【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，‎ 由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，‎ 又知其过点（﹣1，3），‎ 由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．‎ ‎【点评】本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．‎ ‎　‎ ‎5．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（　　）‎ A．0 B．﹣8 C．2 D．10‎ ‎【考点】斜率的计算公式．‎ ‎【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．‎ ‎【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，‎ ‎∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，‎ ‎∴=﹣2，解得，‎ 故选 B．‎ ‎【点评】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．‎ ‎　‎ ‎6．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊂α，n∥α，则m∥n D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】由线面的位置关系，即可判断A；由线面平行的定义和性质，即可判断B；‎ 由线面平行的定义和性质，再由m，n共面，即可判断C；由线面角的定义和线线的位置关系，即可判断D．‎ ‎【解答】解：由于直线m、n共面，‎ 对于A．若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，故A错；‎ 对于B．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行，故B错；‎ 对于C．若m⊂α，n∥α，由于m、n共面，则m∥n，故C对；‎ 对于D．若m、n与α所成的角相等，则m，n相交或平行，故D错．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题和易错题．‎ ‎　‎ ‎7．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（　　）‎ A．6 B．8 C．2+3 D．2+2‎ ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．‎ ‎【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′‎ 和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则 OB=2，所以OC=3，则四边形OABC的长度为8．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．‎ ‎　‎ ‎8．若方程（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y﹣4m+1=0表示一条直线，则实数m满足（　　）‎ A．m≠0 B．m≠﹣‎ C．m≠1 D．m≠1，m≠﹣，m≠0‎ ‎【考点】确定直线位置的几何要素．‎ ‎【分析】明确Ax+By+C=0表示直线的条件是A、B不同时为0，‎ 则由2m2+m﹣3与m2﹣m同时为0，求出2m2+m﹣3与m2﹣m不同时为0时m的取值范围．‎ ‎【解答】解：若方程（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y﹣4m+1=0表示一条直线，‎ 则2m2+m﹣3与m2﹣m不同时为0，‎ 而由得m=1，‎ 所以m≠1时，2m2+m﹣3与m2﹣m不同时为0．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查Ax+By+C=0表示直线的条件，同时考查解方程组及补集知识．‎ ‎　‎ ‎9．如图所示，是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】正方体的表面展开图还原成正方体，能求出异面直线AB和CD的夹角的余弦值．‎ ‎【解答】解：正方体的表面展开图还原成正方体，如图，‎ 则异面直线AB和CD所成角为∠EFG，‎ 设正方体棱长为2，‎ 在△EFG中，EF=DC=，EG=，FG=2，‎ ‎∴cos∠EFG===．‎ ‎∴异面直线AB和CD的夹角的余弦值为．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查异面直线的夹角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征的合理运用．‎ ‎　‎ ‎10．某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．8+2π B．16+2π C．20+2π D．16+π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知，直观图是正方体挖去两个圆柱，即可求出表面积．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，直观图是正方体挖去两个圆柱．‎ 该几何体的表面积为2×（2×2﹣π）+4×=16+2π，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查三视图，考查表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（　　）‎ A．①④ B．②③ C．②④ D．①②‎ ‎【考点】平行投影及平行投影作图法．‎ ‎【分析】‎ 由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，△PAC在该正方体各个面上的射影．‎ ‎【解答】解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；‎ 从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；‎ 从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成．‎ ‎　‎ ‎12．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=b＜a，若Q是A1D1上的定点，P在C1D1上滑动，则四面体PQEF的体积（　　）‎ A．是变量且有最大值 B．是变量且有最小值 C．是变量无最大最小值 D．是常量 ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】根据等底同高的三角形面积相等及P到平面QEF的距离是定值，结合棱锥的体积公式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵因为EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值，‎ ‎∴△QEF的面积是定值，‎ ‎∵C1D1∥平面QEF，P在C1D1上滑动，‎ ‎∴P到平面QEF的距离是定值．‎ 即三棱锥的高也是定值，于是体积固定．‎ ‎∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点棱锥的体积及点到平面的距离，其中线面平行时直线上到点到平面的距离相等是解答本题的关键．‎ ‎　‎ 三、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎13．若三点A（3，3），B（a，0），C（0，b）（其中a•b≠0）共线，则+=　　．‎ ‎【考点】三点共线．‎ ‎【分析】利用向量的坐标公式：终点坐标减去始点坐标，求出向量的坐标；据三点共线则它们确定的向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程得到a，b的关系．‎ ‎【解答】解：∵点A（3，3）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）‎ ‎∴=（a﹣3，﹣3），=（﹣3，b﹣3），‎ ‎∵点A（3，3）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）共线 ‎∴‎ ‎∴（a﹣3）×（b﹣3）=﹣3×（﹣3）‎ 所以ab﹣3a﹣3b=0，‎ ‎∴+=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查利用点的坐标求向量的坐标、向量共线的充要条件、向量共线与三点共线的关系．‎ ‎　‎ ‎14．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为　　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求出此角即可得到所求．‎ ‎【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，‎ ‎∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，‎ 设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，‎ 根据余弦定理可知∠A1BC1的余弦值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎【考点】确定直线位置的几何要素．‎ ‎【分析】由于给出的直线恒过定点（0，﹣1）所以直线的斜率确定了直线的具体位置，由斜率大于0可求解a的范围．‎ ‎【解答】解：因为直线y=（3a﹣1）x﹣1过定点（0，﹣1），‎ 若直线y=（3a﹣1）x﹣1经过第一、三、四象限，则其斜率大于0，即3a﹣1＞‎ ‎0，所以a＞．‎ 故答案为a．‎ ‎【点评】本题考查了确定直线位置的几何要素，平面中，如果直线过定点，且倾斜角一定，则直线唯一确定，是基础题．‎ ‎　‎ ‎16．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是　　．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）‎ ‎【考点】在实际问题中建立三角函数模型；解三角形．‎ ‎【分析】过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，‎ ‎∴BC=20m，‎ 过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，‎ 设BP′=x，则CP′=20﹣x，‎ 由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20﹣x），‎ 在直角△ABP′中，AP′=，‎ ‎∴tanθ=•，‎ 令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，‎ ‎∴x=0时，取得最大值为=．‎ 若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），‎ 在直角△ABP′中，AP′=，‎ ‎∴tanθ=•，‎ 令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）（2015秋•郴州校级期末）已知直线l：x+y﹣1=0，‎ ‎（1）若直线l1过点（3，2）且l1∥l，求直线l1的方程；‎ ‎（2）若直线l2过l与直线2x﹣y+7=0的交点，且l2⊥l，求直线l2的方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】（1）由题意和平行关系设直线l1的方程为x+y+m=0，代点可得m的方程，解得m值可得直线l1的方程；‎ ‎（2）解方程组可得交点坐标，由垂直关系可得直线斜率，可得直线方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意和平行关系设直线l1的方程为x+y+m=0，‎ ‎∵直线l1过点（3，2），∴3+2+m=0，‎ 解得m=﹣5，直线l1的方程为x+y﹣5=0；‎ ‎（2）解方程组可得，‎ ‎∴直线l与直线2x﹣y+7=0的交点为（﹣2，3）‎ ‎∵l2⊥l，∴直线l2的斜率k=1，‎ ‎∴直线方程为x﹣y+5=0‎ ‎【点评】本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，属基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016•潍坊校级二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．求证：‎ ‎（Ⅰ） EF∥平面A1BC1；‎ ‎（Ⅱ） 平面AEF⊥平面BCC1B1．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理得EF∥BC1，由此能证明EF∥平面A1BC1．‎ ‎（Ⅱ）由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得AE⊥BB1，由正三角形性质得AE⊥BC，由此能证明平面AEF⊥平面BCC1B1．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）因为E，F分别是BC，CC1的中点，‎ 所以EF∥BC1．‎ 又因为BC1⊂平面A1BC1，EF⊄平面A1BC1，‎ 所以EF∥平面A1BC1．‎ ‎（Ⅱ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，‎ 所以BB1⊥平面ABC．又AE⊂平面ABC，‎ 所以AE⊥BB1．‎ 又因为△ABC为正三角形，E为BC的中点，‎ 所以AE⊥BC．‎ 又BB1∩BC=B，所以AE⊥平面BCC1B1．‎ 又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面BCC1B1．（12分）‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015春•海南期末）如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点．‎ ‎（I）求证：ED⊥AC；‎ ‎（Ⅱ）若直线BE与平面ABCD成45°角，求异面直线GE与AC所成角的余弦值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（I）由矩形ADEF可知ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，得到ED ‎⊥平面ABCD，从而有ED⊥AC．‎ ‎（Ⅱ）由（I）ED⊥平面ABCD，可知∠EDB是直线BE与平面ABCD所成的角，又由AM∥GE，知∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角 然后在△MAC中用余弦定理求解．‎ ‎【解答】（I）证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD ‎∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD ‎∴ED⊥平面ABCD∴ED⊥AC ‎（Ⅱ）由（I）知：ED⊥平面ABCD ‎∴∠EBD是直线BE与平面ABCD所成的角，即∠EBD=45°（8分）‎ 设 取DE中点M，连接AM ‎∵G是AF的中点∴AM∥GE ‎∴∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角（10分）‎ 连接BD交AC于点O ‎∵，O是AC的中点 ‎∴MO⊥AC ‎∴cos∠MAC===，‎ ‎∴异面直线GE与AC所成角的余弦值为．（12分）‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直间的转化以及异面直线所成的角的求法．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2013秋•台州期末）已知△ABC的顶点A（3，2），∠C的平分线CD所在直线方程为y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0．‎ ‎（1）求顶点C的坐标；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】（1）由高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0，可得kBH．由于直线AC⊥BH，可得kAC•kBH=﹣1．即可得到kAC，进而得到直线AC的方程，与CD方程联立即可得出点C的坐标；‎ ‎（2）求出直线BC的方程，进而得到点B的坐标，利用点到直线的距离公式可得点B到直线AC的距离，利用两点间的距离公式可得|AC|，利用三角形的面积计算公式可得．‎ ‎【解答】解：（1）由高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0，∴ =﹣2．‎ ‎∵直线AC⊥BH，∴kAC•kBH=﹣1．‎ ‎∴，‎ 直线AC的方程为，‎ 联立 ‎∴点C的坐标C（1，1）．‎ ‎（2），‎ ‎∴直线BC的方程为，‎ 联立，即．‎ 点B到直线AC：x﹣2y+1=0的距离为．‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．‎ ‎（1）证明：PH⊥平面ABCD；‎ ‎（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；‎ ‎（3）证明：EF⊥平面PAB．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（1）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．‎ ‎（2）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥‎ 平面ABCD，由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积．‎ ‎（3）取PA中点M，连接MD，ME，因为E是PB的中点，所以，因为ME，所以MEDF，故四边形MEDF是平行四边形．由此能够证明EF⊥平面PAB．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵AB⊥平面PAD，‎ ‎∴PH⊥AB，‎ ‎∵PH为△PAD中AD边上的高，‎ ‎∴PH⊥AD，‎ ‎∵AB∩AD=A，‎ ‎∴PH⊥平面ABCD．‎ ‎（2）如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，‎ ‎∵E是PB的中点，‎ ‎∴EG∥PH，‎ ‎∵PH⊥平面ABCD，‎ ‎∴EG⊥平面ABCD，‎ 则，‎ ‎∴=‎ ‎（3）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，‎ ‎∵E是PB的中点，‎ ‎∴ME，‎ ‎∵，‎ ‎∴MEDF，‎ ‎∴四边形MEDF是平行四边形，‎ ‎∴EF∥MD，‎ ‎∵PD=AD，∴MD⊥PA，‎ ‎∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，‎ ‎∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，‎ ‎∴EF⊥平面PAB．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•威远县校级期中）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ（如图2）‎ ‎（1）若，求证：CD⊥AB；‎ ‎（2）是否存在适当θ的值，使得AC⊥BD，若存在，求出θ的值，若不存在说明理由；‎ ‎（3）若，取BD中点M，BC中点N，P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得．令PQ与BD和AN所成的角分别为θ1和θ2．求sinθ1+sinθ2的最大值．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题．‎ ‎【分析】（1）先证明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥‎ 平面ABD，利用线面垂直的性质可得CD⊥AB；‎ ‎（2）不存在．由AC⊥BD，CD⊥BD，AC∩CD=C，可得BD⊥平面ACD，BD⊥AD，与∠ABC=90°矛盾；‎ ‎（3）BN线段取点R使得，从而易得PR∥AN且RQ∥BDA，θ1=∠PQR，θ2=∠QPR，确定θ1+θ2，利用基本不等式，即可求sinθ1+sinθ2的最大值．‎ ‎【解答】（1）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD．‎ ‎∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，‎ ‎∴CD⊥平面ABD．…‎ 又∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB．…‎ ‎（2）解：不存在．‎ ‎∵AC⊥BD，CD⊥BD，AC∩CD=C，‎ ‎∴BD⊥平面ACD，‎ ‎∵AD⊂平面ACD，‎ ‎∴BD⊥AD，与∠ABC=90°矛盾，‎ 故不存在；‎ ‎（3）解：在BN线段取点R使得 从而易得PR∥AN且RQ∥BDA，θ1=∠PQR，θ2=∠QPR 另一方面，AM⊥BD，MN⊥BD，从而θ=∠AMN．‎ ‎∵AM⊥BD，MN⊥BD，AM∩MN=M，‎ ‎∴BD⊥AN，‎ ‎∵PR∥AN，RQ∥BD，‎ ‎∴∠PRQ=，‎ 从而有，‎ ‎∴‎ 当且仅当sinθ1=sinθ2，即θ1=θ2时取得最大值．…（14分）‎ ‎【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．‎ ‎　‎