高考数学专题复习：专题五 解 析 几 何

高考数学专题复习：专题五 解 析 几 何

专题五　解 析 几 何 第一讲　直线与圆(选择、填空题型)‎ 一、选择题 ‎1．(2014·保定模拟)若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于(　　)‎ A．1　　　　B．－　　　C．－　　　D．－2‎ ‎2．(2014·黄冈期末)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于(　　)‎ A．－3或 B．－3或3 C.或－ D．－或3 ‎3．(2014·长春调研)一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(　　)‎ A．m>1且n<1 B．mn<0‎ C．m>0且n<0 D．m<0且n<0‎ ‎4．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)‎ A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0‎ C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0‎ ‎5．(2014·安徽模拟)直线x－y＋1＝0被圆x2＋y2＋2my＝0所截得的弦长等于圆的半径，则实数m＝(　　)‎ A.－2 B.＋‎2 C．1 D. ‎6．(2014·昆明三中、玉溪一中联考)已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为(　　)‎ A．11 B．‎10 C．9 D．8‎ ‎7．(2013·天津高考)已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切， 且与直线ax－y＋1＝0垂直， 则a＝(　　)‎ A．－ B．‎1 C．2 D. ‎8．(2014·沈阳模拟)已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)‎ A．9 B．‎8 C．4 D．2‎ ‎9．(2014·烟台二模)已知圆C的方程为x2＋y2－2x＝0，若以直线y＝kx－2上任意一点为圆心，以1为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是(　　)‎ A．－1 B．‎0 C．1 D．2‎ ‎10．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y≤2}，其中x，y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．[0， ] B．[－，0]‎ C．[－， ] D．[－，＋∞)‎ 二、填空题 ‎11．(2014·太原模拟)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，C是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是________．‎ ‎12．(2014·天津一模)已知圆C过点(0,1)，且圆心在x轴负半轴上，直线l：y＝x＋1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________________．‎ ‎13．(2014·唐山模拟)若直线y＝kx＋2k与圆x2＋y2＋mx＋4＝0至少有一个交点，则m的取值范围是________．‎ ‎14．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．‎ ‎15．(2014·长春调研)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值是________．‎ ‎16．(2014·浙江联考)设圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，交y轴于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为___________________________．‎ 答案 一、选择题 ‎1．解析：选D　直线ax＋2y＋1＝0的斜率k1＝－，直线x＋y－2＝0的斜率k2＝－1，因为两直线相互垂直，所以k1·k2＝－1，即·(－1)＝－1，所以a＝－2，所以选D.‎ ‎2．解析：选A　由圆x2＋y2－2x－2＝0可得标准方程为(x－1)2＋y2＝3，知圆心为(1,0)，半径为，由直线与圆相切可得圆心到直线的距离d＝＝，解得m＝或m＝－3.故选A.‎ ‎3．解析：选B　因为y＝－x＋经过第一、三、四象限，故－>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选B.‎ ‎4．解析：选A　由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.‎ ‎5．解析：选B　圆的方程即x2＋(y＋m)2＝m2，圆心(0，－m)到已知直线的距离d＝＝，解得m＝2＋.‎ ‎6．解析：选B　依题意，a＝2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(－2y，y)，故解得x＝4，y＝2，则A(4,8)，B(－4,2)，所以|AB|＝＝10.故选B.‎ ‎7．解析：选C　由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2，2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.‎ ‎8．解析：选A　由题意得，圆心坐标是(0,1)，则有b＋c＝1.＋＝(b＋c)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当即b＝‎2c＝时取等号，因此＋的最小值为9.故选A.‎ ‎9．解析：选A　由题意得，圆C的圆心坐标为(1,0)，设另一圆的圆心坐标为C1(a，ka－2)(a∈R)，则|CC1|>2，即>2.所以(k2＋1)a2－(4k＋2)a＋1>0，又a∈R，所以Δ＝(4k＋2)2－4(k2＋1)<0，解得－0⇒m<－4或m>4.综上可知m>4.‎ 答案：(4，＋∞)‎ ‎14．解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．‎ 答案：[－1,1]‎ ‎15．解析：由圆C的方程可知其圆心坐标为(－1,2)，代入直线2ax＋by＋6＝0，得－‎2a＋2b＋6＝0，即点(a，b)在直线l：－x＋y＋3＝0上，过C(－1,2)作l的垂线，设垂足为D，过D作圆C的切线，设切点为E，则切线长DE最短，于是有|CE|＝，|CD|＝＝3，由勾股定理得|DE|＝4.‎ 答案：4‎ ‎16．解析：如图，A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3,5)，P点的横坐标为0，因此，A，B的横坐标分别为2、4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2，3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.‎ 答案：2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0‎ 第二讲　圆锥曲线的定义、方程与性质(选择、填空题型)‎ 一、选择题 ‎1．(2014·辽宁高考)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px 的准线上，记C的焦点为F，‎ 则直线AF的斜率为(　　)‎ A．－　　　B．－‎1　‎　　C．－　　　D．－ ‎2．(2014·洛阳模拟)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(，0)，直线y＝x与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为(　　)‎ A.＋y2＝1 B．x2＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎3．(2014·广东高考)若实数k 满足0b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎7．(2014·昆明模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线方程为(　　)‎ A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝x ‎8．(2014·衡水二调)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置(　　)‎ A．在C1开口内 B．在C1上 C．在C1开口外 D．与p值有关 ‎9．(2014·厦门模拟)双曲线x2－＝1的左顶点为A，右焦点为F，则以线段AF为直径的圆被其中一条渐近线截得的弦长为(　　)‎ A. B. C. D. ‎10．(2014·石家庄质检)已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎11．(2014·四川高考)双曲线－y2＝1的离心率等于________．‎ ‎12．(2014·北京高考)设双曲线C 的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________________．‎ ‎13．(2014·大庆模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－2x－3＝0相切，则p的值为________．‎ 14． ‎ (2014·兰州模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________________________．‎ ‎15．设点A1，A2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1，A2的点P，使得PO⊥PA2，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．‎ ‎16．(2014·洛阳模拟)设e1，e2分别是具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，O是F‎1F2的中点，且满足|PO|＝|OF2|，则＝________.‎ 答案 一、选择题 ‎1．解析：选C　因为点A在抛物线C的准线上，所以－＝－2，所以该抛物线的焦点F(2,0)，所以kAF＝＝－，选C.‎ ‎2．解析：选C　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则有解得a2＝20，b2＝5，所求椭圆方程为＋＝1.故选C.‎ ‎3．解析：选D　由00，故所求的椭圆的离心率为.‎ ‎7．解析：选B　依题意，设M(x，y)，|OF|＝，所以|MF|＝2p，x＋＝2p，x＝，y＝p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，选B.‎ ‎8．解析：选B　设B，由已知有AB中点的横坐标为，则A，△ABF是边长|AB|＝2p的等边三角形，即|AF|＝＝2p，∴p2＋m2＝4p2，∴m＝±p，∴A，代入y2＝2px中，得点A在抛物线上，故选B.‎ ‎9．解析：选D　双曲线x2－＝1的左顶点A(－1,0)，右焦点F(3,0)，所以以线段AF为直径的圆的圆心D(1,0)，半径为2，则圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，双曲线的渐近线方程为y＝±2x，所以圆心D到渐近线的距离为，所以所截得的弦长为2＝.故选D.‎ ‎10．解析：选B　以A，B为焦点的椭圆C过直线l：y＝x＋3上的点P，若长轴最短即a最小，则|PA|＋|PB|＝‎2a最小，如图作点B关于直线l：y＝x＋3的对称点B′，则|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB′|＝|AB′|，经计算得点B′(－3,5)，|AB′|＝，∴a的最小值为，∵c＝2，∴离心率的最大值为，故选B.‎ 二、填空题 ‎11．解析：由双曲线的方程易得a＝2，b＝1，c＝，故离心率e＝＝.‎ 答案： ‎12．解析：根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，所以a＝1，c＝，于是b2＝c2－a2＝1，所以方程为x2－y2＝1.‎ 答案：x2－y2＝1‎ ‎13．解析：将x2＋y2－2x－3＝0化为(x－1)2＋y2＝4.可知圆心坐标为(1,0)，半径为2，又抛物线准线与圆相切，所以－＝－1，解得p＝2.‎ 答案：2‎ ‎14.解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又∵|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即点 F是AC的中点，根据题意得p＝，∴抛物线的方程是y2＝3x.‎ 答案：y2＝3x ‎15．解析：由题设知∠OPA2＝90°，设P(x，y)(x＞0)，以OA2为直径的圆的方程为2＋y2＝，与椭圆方程联立，得·x2－ax＋b2＝0.易知，此方程有一实根为a，且由题设知，此方程在区间(0，a)上还有一实根，由此得0＜＜a，化简得0＜＜1，即0＜＜1，得b>0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.‎ ‎(1)若|AB|＝4，△ABF2 的周长为16，求|AF2|；‎ ‎(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E 的离心率．‎ ‎2．(2014·海淀模拟)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C：x2＋2y2＝4上两点，点M的坐标为(1,0)．‎ ‎(1)当A，B关于点M(1,0)对称时，求证：x1＝x2＝1；‎ ‎(2)当直线AB经过点(0,3)时，求证：△MAB不可能为等边三角形．‎ ‎3．(2014·济南模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2＋2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过右焦点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，设的取值范围．‎ 4． ‎ (2014·重庆高考)如图，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F‎1F2，＝2，△DF‎1F2的面积为.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程；‎ ‎(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．‎ 答案 ‎1．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.‎ 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得‎4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝‎2a＝8.‎ 故|AF2|＝8－3＝5.‎ ‎(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得，|AF2|＝‎2a－3k，|BF2|＝‎2a－k.‎ 在△ABF2中，由余弦定理可得，‎ ‎|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，‎ 即(4k)2＝(‎2a－3k)2＋(‎2a－k)2－(‎2a－3k)·(‎2a－k)．‎ 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.‎ 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.‎ 因此|BF2|2＝|F‎2A|2＋|AB|2，可得F‎1A⊥F‎2A，‎ 故△AF‎1F2为等腰直角三角形．‎ 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.‎ ‎2．解：(1)因为A，B在椭圆上，‎ 所以x＋2y＝4，①‎ x＋2y＝4.②‎ 因为A，B关于点M(1,0)对称，‎ 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝0，‎ 将x2＝2－x1，y2＝－y1代入②得(2－x1)2＋2y＝4，③‎ 由①和③消去y1解得x1＝1，‎ 所以x1＝x2＝1.‎ ‎(2)当直线AB的斜率不存在时，A(0，)，B(0，－)，可得|AB|＝2，|MA|＝，△MAB不是等边三角形．‎ 当直线AB的斜率存在时，显然斜率不为0.‎ 设直线AB：y＝kx＋3，AB的中点为N(x0，y0)，‎ 联立消去y得(1＋2k2)x2＋12kx＋14＝0，Δ＝144k2－4×14(1＋2k2)＝32k2－56.‎ 由Δ>0，得到k2>，①‎ 又x1＋x2＝，x1·x2＝，‎ 所以x0＝，y0＝kx0＋3＝，‎ 所以N，‎ 假设△MAB为等边三角形，则有MN⊥AB，‎ 又因为M(1,0)，‎ 所以kMN×k＝－1，即×k＝－1，‎ 化简得2k2＋3k＋1＝0，‎ 解得k＝－1或k＝－，‎ 这与①式矛盾，所以假设不成立．‎ 因此对于任意k，不能使得MN⊥AB，故△MAB不可能为等边三角形．‎ ‎3．解：(1)由题意知：＝，且‎2a＋‎2c＝2＋2，‎ 解得a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝1，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意易得直线l的斜率存在，右焦点F2(1,0)，可设直线l的方程为：y＝k(x－1)，‎ 由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，由题意Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝，‎ 由得y1＝λy2，‎ ‎∵ ‎∴ ‎∴λ＋＋2＝，‎ 令u(λ)＝λ＋，λ∈[－2，－1)，u′(λ)＝1－>0，∴u(λ)在[－2，－1)上单调递增，可得－≤λ＋<－2，‎ ‎∴－≤λ＋＋2<0，‎ 故－≤<0，解得k2≥，‎ ‎＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2＝＋＋1＋＝＝－，∵k2≥，‎ ‎∴0<≤，‎ ‎∴≤－<，‎ 即的取值范围是.‎ ‎4.解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.‎ 由＝2得|DF1|＝＝c.‎ 由DF1⊥F‎1F2，得S△DF‎1F2＝|DF1||F‎1F2|＝c2＝，故c＝1.‎ 从而|DF1|＝，由DF1⊥F‎1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F‎1F2|2＝，因此|DF2|＝.‎ 所以‎2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.‎ 因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.‎ 由圆和椭圆的对称性，易知x2＝－x1，y1＝y2.‎ 由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，‎ 再由F1P1⊥F2P2得－(x1＋1)2＋y＝0.‎ 由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0.‎ 解得x1＝－或x1＝0.‎ 当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．‎ 当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.‎ 设C(0，y0)，由CP1⊥F1P1，得·＝－1.而y1＝|x1＋1|＝，故y0＝.‎ 圆C的半径|CP1|＝ ＝.‎ 综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2＋2＝.‎ 第2课时　圆锥曲线中的定点、定值和最值问题 ‎1．(2014·洛阳模拟)已知圆心为F1的圆的方程为(x＋2)2＋y2＝32，F2(2,0)，C是圆F1上的动点，F‎2C的垂直平分线交F‎1C于M.‎ ‎(1)求动点M的轨迹方程；‎ ‎(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交M的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1, k2，证明：k1＋k2为定值．‎ ‎2．(2014·贵阳模拟)已知椭圆C1：＋y2＝1(a>1)的长轴、短轴、焦距分别为A‎1A2、B1B2、F‎1F2，且|F‎1F2|2是|A‎1A2|2与|B1B2|2的等差中项．‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)若曲线C2的方程为(x－t)2＋y2＝(t2＋t)20b>0) 的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．‎ ‎①设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；‎ ‎②求△OMN面积的最大值．‎ 答案 ‎1．解：(1)由线段的垂直平分线的性质得|MF2|＝|MC|.‎ 又|F‎1C|＝4，∴|MF1|＋|MC|＝4，∴|MF2|＋|MF1|＝4>4.‎ ‎∴M点的轨迹是以F1，F2为焦点，以4为长轴长的椭圆．‎ 由c＝2，a＝2，得b＝2.‎ 故动点M的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，‎ 由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)×＝4.‎ 当直线l的斜率不存在时，得A，B，得k1＋k2＝4.‎ 综上，恒有k1＋k2＝4.‎ ‎2．解：(1)由题意得|B1B2|＝2b＝2，|A‎1A2|＝‎2a，|F‎1F2|＝‎2c，a2－b2＝c2，又2×(‎2c)2＝(‎2a)2＋22，解得a2＝3，c2＝2，故椭圆C1的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)可取椭圆的左顶点坐标为A1(－，0)，设直线l的方程为y＝k(x＋)．‎ 由直线l与曲线C2相切得＝(t＋)t，整理得＝t.‎ 又因为00，且y1＋y2＝‎4m，y1y2＝－4n.‎ 因为AP⊥AQ，所以＝0，‎ 即(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2)＝0，‎ 又x1＝，x2＝，‎ 代入整理得(y1－2)(y2－2)[(y1＋2)(y2＋2)＋16]＝0，‎ 解得(y1－2)(y2－2)＝0或(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，‎ 即y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0或y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，‎ 将y1＋y2＝‎4m，y1y2＝－4n代入整理得n＝－‎2m＋1或n＝‎2m＋5，因为Δ>0恒成立，所以n＝‎2m＋5.‎ 于是直线PQ的方程为x－5＝m(y＋2)，故直线PQ过定点T(5，－2)．‎ ‎(2)假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ.‎ 设直线PQ的方程为x＝ky＋b，显然k≠0，‎ 因为直线过定点T(5，－2)，所以5＝k×(－2)＋b，即b＝2k＋5，所以直线PQ的方程为x＝ky＋2k＋5.‎ 设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，联立方程消去x整理，得y2－4ky－8k－20＝0，‎ 则y3＋y4＝4k，y3y4＝－8k－20.‎ 因为PQ的中点坐标为，即，，‎ 且＝＝2k2＋2k＋5，‎ 所以PQ的中点坐标为(2k2＋2k＋5,2k)．‎ 由已知，得＝－k，即k3＋k2＋3k－1＝0.‎ 设g(k)＝k3＋k2＋3k－1，则g′(k)＝3k2＋2k＋3>0，‎ 所以g(k)在R上是增函数．‎ 又g(0)＝－1<0，g(1)＝4>0，‎ 所以g(k)在(0,1)内有一个零点，‎ 即函数g(k)在R上有且只有一个零点，‎ 所以方程k3＋k2＋3k－1＝0在R上有唯一实根，‎ 于是满足条件的等腰三角形有且只有一个．‎ ‎4．解：(1)由题意知＝，可得a2＝4b2.‎ 椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.‎ 将y＝x代入可得x＝±，‎ 因此×＝，可得a＝2.‎ 因此b＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)①设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，‎ 因为直线AB的斜率kAB＝，‎ 又AB⊥AD，所以直线AD的斜率k＝－.‎ 设直线AD的方程为y＝kx＋m，‎ 由题意知k≠0，m≠0.‎ 由可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋‎4m2‎－4＝0.‎ 所以x1＋x2＝－，‎ 因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋‎2m＝.‎ 由题意知x1≠－x2，‎ 所以k1＝＝－＝.‎ 所以直线BD的方程为y＋y1＝(x＋x1)．‎ 令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1,0)．‎ 可得k2＝－.‎ 所以k1＝－k2，即λ＝－.‎ 因此存在常数λ＝－使得结论成立．‎ ‎②直线BD的方程y＋y1＝(x＋x1)，‎ 令x＝0，得y＝－y1，即N.‎ 由①知M(3x1,0)，‎ 可得△OMN的面积S＝×3|x1|×|y1|＝‎ |x1||y1|.‎ 因为|x1||y1|≤＋y＝1，当且仅当＝|y1|＝时等号成立，此时S取得最大值，‎ 所以△OMN面积的最大值为.‎