【数学】甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试（理）（解析版）

【数学】甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试（理）（解析版）

甘肃省平凉市静宁县第一中学 2019-2020 学年高一下学期期 中考试数学试题（理） 第 I 卷（选择题） 一、单选题（12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知 为第三象限角，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 为第三象限角， 所以 ， ， 所以 . 故选：D 2.M(3，0)是圆 x2＋y2－8x－2y＋10＝0 内一点，过 M 点最长的弦所在的直线方程是（ ） A. x＋y－3＝0 B. x－y－3＝0 C. 2x－y－6＝0 D. 2x＋y－6＝0 【答案】B 【解析】由圆 ，得其标准方程为： ． 已知圆的圆心坐标为 ， 又 是圆 内一点， 过 点最长的弦所在的直线为经过 与圆心的直线，直线方程为 ，整理得： ． 故选：B． 3.已知扇形的周长是 ，扇形面积为 ，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】设扇形的半径为 ，弧长为 ， θ tan 0θ < sin cos 0θ θ⋅ < cos tan 0θ θ⋅ > sin tan 0θ θ⋅ < θ tan 0θ > sin 0,cos 0θ θ< < sin tan 0θ θ⋅ < 2 2 8 2 10 0x y x y+ − − + = 2 2( 4) ( 1) 7x y− + − = ∴ (4,1) (3,0)M 2 2 8 2 10 0x y x y+ − − + = ∴ M M 0 3 1 0 4 3 y x− −=− − 3 0x y− − = 4cm 21cm 1 2 r l 则 ，解得 ， ，所以 .故选：A 4.以 和 为端点的线段 的垂直平分线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意可知，以 和 的中点为 ， 那么中垂线的方程过该点，同时 的斜率为 ， 因此垂直的斜率为 ，那么可知其 的垂直平分线方程 ， 故选 B. 5.已知 ，且 ，求 的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，故 ， ， 故 ， ，故 . 故选：B. 6.若角 的终边过点 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 2 4 1 12 r l rl + = = 1r = 2l = 2l r α = = (1,3)A ( 5,1)B − AB 3 8 0x y− + = 3 4 0x y+ + = 2 6 0x y− − = 3 8 0x y+ + = (1,3)A ( 5,1)B − ( 2,2)− AB 3 1 2 1 1 ( 5) 6 3ABk −= = =− − 3− AB 3 8 0x y− + = 2 5 3 10cos ,cos( )5 10 α β α= − = π0 2 α β< < < β π 6 π 4 π 3 5π 12 0 2 πα β< < < 0, 2 β α  − ∈   π 2 5 3 10cos ,cos( )5 10 α β α= − = 5 10sin ,sin( )5 10 α β α= − = ( ) ( ) ( ) 2sin sin sin cos cos sin 2 β β α α β α α β α α= − + = − + − = π 4 β = α ( )2cos120 2 sin 225P ° °， sinα = 3 2 − 1 2 − 2 2 2 2 − 【 解 析 】 由 于 ， ， 所 以 ， ，所以 ，故选 D. 7.下列函数中，在区间 上为增函数且以 为周期的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A 选项周期为 ，不满足条件；B 选项周期为 ；C 选项周期为 ，且在区间 为减函数，不满足条件；D 选项周期为 ，且在区间 为增函数；故选 D． 8.直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】因为圆 x2+y2＝4 的圆心为（0，0），半径为 2，∵直线 l：y＝k（x+2）被圆 O：x2+y2 ＝4 截得弦长为 ，∴圆心到直线的距离 d＝ ＝1，∴圆心到直线的距离 d= ，∴k＝± ，所以直线的倾斜角为 或 . 故选：C． 9.将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减 C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减 【答案】A 1cos120 =- 2  2sin225 sin(180 45 ) 45 2sin= + = − = −    ( 1 1)P − −， 2r OP= = 2sin 2 y r α = = − π0 2 ，     π sin 2 xy = siny x= tany x= − cos2y x= − 4π 2π π π0, 2      π π0, 2      ( )2y k x= + 2 2 4x y+ = 2 3 6 π π 3 6 π 5π 6 π 3 2π 3 2 3 2 4 3− 2 2 1 1 k k = + 3 3 π 6 5π 6 sin(2 )5y x π= + π 10 3π 5π[ , ]4 4 3π[ ,π]4 5π 3π[ , ]4 2 3π[ ,2π]2 【解析】由函数图象平移变换的性质可知： 将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为： . 则函数的单调递增区间满足： ， 即 ， 令 可得一个单调递增区间为： . 函数的单调递减区间满足： ， 即 ， 令 可得一个单调递减区间为： ，本题选择 A 选项. 10.已知 ， ，则有（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】因为 ， ， 又因为 ，在 上增函数， 所以 ，即 . 故选：B 11.如图为函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的图象．求函数 f（x）＝Asin （ωx+φ）的解析式（ ） πsin 2 5  = +  y x π 10 π πsin 2 sin 210 5   = − + =    y x x ( )2 2 22 π π 2 ππ − ≤ ≤ + ∈k x k k Z ( )ππ 4 π 4 π− ≤ ≤ + ∈k x k k Z 1k = 3π 5π,4 4      ( )32 2 2π ππ π2 2 + ≤ ≤ + ∈k x k k Z ( )π 3ππ π4 4 + ≤ ≤ + ∈k x k k Z 1k = 5 7,4 4 π π     1 3cos6 sin62 2a = ° − ° 1 cos50 2b − °= a b> a b< a b= 1 3cos6 sin6 sin 242 2 = ° − ° = °a 1 cos50 sin 252 − °= = b siny x= π0, 2      si n 24 si n 25<  a b< π 2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由图象可知， ， ， ， ， ，及 ， ， 而 ， ， ， ； 故选：A 12.关于函数 有下述四个结论：①若 ， 则 ；② 的图象关于点 对称；③函数 在 上单调递增；④ 的图象向右平移 个单位长度后所得图象关于 轴对称. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】①由 知 ， 是 图象的两 个对称中心， 2 3 π( ) sin 23 3  = −  f x x 2( ) sin π 3 3  = −  f x x ( ) 2sin 2 6 π = −  f x x 2 3( ) sin 23 3 π = +  f x x π2 2 6 π 3 2 π= − =T ∴ π=T 2ω =  2 π π26 ϕ× + = k ∈k Z | | 2 ϕ π< 3 πϕ∴ = − π(0) sin( ) 13 = − = −f A 0A > 2 3 3A∴ = ∴ 2 3( ) sin(2 )3 3 π= −f x x ( ) ( )3sin 2 13 π = − + ∈  f x x x R ( ) ( )1 2 1f x f x= = ( )1 2 π− = ∈x x k k Z ( )y f x= 2π ,13      ( )y f x= 0, π 2      ( )y f x= π 12 y ( ) ( )1 2 1f x f x= = ( )1,1x ( )2 ,1x ( ) π3sin 2 13  = − +  f x x 则 是 的整数倍（ 是函数 的最小正周期），即 ，所 以结论①错误； ②因为 ，所以 是 的对称中心，所以结论②正确； ③由 解得 ， 当 时， 在 上单调递增，则 在 上单调递增，在 上单调递减，所以结论③错误； ④ 的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的函数为 ， 是偶函数，所以图象关于 轴对称，所以结论④正确. 故选：D. 二、填空题（4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.若直线 与直线 互相垂直，则 __________ 【答案】 【解析】因为直线 与直线 互相垂直， 所以 ，解得 ， 故答案为： ． 14.已知 ， ，则 ______ 【答案】 【解析】 ，， 1 2x x− π 2 2 =T T ( )f x ( )1 2 π 2 − = ∈kx x k Z 2 3sin 1 1π π3   = + =  f 2π ,13      ( )f x ( )2 2 22 3 π ππ 2 ππ− − + ∈k x k k Z  ( )5 12 π ππ π 12 − + ∈k x k k Z  0k = ( )f x 5,12 12 π π −   ( )f x 50, π 12      5π π,12 2      ( )y f x= π 12 π π3sin 2 1 3cos2 112 3   = − − + = − +    y x x y 2 1 0ax y+ + = ( 1) 0x a y a+ − + = a = 2 3 2 1 0ax y+ + = ( 1) 0x a y a+ − + = 1 2( 1) 0a a× + − = 2 3a = 2 3 , 0, 2 πα β  ∈   1 10tan ,sin7 10 α β= = 2α β+ = 4 π 1 3 10 1 πtan ,sin , , 0, ,7 3 10 2 2 α β α β  = < = < ∈   π π0, , 0,6 6 α β   ∴ ∈ ∈       ， ， ， ， 故答案： . 15.函数 的图像向左平移 单位后为奇函数，则 的最小正值为______. 【答案】 【解析】因为 向左平移 单位后得到 且 为奇函数， 所以 ，所以 ，又因 ，所以当 时有 . 故答案为 . 16.设圆 的圆心为 A，点 P 在圆上，则线段 PA 的中点 M 的轨迹方 程是__________________. 【答案】x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 【解析】设 PA 的中点 M 的坐标为 ， ，圆 x2＋y2－4x＋2y－11＝0 的圆心为 A 坐 标 为 ， 由 已 知 有 ， 则 ， 又 P 点 在 圆 上 ， 所 以 ，所以 ， 即 ． 三、解答题（6 小题，共 70 分） 为 2 3 10cos 1 sin 10 β β= − = sin 1tan cos 3 ββ β= = 2 2tan 3tan 2 11 tan 4 ββ β= = <− π2 0, 4 β  ∈   ( ) 5π2 0, 12 α β  + ∈   ( ) tan tan 2tan 2 11 tan tan 2 α βα β α β ++ = =− ⋅ π2 4 α β∴ + = 4 π ( ) cos(2 )f x x ϕ= + π 3 ϕ 5π 6 ( )f x π 3 ( ) 2πcos 2 3 ϕ = + +  g x x ( )g x 2π ππ ,3 2 ϕ + = + ∈k k Z ππ ,6 ϕ = − ∈k k Z 0ϕ > 1k = min 5π 6 ϕ = 5 6 π 2 2 4 2 11 0x y x y+ − + − = ( , )x y 1 1( , )P x y (2, 1)− 1 1 2 2 2 2 x x y y + = − = 1 1 2 2 2 2 x x y y = −  = + 2 2 1 1 1 14 2 11 0x y x y+ − + − = 2 2(2 2) (2 2) 4(2 2) 2(2 2) 11 0x y x y− + + − − + + − = 2 2 4 2 1 0x y x y+ − + + = 17.已知 ，求下列各式的值： （1） ； （2） . 解：（1）原式 （2）原式 . 18.已知圆 以原点为圆心，且与圆 外切， （1）求圆 的方程； （2）求直线 与圆 相交所截得的弦长. 解:（1）设圆 方程为 ，圆 ， ，所以圆 方程为 . （2）点 到直线 的距离为 ， 故弦长 . 19.已知 ， ， ， ，求 的值． 解:因为 ， ， 所以 ，∴ . ∵ ， ∴ . tan 3α = 3cos( ) sin( ) 33cos sin2 π 2 π π π α α α α − − − +    + + −       22sin 3sin cos 1α α α− − 3cos sin 3 tan 3sin cos 3 tan 1 α α α α α α − + − += = − − − − 3 3 6 5 3 133 3 1 − −= = − − 2 2 2 2 2 2sin 3sin cos sin cos sin cos α α α α α α α − − −= + 2 2 2 2tan 3tan tan 1 tan 1 α α α α − − −= + 18 9 9 1 1 9 1 10 − − −= = −+ O 2 2: 6 8 21 0C x y x y+ + − + = O 2 3 0x y+ − = O O 2 2 2x y r+ = 2 2:( 3) ( 4) 4C x y+ + − = | | 2r OC= − 2 2( 3) 4 2 3= − + − = O 2 2 9x y+ = O 2 3 0x y+ − = 3 3 5 51 4 d = = + 2 2 9 12 52 2 9 5 5l r d= − = − = π 3 π4 4 α< < π0 4 β< < π 3cos( )4 5 α− = 3 5sin( π )4 13 β+ = ( )cos α β+ π 3 π4 4 α< < π 3cos( )4 5 α− = 02 4 π π α− < − < π 4sin( )4 5 α− = − 3 3π π π4 4 β< + < 3 5sin( π )4 13 β+ = 3 12cos( π )4 13 β+ = − ( )cos α β+ 3π π π 3π πcos sin4 4 2 4 4 β α β α          = + − − − = + − −                     . 20.已知 . (1)求 的值 (2)求 的值. 解:（1）∵ . ∴ ，即 ， （2）由（1）知 ＜0，又 ∴ ∴ 21.已知函数 . （1）求 的最小正周期； （2）求 单调递增区间； （3）求 在 上的最值及对应 的值. 解:（1） ，故 . （2）取 ， ，解得 ， ， 即单调增区间为： . 3π π 3π πsin cos cos sin4 4 4 4 β α β α       = + − − + −               5 3 12 4 33 13 5 13 5 65 = × − × = − π π 1,sin cos2 2 5 − < < + =x x x 2sin cos sin 1 tan x x x x ⋅ + + sin cosx x− 1sin cos 5x x+ = 11 2sinxcosx 25 + = 12sinxcosx 25 = − ( )2sin cos sin 1 tan 1 sinx cosx sinxx x x sinxx cosx +⋅ + =+ + ( )sin cos cos +sin 12= =sin cos =-sin +cos 25 x x x x x xx x 12sin cos 25 = −x x π π 2 2 − <

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