2019届高考数学（理）二轮复习专题透析课件和讲义专题7 选考模块
专题7 选考模块
一、极坐标系
1.直角坐标与极坐标的互化公式是什么?
把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)、(ρ,θ),则(ρ>0,θ∈[0,2π)).
2.常见的极坐标方程有哪些?
(1)直线的极坐标方程:若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程:
①直线过极点:θ=α;
②直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;
③直线过点M(b>0)且平行于极轴:ρsin θ=b.
(3)圆的极坐标方程:
①圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
②圆心位于点M(r,0),半径为r:ρ=2rcos θ;
③圆心位于点M,半径为r:ρ=2rsin θ.
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二、参数方程
1.圆、椭圆的参数方程是什么?
(1)圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(α为参数,0≤α≤2π).
(2)椭圆+=1的参数方程为(α为参数,0≤α≤2π).
2.将参数方程化为普通方程有哪些方法?要注意什么?
将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等,一般需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.
3.直线的参数方程是什么?你能说出参数t的几何意义吗?
经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).设P是直线上的任意一点,则t表示有向线段的数量.
三、绝对值不等式
1.解含有绝对值的不等式有哪些方法?
含有绝对值的不等式的解法:
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<-a;
(2)|f(x)|
0)⇔-ab⇔a-b>0;a0,即ρ2=+,
所以=ρ2-ρ1=+-1.
(二)参数方程主要考查参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用,特别是直线参数方程中参数的几何意义的应用.
3.(2018·全国Ⅲ卷·T22改编)已知曲线C的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C经过伸缩变换后得到曲线C',过点(0,1)且倾斜角为α的直线l与C'交于A,B两点.
(1)若α=,求弦长|AB|;
(2)求线段的AB的中点P的轨迹的参数方程.
解析▶ (1)将代入得C'的参数方程为(θ为参数).
所以曲线C'的普通方程为x2+y2=4.
由已知得直线l的方程为y=-x+1,圆心(0,0)到直线l的距离d=,
所以弦长|AB|=2=.
(2)因为点(0,1)在圆内,所以l与圆恒相交,α∈[0,π).
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直线l的参数方程为(t为参数).
把l的参数方程代入x2+y2=4得t2+2tsin α-3=0.
设点A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,于是tA+tB=-2sin α,tP=-sin α.
又点P的坐标(x,y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是(α为参数,α∈[0,π)).
4.(2017·全国Ⅰ卷·T22改编)在平面直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l:(t为参数)与曲线C:(θ为参数)相交于不同的两点A,B.
(1)若α=,求线段AB的中点M的坐标;
(2)若|PA|·|PB|=|OP|2,其中P(2,),求直线l的斜率.
解析▶ (1)将曲线C的参数方程化为普通方程是+y2=1.
当α=时,设点M对应的参数为t0,
则直线l的方程为(t为参数),代入曲线C的普通方程
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+y2=1,得13t2+56t+48=0.
设直线l上的点A,B对应参数分别为t1,t2,
则t0==-,代入直线l的参数方程得点M的坐标为.
(2)将代入曲线C的普通方程+y2=1,
得(cos2α+4sin2α)t2+(8sin α+4cos α)t+12=0.
因为|PA|·|PB|=|t1t2|=,又|OP|2=7,所以=7,
化简得sin2α=,所以tan2α=,解得tan α=或tan α=-.
由于Δ=(8sin α+4cos α)2-48(cos2α+4sin2α)>0,即cos α(2sin α-cos α)>0,则tan α>.
综上,tan α=,所以直线l的斜率为.
(三)极坐标与参数方程的综合也是高考命题的重点之一,以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.
5.(2017·全国Ⅰ卷·T11改编)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C2的参数方程为(β为参数).
(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程.
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(2)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l1:θ=α,将射线l1按顺时针方向旋转得到射线l2:θ=α-,且射线l1与曲线C1交于O,P两点,射线l2与曲线C2交于O,Q两点,求|OP|·|OQ|的最大值.
解析▶ (1)将曲线C1的参数方程化为普通方程为(x-1)2+y2=1,所以C1的极坐标方程为ρ=2cos θ.
将曲线C2的参数方程化为普通方程为x2+(y-1)2=1,所以C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(2)设点P的极坐标为(ρ1,α),即ρ1=2cos α,设点Q的极坐标为,即ρ2=2sin,
则|OP|·|OQ|=|ρ1ρ2|=2cos α·2sin
=4cos α
=2sin αcos α-2cos2α
=sin 2α-cos 2α-1
=2sin-1.
因为<α<,所以<2α-<,
当2α-=,即α=时,|OP|·|OQ|取最大值,最大值为1.
6.(2016·全国Ⅱ卷·T23改编)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρsin θ=2,M
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为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足·=4.
(1)求点P的轨迹C2的直角坐标方程.
(2)直线l的参数方程是(t为参数),其中0≤α<π,l与C2交于点A,=,求直线l的斜率.
解析▶ (1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),
由题意可知=ρ,=ρ1=.
由·=4得曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ,
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1(y≠0).
(2)(法一)由直线的参数方程可知,直线l过原点且倾斜角为α,则直线l的极坐标方程为θ=α,
联立
∴点A的极坐标为(2sin α,α).
∴=2sin α=,得sin α=,
解得α=或α=,∴tan α=或tan α=-,
∴直线l的斜率为或-.
(法二)由题意=≠2分析可知直线l的斜率一定存在,且由直线l的参数方程可得,直线l过原点.设直线l的普通方程为y=kx,
∴点(0,1)到l的距离d==,可得k=±,
∴直线l的斜率为或-.
二、不等式选讲
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(一)不等式选讲主要有考查解绝对值不等式,求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围,难度不大,主要考查基本运算能力、推理论证能力以及数形结合思想、分类讨论思想.
1.(2018·全国Ⅱ卷·T23改编)设函数f(x)=|x+1|+|x-a|.
(1)当a=2时,求不等式f(x)>5的解集;
(2)对任意实数x,都有f(x)≥3成立,求实数a的取值范围.
解析▶ (1)∵f(x)=|x+1|+|x-a|,
∴当a=2时,f(x)=|x+1|+|x-2|=
又f(x)>5,∴或或∴或x∈⌀或∴x<-2或x>3,∴f(x)>5的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).
(2)∵f(x)=|x+1|+|x-a|≥|a+1|,当且仅当(x+1)(x-a)≤0时,等号成立,∴f(x)min=|a+1|.
又对任意实数x,都有f(x)≥3成立,
∴f(x)min≥3,∴|a+1|≥3,∴a+1≥3或a+1≤-3,∴a≥2或a≤-4.
故实数a的取值范围为(-∞,-4]∪[2,+∞).
2.(2018·全国Ⅲ卷·T23改编)已知函数f=.
(1)在给出的平面直角坐标系中作出函数f的图象,并写出不等式f(x)≥3的解集;(不要求写出解题过程)
(2)若不等式f≥+(m,n>0)对任意的x∈R恒成立,求m+n的最小值.
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解析▶ (1)函数f(x)的图象如图所示.
从图中可知,不等式f≥3的解集为(-∞,0]∪[2,+∞).
(2)由(1)知,f(x)min=,
所以f(x)≥+恒成立,即f(x)min≥+,所以+≤,所以≤.
因为m,n>0,
所以m+n≤mn≤,当且仅当m=n时取等号.
所以m+n≥,当且仅当m=n=时,等号成立,故m+n的最小值为.
(二)不等式选讲还有考查不等式证明,主要通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.常与基本不等式、恒成立问题结合考查.
3.(2017·全国Ⅰ卷·T5改编)设a>0,b>0,且a2b+ab2=2,求证:
(1)a3+b3≥2;
(2)(a+b)(a5+b5)≥4.
解析▶ (1)∵a>0,b>0,a2b+ab2=2,
∴(a3+b3)-2=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)≥0,
∴a3+b3≥2.
(2)(a+b)(a5+b5)=a6+b6+a5b+ab5=(a3+b3)2-2a3b3+a5b+ab5=(a3+b3)2+ab(a4-2a2b2+b4)=(a3+b3)2+ab(a2-b2)2,
∵a>0,b>0,a3+b3≥2,∴(a+b)(a5+b5)≥22=4.
4.(2016·全国Ⅱ卷·T24改编)已知函数f(x)=-.
(1)求不等式-22.
解析▶ (1)依题意得f(x)=|x-1|-=
由-2<-2x-1<0,
解得-0,
所以>4,即>2|m-n|.
1.在已知极坐标方程求与曲线有关的交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
2.过定点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数),t的几何意义是的数量,即|t|表示P0到P的距离,t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1,P2对应的参数分别为t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中点对应的参数为(t1+t2).
3.绝对值不等式的三种常用解法:零点分段法、几何法(利用绝对值几何意义)、构造函数法.零点分段法体现了分类讨论思想的应用,构造函数法体现了数形结合思想的应用.
4.利用绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
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求函数的最值,要注意其中等号成立的条件,利用基本不等式求最值也必须满足等号成立的条件.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.
5.分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
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