专题59 二项式定理-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题59 二项式定理-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题59二项式定理 最新考纲 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．二项式定理 二项式定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)‎ 二项展开式 的通项公式 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})‎ ‎2.二项式系数的性质 ‎(1)C＝1，C＝1.‎ C＝C＋C.‎ ‎(2)C＝C.‎ ‎(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与＋1项的二项式系数相等且最大．‎ ‎(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎【知识拓展】‎ 二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为n＋1.‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.‎ ‎(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.‎ ‎(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.‎ 重点难点突破 ‎【题型一】二项展开式 命题点1　求二项展开式中的特定项或指定项的系数 ‎【典型例题】‎ 的展开式中，含x3项的系数为（　　）‎ A．﹣60 B．﹣12 C．12 D．60‎ ‎【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1•（﹣2）r•x6﹣3r，令6﹣3r＝3，求得r＝1，‎ 可得含x3项的系数为﹣12，‎ 故选：B． 【再练一题】‎ ‎（x﹣1）（3x2+1）3的展开式中x4的系数是（　　）‎ A．27 B．﹣27 C．26 D．﹣26‎ ‎【解答】解：∵（x﹣1）（3x2+1）3＝（x﹣1）（27x6+27x4+9x2+1），故展开式中x4的系数是为1×（﹣27）＝﹣27，‎ 故选：B． 命题点2　已知二项展开式某项的系数求参数 ‎【典型例题】‎ 若（）n的展开式中存在常数项，则n的值可以是（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．12‎ ‎【解答】解：（）n的展开式的通向公式为 Tr+1•，令0，求得2n＝5r，‎ 故n为5的偶数倍，‎ 故选：C． 【再练一题】‎ 若x（x）5的展开式中常数项为270，则实数a＝（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：由（x）5的展开式的通项得：Tr+1（）5﹣rxr＝a5﹣rx2r﹣5，‎ 令2r﹣5＝﹣1，得r＝2，‎ 即x（x）5的展开式中常数项为a3，‎ 又x（x）5的展开式中常数项为270，‎ 则a3270，‎ 解得a＝3，‎ 故选：C． 思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．‎ ‎【题型二】二项式系数的和与各项的系数和问题 ‎【典型例题】‎ ‎（x）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（　　）‎ A．1 B．20 C．21 D．31‎ ‎【解答】解：由二项式展开式通项得：‎ Tr+12xr，‎ 又0≤r≤5，r∈N，‎ 由∈Z，‎ 得r＝2或r＝5，‎ 即（x）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为221，‎ 故选：C． 【再练一题】‎ ‎（2x﹣3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则（3x﹣2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于（　　）‎ A．16 B．32 C．64 D．128‎ ‎【解答】解：∵（2x﹣3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，‎ ‎∴•2n﹣1•（﹣3）•22•（﹣3）n﹣2，检验可得，n＝4，‎ 则（3x﹣2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于2n＝16，‎ 故选：A． 思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．‎ ‎(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0‎ ‎＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ ‎【题型三】二项式定理的应用 ‎【典型例题】‎ 若（x﹣2）5﹣3x4＝a0+a1（x﹣3）+a2（x﹣3）2+a3（x﹣3）3+a4（x﹣3）4+a5（x﹣3）5，则a3＝（　　）‎ A．﹣70 B．28 C．﹣26 D．40‎ ‎【解答】解：令t＝x﹣3，则（x﹣2）5﹣3x4＝a0+a1（x﹣3）+a2（x﹣3）2+a3（x﹣3）3+a4（x﹣3）4+a5（x﹣3）5，‎ 可化为（t+1）5﹣3（t+3）4＝a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5，‎ 则a33••3＝10﹣36＝﹣26．‎ 故选：C． 【再练一题】‎ ‎502019+1被7除后的余数为　 　．‎ ‎【解答】解：502019+1＝（1+72）2019+1＝1•（72）2（72）2019+1＝72（•72•（72）2018）+2．‎ ‎∴502019+1被7除后的余数为2，‎ 故答案为：2． 思维升华 (1)逆用二项式定理的关键 根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．‎ ‎(2)利用二项式定理解决整除问题的思路 ‎①观察除式与被除式间的关系；‎ ‎②将被除式拆成二项式；‎ ‎③结合二项式定理得出结论．‎ 基础知识训练 ‎1．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知 的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为（ ）‎ A．20 B．15 C．10 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意知的展开式的各项系数和为32，即，解得，‎ 则二项式的展开式中的项为，所以的系数为5，故选D。‎ ‎2．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】的展开式中的系数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 二项式的展开式的通项公式为 Tr+1•（﹣2）r•，‎ 令3，求得r＝1，可得展开式中的系数为﹣12，‎ 故选：A．‎ ‎3．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】已知的展开式中的系数为，则（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据题意知，的展开式的通项公式为，‎ ‎∴展开式中含x2项的系数为 a＝，‎ 即10﹣5a＝，解得a＝．‎ 故选：D．‎ ‎4．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知 的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含项的系数是（ ）‎ A．-40 B．-20 C．20 D．40‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2•（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．‎ 二项式（x+1）（2x+a）5 ＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），‎ 故展开式中含x3项的系数是﹣40+80＝40‎ 故选：D．‎ ‎5．【江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试】已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且,若,则展开式中常数项( )‎ A．32 B．24 C．4 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，‎ 所以，因此，‎ 又，所以，‎ 令，则，‎ 又，所以，因此，‎ 所以展开式的通项公式为，‎ 由得，‎ 因此展开式中常数项为.‎ 故选B ‎6．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为 ‎，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（ ）‎ A．110 B．114 C．124 D．125‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，次二项式系数对应的杨辉三角形的第行，‎ 令，可得二项展开式的二项式系数的和，‎ 其中第1行为，第2行为，第3行为， 以此类推，‎ 即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，‎ 则杨辉三角形中前行的数字之和为，‎ 若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为 ‎ 可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则，‎ 令，解得，‎ 所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即，‎ 即前15项的数字之和为114，故选B.‎ ‎7．【江西省新八校2019届高三第二次联考】若二项式的展开式中第项为常数项，则，应满足（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 展开式的通项公式为：‎ 第项为：‎ 由得：‎ 本题正确选项：‎ ‎8．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】已知，则( )‎ A．24 B．48 C．72 D．96‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 令，则 令，则 两式作和得： ‎ 本题正确选项：‎ ‎9．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试】若展开式的常数项等于-80，则（ ）‎ A．-2 B．2 C．-4 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，解得．故选A．‎ ‎10．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】的展开式中的系数为（ ）‎ A．400 B．120 C．80 D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵，二项展开式的通项为，二项展开式的通项式为的通项为，所以，所以展开式中的系数为.‎ ‎11．【河北省石家庄市第二中学2019届高三第一学期期末】在的展开式中，项的系数为_______（结果用数值表示）.‎ ‎【答案】19‎ ‎【解析】‎ 由于：，，，‎ 据此结合排列组合的性质可得项的系数为：‎ ‎.‎ 故答案为：19．‎ ‎12．【安徽省泗县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考】若展开式中含项的系数与含项的系数之比为-4，则_____．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 二项式的展开式的通项为，‎ 令，得，所以含项的系数为；‎ 令，得，所以含项的系数为．‎ 由题意得，‎ 整理得，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎13．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】展开式中的的系数为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 利用组合知识，含的项可以分3种情况取得，第一种取3个，剩余两个取1，即 .第二种选2个括号提供，剩余的3个括号中选2个取，剩余1个取1，即，第三种5个括号选一个取，剩余4个取，即，合并同类项，系数为，故填30.‎ ‎14．【江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018-2019学年高二下学期期末考试】组合恒等式，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求和的展开式中的系数．前者的展开式中的系数为；后者的展开式中的系数为.因为，则两个展开式中的系数也相等，即．请用“算两次”的方法化简下列式子：______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为，则两个展开式中的系数也相等，在中的系数为，而在 中的系数为，‎ 所以可得.‎ ‎15．【安徽省泗县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考】若.‎ 求：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎【答案】（1）27；（2）14；（3）27.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）令，可得，‎ ‎∴．①‎ ‎（2）令可得，‎ ‎∴．②‎ 由①②得，‎ ‎∴．‎ ‎（3）由题意得二项式展开式的通项为，‎ ‎∴每项的系数，‎ ‎∴．‎ ‎16．【江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018-2019学年高二下学期期末考试】已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．‎ ‎（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和； ‎ ‎（Ⅱ）求展开式中中间项．‎ ‎【答案】（Ⅰ）64；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 解：由题意知，展开式的通项为：‎ ‎，且，‎ 则第五项的系数为，第三项的系数为，‎ 则有，‎ 化简，得，解得，‎ 展开式中各项二项式系数的和；‎ 由（1）知，展开式共有7项，中间项为第4项，令，得．‎ ‎17．【青海省海东市第二中学2018-2019学年高二下学期7月月考】已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求展开式中有理项．‎ ‎【答案】（1）10；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意知，，‎ 化简，得．解得（舍），或．‎ ‎（2）设该展开式中第项中不含，则，‎ 依题意，有，或0．所以，展开式中第一项和第三项为有理项，且 ，．‎ ‎18．【江苏省泰州市田家炳中学2017-2018学年度第二学期高二第二次学情调研】已知展开式前三项的二项式系数和为22．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求展开式中的常数项；‎ ‎（3）求展开式中二项式系数最大的项．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 解：由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．‎ ‎1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，‎ 解得：或舍去．‎ 即n的值为6．‎ ‎2由通项公式，‎ 令，‎ 可得：．‎ 展开式中的常数项为；‎ 是偶数，展开式共有7项则第四项最大 展开式中二项式系数最大的项为．‎ ‎19．【陕西省西安市蓝田县2018-2019学年高二下学期期末考试】已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的展开式中的常数项.‎ ‎【答案】（I）12；（II）672.‎ ‎【解析】‎ ‎（I）所有不同的排法种数.‎ ‎（II）由（I）知，，‎ 的展开式的通项公式为，‎ 令，解得，‎ 展开式中的常数项为.‎ ‎20．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)】（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简．‎ ‎ 案例：考察恒等式左右两边的系数．‎ 因为右边，‎ 所以，右边的系数为，‎ 而左边的系数为，‎ 所以＝．‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【答案】(1)；(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）考查恒等式（1+x）7＝（1+x）3（x+1）4左右两边x3的系数，‎ 因为右边（1+x）3（x+1）4＝（+x+x2+x3）（x4+x3+x2+x+），‎ 所以，右边x3的系数为＝‎ 而左边x3的系数为：，所以．‎ ‎（2）∵，‎ ‎．‎ 考查恒等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n左右两边xn的系数．‎ 因为右边xn的系数为＝，而左边的xn的系数为．‎ 所以，同理可求得 考查恒等式（1+x）2n﹣1＝（1+x）n﹣1（x+1）n左右两边xn﹣1的系数，‎ 因为右边（1+x）n﹣1（x+1）n＝（+x+…+xn﹣1）（xn+xn﹣1+…+），‎ 所以，右边的xn﹣1的系数为＝，‎ 而左边的xn﹣1的系数为，所以＝，‎ ‎﹣＝+2n+﹣‎ ‎＝2n+＝n（+）+＝n（+）+‎ ‎＝n+＝（n+1）．‎ 能力提升训练 ‎1．【贵州省部分重点中学2019届高三12月联考】的展开式的常数项为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：由于展开式的通项公式为，‎ 令，解得，故展开式的常数项是，‎ 故答案为：．‎ ‎2．【陕西省彬州市2018-2019学年上学期高2019届高三年级第一次教学质量监测】如果的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是__________．‎ ‎【答案】252‎ ‎【解析】‎ 的展开式中，令x＝1可得各项系数之和为（3﹣1）n＝256，求得n＝8，‎ 则的通项是 ，‎ ‎，令，解得 故展开式中的系数是 故答案为：252．‎ ‎3．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】二项式的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所有项的系数和”为B，“常数项”值为C，若，则含的项为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依题得，所以n=8，在的展开式中令x=1，则有，所以a+b=2，又因为展开式的通项公式为，令.所以得到（舍），当时，由得.所以令，所以，故填.‎ ‎4．【浙江省杭州高级中学2019届高三上学期期中考试】如果的展开式中各项系数之和为128，则的值为___,展开式中的系数为____.‎ ‎【答案】7 21 ‎ ‎【解析】‎ 令x＝1得展开式的各项系数之和2n，‎ ‎∴2n＝128，‎ 解得n＝7．‎ ‎∴展开式的通项为，‎ 令7r＝﹣3，‎ 解得r＝6．‎ 所以展开式中的系数是3C76＝21．‎ 故答案为：7,21‎ ‎5．【上海市嘉定（长宁)区2019届高三第二次质量调研（二模)】在的二项展开式中，常数项的值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：在的二项展开式中，通项公式为：Tr+1x4﹣rx4﹣2r，‎ 令4﹣2r＝0，解得r＝2．‎ ‎∴常数项6．‎ 故答案为：6．‎ ‎6．【浙江省衢州市五校联盟2019届高三年级上学期联考】若，则__________，______．‎ ‎【答案】15 32 ‎ ‎【解析】‎ 的展开式的通项公式为，‎ 令可得，‎ 所以；‎ 在中，‎ 令，可得，‎ 故答案为.‎ ‎7．【四川省内江市2019届高三第一次模拟考试】的展开式中的系数为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因此展开式中的系数为 ‎8．【上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试】在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 由题得，所以n=4, 二项展开式的通项为，‎ 令.‎ 所以常数项为.‎ 故答案为：8‎ ‎9．【江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中考试】已知．‎ ‎（1）若，求中含x2项的系数；‎ ‎（2）若展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：．‎ ‎【答案】（1）56；（2）证明见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎（1），‎ ‎∴中含项的系数为. ‎ ‎（2）证明：由题意，. ‎ ‎①当时，，成立；‎ ‎②假设当时，成立，‎ 当时，‎ ‎,‎ ‎∵，即，‎ 代入（*）式得成立.‎ 综合①②可知，对任意成立.‎ ‎10．【江苏省扬州中学2019届高三上学期12月月考】设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n∈N*，n≥2．‎ ‎（1）设n＝11，求|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|的值；‎ ‎（2）设，Sm＝b0＋b1＋b2＋…＋bm(m∈N，m≤n－1)，求|的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由二项式定理可得ak＝（﹣1）k•，‎ 当n＝11时，|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|‎ ‎）＝210＝1024；‎ ‎（2）bkak+1＝（﹣1）k+1•（﹣1）k+1•，‎ 当1≤k≤n﹣1时，bk＝（﹣1）k+1•（﹣1）k+1•（）‎ ‎＝（﹣1）k+1•（﹣1）k+1•（﹣1）k﹣1•（﹣1）k•，‎ 当m＝0时，||＝||＝1；‎ 当1≤m≤n﹣1时，Sm＝b0+b1+b2+…+bm＝﹣1[（﹣1）k﹣1•（﹣1）k•]‎ ‎＝﹣1+1﹣（﹣1）m（﹣1）m，‎ 即有||＝1．‎ 综上可得，||＝1． ‎