高中数学讲义微专题30 y=Asin（wx+t）的解析式的求解

高中数学讲义微专题30 y=Asin（wx+t）的解析式的求解

- 1 - 微专题 30 函数 解析式的求解 在有关三角函数的解答题中，凡涉及到 的性质时，往往表达式不 直 接 给 出 ， 而 是 需 要 利 用 已 知 条 件 化 简 或 求 得 得 到 ， 本 讲 主 要 介 绍 求 解 解析式的一些技巧和方法 一、基础知识： （一）表达式的化简： 1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础） （1）降幂公式： （2） （3）两角和差的正余弦公式 （4）合角公式： ，其中 （这是本讲的主角， 也是化简的终结技） 2、关于合角公式： 的说明书： （1）使用范围：三个特点：① 同角（均为 ），②齐一次，③正余全 （2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为 的形式了，通过以下三步： ①一提：提取系数： ，表达式变为： ② 二找：由 ，故可看作同一个角的正余弦（称 为辅助 角），如 ，可得：  siny A x      sinf x A x   , ,A    siny A x   2 21 cos2 1 cos2cos ,sin2 2      2sin cos sin2    sin sin cos sin cos         sin sin cos sin cos         cos cos cos sin sin         cos cos cos sin sin         2 2sin cos sina b a b       tan b a   2 2sin cos sina b a b           sinf x A x   2 2a b 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cosa ba b a b a b a b            2 2 2 2 2 2 1a b a b a b              2 2 2 2 cos ,sina b a b a b       2 2sin cos cos sin sin cosa b a b         - 2 - ③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角： （3）举例说明： ① ② ③ （4）注意事项： ① 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余 弦公式，所以构造的正余弦要同角 ② 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的 角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子： ，可视为 ，那么此时表达式就变为： ，使用两角差的余弦公式： 所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式。找角灵活，也要搭配好对应的三角函数公式。 当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但 与 本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~） ③ 通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现 括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的 来代替，再在旁边标注 的一个三角函数值。 3、表达式的化简攻略： 可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来 进行操作，所以说几条适用性广的建议： （1）观察式子：主要看三点 ① 系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的 统一（有句老话：切割化弦） ② 确定研究对象：是以 作为角来变换，还是以 的表达式（例如 ）看做一个角来进行变 换。 ③ 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次）， 若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要 使用合角公式，其结果成为 的形式。例如：  2 2sin cos sina b a b       sin 3cosy x x  1 32 sin cos2 2y x x      1 3cos , sin 2 cos sin sin cos2 3 2 3 3 3y x x           2sin 3y x      1 32 sin cos2 2y x x      1 3sin , cos2 6 2 6    2 sin sin cos cos6 6y x x      2cos 6y x      2cos 6y x      2sin 3y x        x x 2x    sinf x A x   - 3 - 齐二次式： ，齐一次式： （ 2 ） 向 “ 同 角 齐 次 正 余 全 ” 靠 拢 ， 能 拆 就 拆 ， 能 降 幂 就 降 幂 ： 常 用 到 前 面 的 公 式 ， （还有句老话：平方降幂） 例如： ，确定研究对象了： ，也齐一次，但就是角不一样（一个是 ，一个是 ）那么该拆则拆，将 打开 于是就可合角了 （二）求解 的值以确定解析式 1、 的作用 （1） 称为振幅，与 一个周期中所达到的波峰波谷有关 （2） ：称为频率，与 的周期 相关，即 （3） ：称为初相，一定程度上影响 的对称轴，零点 2、 的常规求法： （1） ： ① 对于 可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到 ② 对于 可通过一个周期中最大，最小值进行求解： （2） ：由 可得：只要确定了 的周期，即可立刻求出 ，而 的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解 ① 如果 相邻的两条对称轴为 ，则 ② 如果 相邻的两个对称中心为 ，则 ③ 如果 相邻的对称轴与对称中心分别为 ，则 注：在 中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。 （3） ：在图像或条件中不易直接看出 的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要 2sin 2cos sin 2y x x x   sin cos 6y x x       2 21 cos2 1 cos2cos ,sin2 2      2sin cos sin2   sin cos 6y x x       x x 6x  cos 6x     3 1 1 3sin cos sin sin cos2 2 2 2y x x x x x      , ,A   , ,A   :A  siny A x     siny A x   T 2 T     siny A x   , ,A   A  siny A x    siny A x b    max min 2 y yA   2 T    siny A x    T  siny A x    ,x a x b a b    2T b a   siny A x       ,0 , ,0a b a b  2T b a   siny A x    , ,0x a b 4T b a   siny A x     - 4 - 注意题目中对 的限制范围 3、确定解析式要注意的几个问题： （1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于 与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定 的值，再根据对称轴对称中心 的距离确定 ，进而求出 ，最后再通过代入一个特殊点，并根据 的范围确定 。 （2）求 时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的 值唯一，不会 出现多解的情况。如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。 二、典型例题： 例 1：化简： 解：原式 例 2：化简： 解： 例 3： 解：方法一：拆开化简 方法二：将 视为一个整体，则  ,A  A T        22sin cos 4 2f x x x       2 2 22sin cos sin2 2 2x x x       2 22 sin cos 2 sin 2x x x    2 1 cos22 2sin22 2 2 xx    2 2sin2 cos2 sin 22 2 4x x x          22cos 2 3sin cos 1f x x x x     cos2 12 3sin2 12 xf x x    cos2 3sin2 2sin 2 6x x x          sin 2 cos 26 3f x x x                3 1 1 3sin2 cos2 cos2 sin2 3sin2 cos2 2sin 22 2 2 2 6f x x x x x x x x            2 6x  2 23 6 2x x        sin 2 cos 2 sin 2 cos 26 3 6 6 2f x x x x x                                  - 5 - 例 4：如图，函数 的图像经过点 ， 且该函数的最大值为 ，最小值为 ，则该函数的解析 式为（ ） A. B. C. D. 思路：由题目所给最值可得 ，图中所给两个零点的距 离刚好是函数一个周期的长度。所以 ，此时解析式为 ，优先代入最值点，尽管其横坐标未在图上标明，但可知最大值点横坐标 与 的 距 离 为 ， 所 以 代 入 可 得 ： ，由 可解得： ，所以解 析式为 答案：A 小炼有话说： （1）本题在求 时，最值点的横坐标未知。但为了避免结果的取舍，依然优先选择最值点， 那么在 的图像中可根据零点的位置结合图象和周期确定最值点的横坐标。 只要最值点可求，就用最值点求得 （2）为什么不能用其它点？不妨以此题为例，代入零 点 求 解 再 进 行 对 比 。 代 入 可 得 ： sin 2 sin 2 2sin 26 6 6x x x                         sin 0,0 2y A x A        7,0 , ,06 6            2 2 32sin 2 4 xy      2sin 2 4 xy      32sin 2 6y x      2sin 2 6 xy      2A  7 4 2 3 6 6 3 2T T              32sin 2y x      6x   6 4 6 T    ,26       32sin 2 22 6 4 2 k k Z               0 2   4   32sin 2 4y x        siny A x    ,06     - 6 - ，从而 在 中 的 值 有 两 个 ： ，那么到底哪个是符合图像的呢？不妨再代入最值点验证，会发现 时， ，与图像不符，所以舍去。为什么代入最值点就算出一个解，而代入其它点会出两 个解呢？从表达式上看源自正弦值与角的特点。一个周期里当正弦值取到 时，对应的角 只有一个，而正弦值取到 时，会出现一个正弦值对应两个角的情况。所以自然就会出 现多解问题。那么 时对应的图像是什么样的呢？如右图所示：可发现其周期与零点和 已知图像完全一致，只是在最值点处刚好关于 轴对称。如果是曲线上的其它点也是会出现两 个图像，而其中只有一个是正确的。当然有些题目对 的取值范围刻画更加严格，那么代入 非最值点也可得到唯一解。 （3）本题除了可用纯代数方法计算 ，还可以利用图像变换得到 的取值，由前面计算出 ， 可 得 函 数 图 象 从 进 行 了 横 纵 坐 标 的 放 缩 ， 此 时 解 析 式 为 ，这个函数图象的特点是过原点。而与已知图像比较，可得已知图像相当于 图像向左平移了 个单位。所以 。利用 图像变换求解析式关键要分析出所求图像与 的联系（即如何平移得到）。 例 5：如图所示为函数 的部分图像，其中 两点 之间的距离为 ，那么 _________ 思路：如图可得 ，从而计算出 ，所以 ，进而 而 ， 所 以 ， 此 时 ， 而 ， 解 得 ，所以 答案：  32sin 02 6 4 k k Z                  0,2  5,4 4     5 4   6 | 2 x y    1, 1  1,1 5 4   x    32, 2A   siny x 32sin 2y x 32sin 2y x 6  3 32sin 2sin2 6 2 4y x x                 siny A x    sin 0,0 2f x A x            ,A B 5  1f   4AC  3BC  2 6T BC  3   2yA  2A    2sin 3f x x       0 2sin 1f   1sin 2 6      1 2sin 13 6f            1 1f    - 7 - 例 6 ： 已 知 函 数 ， 其 导 函 数 的部分图像如图所示，则函数 的解析式是（ ） A. B. C. D. 思路： ，可先从周期入手确定 的值， ， 所 以 ， 再 由 最 值 可 得 ： ， 代 入 即 可 解 出 ： ， 所 以 ， 即 。从而 的解析式为 答案：B 例 7：已知函数 的图像如图所示， ，则 （ ） A. B. C. D. 思路一：可以考虑确定 的解析式进而求出 ， 如图可计算出 ，所以 ， 取零点的中点可得对称轴 而 ， 从 而 ， 解 出 一 个 值 。 所 以 ， 且 ， 所 以     sin 0, 0,0f x A x A           'f x  f x   12sin 2 4f x x        14sin 2 4f x x        2sin 4f x x        1 34sin 2 4f x x         ' cosf x A x     32 42 2T             1 2  2 4A A    ,22      ' 12cos 2 cos 12 2 2 4f                                24 k k Z    4    f x   14sin 2 4f x x         cosf x A x   2 2 3f        0f  2 3 1 2 2 3 1 2  f x  0f 11 7 22 12 12 3T         3  7 11 312 12 2 4x      3 3cos 34 4f A A               9 24 k   4      cos 3 4f x A x      2 2cos 3 22 2 4 3 3f A A                  - 8 - ，进而 思路二：同思路一先解出 ，则 ，从图中可得 与 关于 中心对称，从而 答案：C 小炼有话说：（1）本题中尽管没有给出最值，但是并不妨碍 的求解。从计算过程中也可以 看出 ， 是可以消掉的。所以求 关键在于找到最值点的横坐标 （2）思路二跳过了求解析式，而是利用周期性与对称性直接得到 的值。对于函数 中，处处暗藏着对称与周期的关系，巧妙运用这些关系可以在求函数 值时事半功倍。 例 8：已知函数 的图像与 轴的交点 中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图像上一个最低点为 ，则 的解析 式为____________ 思路：可从文字叙述中得到图像的特点，从而求出参数的值：相邻交点距离 可得 ，从而 ，由最小值点 可得到两个信息：一个是 ，另 一个是 点即为求 所要代入的特殊点。此时 ，则 ，即 ，解得： ，所以 答案： 例 9：已知函数 的最大值为 4，最小值为 0，两条   2 2 cos 33 4f x x        20 3f  2 3T    20 3f f      2 3x  2x  7 12x    2 20 3 2 3f f f               3cos 3 4A A       A   0f    cosf x A x      sin , ( 0, 0,0 )2f x A x x R A           x 2  2 , 23M      f x 2  2 2T     2  2 , 23M     2A  M     2sin 2f x x   2 23f       2 4 32sin 2 2 23 3 2 k               6     2sin 2 6f x x        2sin 2 6f x x       sin 0,0 2y A x m A            - 9 - 对称轴之间最短距离为 ，直线 是其图像的一条对称轴，则函数解析式为________ 思路：先求出 的值，由题目所给最值可得： ，再由对称轴距离为 可求得 ，从而 。此时函数解析式为 ，因为一条对 称轴为 ，所以 ，由 得： ， 当 取 到 最 大 值 时 ， 即 ， 所 以 ，进而 ，解析式为 答案： 例 10：已知 是函数 一个周期内图像上的五 个点，如图所示， ， 为 轴上的点， 为图像上的最低点， 为该函数图象的 一个对称中心， 关于点 中心对称， 在 轴上的 投影为 ，则函数的解析式为____________ 思路：设图像的最高点为 ，可知 关于 中心对称， 关于点 中心对称，所以 与 关于 中心对 称，所以 在 轴上的投影也为 ，而 ，所 以 可 得 在 轴 上 的 投 影 为 ， 从 而 ， 此 时 ， 将 代 入 可 得 ： ， 所 以 ，即 ，从而 答案： 2  6x  A 4 0 22A   2  2 2T     2 2T     2sin 2y x m   6x   2 6 2 6k k Z k             0 2   6   2sin 2 6y x m       y sin 2 16x      max 2 4y m   2m  2sin 2 26y x       2sin 2 26y x       , , , ,A B C D E  sin 0,0 2y x            ,06A     B y C E ,B D E CD x 12  M ,M C E ,B D E BM CD E BM x 12  ,06A     AM x 12 6 4         4 24T           sin 2f x x   ,112M       f x sin 2 112         26 2 k k Z      3     sin 2 3f x x        sin 2 3f x x      - 4 -