数学卷·2018届河南省漯河市高级中学高二上学期12月月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届河南省漯河市高级中学高二上学期12月月考数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河南省漯河市高级中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共600分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（　　）‎ A．13 B．35 C．49 D．63‎ ‎2．设a＞0且a≠1，则“ab＞1”是“（a﹣1）b＞0”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．在三角形ABC中若B=30°，AB=2，AC=2．则满足条件的三角形的个数有（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎4．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC该的形状为（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形 ‎5．对于任意a∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值总大于0，则x的取值范围是（　　）‎ A．{x|1＜x＜3} B．{x|x＜1或x＞3} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＜1或x＞2}‎ ‎6．某镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二年增长n%，又这两年的平均增长率为p%，则p与的关系为（　　）‎ A．p＞ B．p= C．p≤ D．p≥‎ ‎7．双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的两支分别交于点P、Q．若△PQF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．7‎ ‎8．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A成立的一个必要不充分条件是x∈B，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[2，+∞） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）‎ ‎9．若不等式﹣3≤x2﹣2ax+a≤﹣2有唯一解，则a的值是（　　）‎ A．2或﹣1 B． C． D．2‎ ‎10．已知双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=，点P是双曲线上的一点，且|PF1|=15，则|PF2|等于（　　）‎ A．27 B．3 C．27或3 D．9‎ ‎11．已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（　　）‎ A．4033 B．﹣4033 C．8066 D．﹣8066‎ ‎12．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．下列命题中真命题为　　．‎ ‎（1）命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是“∃x≤0，x2﹣x＞0”‎ ‎（2）在三角形ABC中，A＞B，则sinA＞sinB．‎ ‎（3）已知数列{an}，则“an，an+1，an+2成等比数列”是“=an•an+2”的充要条件 ‎（4）已知函数f（x）=lgx+，则函数f（x）的最小值为2．‎ ‎14．在数列{an}中，若，则数列的通项公式是　　．‎ ‎15．已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为　　．‎ ‎16．在数列{an}中，若存在非零整数T，使得an+T=am对于任意的正整数m均成立，那么称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，若数列xn满足xn+1=|x﹣xn﹣1|（n≥2，n∈N），如x1=1，λ2=a（a∈R，a≠0），当数列xn的周期最小时，该数列的前2015项的和是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=2，向量=（c， b），=（cosC，sinB），且∥．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若sin（A+B），sin2A，sin（B﹣A）成等差数列，求边a的大小．‎ ‎18．已知命题P：：直线mx﹣y+2=0与圆x2+y2﹣2x﹣4y+=0有两个交点；命题：≤m．‎ ‎（1）若p∧q为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎19．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a5=2，an﹣1+an+1=a5an（n≥2）且a3是a1与﹣的等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a1为整数，bn=，求数列{bn}前n项和Tn．‎ ‎20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：．‎ ‎21．已知函数f（x）=ax2+（a∈R）为奇函数．‎ ‎（1）比较f（log23）、f（log38）、f（log326）的大小，并说明理由；（提示：log23≈1.59）‎ ‎（2）若t＞0，且f（t+x2）+f（1﹣x﹣x2﹣2x）＞0对x∈[2，3]恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎22．设椭圆E： +=1的焦点在x轴上．‎ ‎（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q．证明：当a变化时，点P在定直线x+y=1上．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省漯河市高级中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共600分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（　　）‎ A．13 B．35 C．49 D．63‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出．‎ ‎【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，‎ 所以 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．设a＞0且a≠1，则“ab＞1”是“（a﹣1）b＞0”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】结合指数的运算性质，和实数的基本性质，分析“ab＞1”⇒“（a﹣1）b＞0”和“ab＞1”⇐“（a﹣1）b＞0”是否成立，进而根据充要条件的定义得到答案．‎ ‎【解答】解：若ab＞1，‎ 当0＜a＜1时，b＜0，此时（a﹣1）b＞0成立；‎ 当a＞1时，b＞0，此时（a﹣1）b＞0成立；‎ 故ab＞1是（a﹣1）b＞0的充分条件；‎ 若（a﹣1）b＞0，‎ ‎∵a＞0且a≠1，‎ 当0＜a＜1时，b＜0，此时ab＞1，‎ 当a＞1时，b＞0，此时ab＞1，‎ 故ab＞1是（a﹣1）b＞0的必要条件；‎ 综上所述：ab＞1是（a﹣1）b＞0的充要条件；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．在三角形ABC中若B=30°，AB=2，AC=2．则满足条件的三角形的个数有（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理可得sinC=，结合大边对大角及C的范围可求C有两解，从而得解满足条件的三角形的个数有2个．‎ ‎【解答】解：∵B=30°，AB=2，AC=2．‎ ‎∴由正弦定理可得：sinC===，‎ ‎∵C∈（0°，180°），AB＞AC，‎ ‎∴C∈（30°，180°），可得：C=60°或120°，‎ 故满足条件的三角形的个数有2个．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC该的形状为（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形 ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】利用正弦定理将a2tanB=b2tanA中的边转化为所对角的正弦，再利用二倍角的正弦及诱导公式判断即可．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，b2tanA=a2tanB，‎ ‎∴由正弦定理得：，‎ 在三角形中，sinA≠0，sinB≠0，‎ ‎∴，‎ ‎∴sinAcosA=sinBcosB，‎ 即sin2A=sin2B，‎ 则sin2B=sin2A，‎ ‎∴A=B或2A=π﹣2B，‎ ‎∴A=B或A+B=，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．对于任意a∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值总大于0，则x的取值范围是（　　）‎ A．{x|1＜x＜3} B．{x|x＜1或x＞3} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＜1或x＞2}‎ ‎【考点】二次函数在闭区间上的最值．‎ ‎【分析】把二次函数的恒成立问题转化为y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．‎ ‎【解答】解：原题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，‎ 只需⇒⇒x＜1或x＞3．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．某镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二年增长n%，又这两年的平均增长率为p%，则p与的关系为（　　）‎ A．p＞ B．p= C．p≤ D．p≥‎ ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】先根据题意列出方程，再由基本不等式可得出出p%和的大小关系 ‎【解答】解：由题意知：（1+p%）2=（1+m%）（1+n%），‎ ‎∴1+p%=≤=1+，‎ ‎∴p%≤，即p≤，当且仅当m=n时等号成立，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的两支分别交于点P、Q．若△PQF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．7‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义，建立方程关系求出OF1，QF1的大小，利用余弦定理进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出相应的图象如图：‎ 设△PQF2的边长为x，‎ 则|PF1|﹣|PF2|=2a，‎ 即|QF1|=2a，‎ 由|QF2|﹣|QF1|=2a，‎ 则|QF2|=|QF1|+2a=2a+2a=4a，‎ 即x=4a，‎ ‎∵∠F1QF2=120°，‎ ‎∴在三角形QF1F2，中，‎ ‎4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣），‎ 即4c2=4a2+16a2+8a2=28a2，‎ 即c2=7a2，‎ 则c=a，‎ 即e==，‎ 故选：A ‎　‎ ‎8．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A成立的一个必要不充分条件是x∈B，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[2，+∞） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】利用不等式的解法、集合之间的关系、简易逻辑的判定方法即可得出．‎ ‎【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2}=（﹣1，3），B={x|﹣1＜x＜m+1}，‎ 若x∈A成立的一个必要不充分条件是x∈B，则3＜m+1，m＞2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．若不等式﹣3≤x2﹣2ax+a≤﹣2有唯一解，则a的值是（　　）‎ A．2或﹣1 B． C． D．2‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】结合二次函数的性质，不等式﹣3≤x2﹣2ax+a≤﹣2有唯一解，‎ 化为方程x2﹣2ax+a=﹣2有唯一解，利用判别式求得a的值．‎ ‎【解答】解：不等式﹣3≤x2﹣2ax+a≤﹣2有唯一解，‎ 则方程x2﹣2ax+a=﹣2有唯一解，‎ 即△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=0；‎ 即a2﹣a﹣2=0；‎ 解得a=2或a=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=，点P是双曲线上的一点，且|PF1|=15，则|PF2|等于（　　）‎ A．27 B．3 C．27或3 D．9‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得双曲线的a，c，运用离心率公式可得b=8，c=10，运用双曲线的定义，可得|PF2|=27或3，讨论P在左支和右支上，结合双曲线的图象即可得到所求距离．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1（b＞0）的a=6，c=，‎ 由e===，‎ 解得b=8，c=10．‎ 由双曲线的定义可得2a=||PF1|﹣|PF2||，‎ 即有12=|15﹣|PF2||，‎ 解得|PF2|=27或3，‎ 若P在左支上，可得|PF1|≥c﹣a=4，|PF2|≥a+c=16；‎ 若P在右支上，可得|PF1|≥c+a=16＞15，不成立．‎ 综上可得，|PF2|=27．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（　　）‎ A．4033 B．﹣4033 C．8066 D．﹣8066‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】推导出f（x）+f（2﹣x）=﹣4，由此能求出=2016×（﹣4）+f（）的值．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x+sinπx﹣3，‎ ‎∴f（x）+f（2﹣x）=x+sinπx﹣3+[（2﹣x）+sin（2﹣x）π﹣3]=﹣4，‎ ‎∴=2016×（﹣4）+f（）‎ ‎=﹣8064+1+sinπ﹣3=﹣8066．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得，由此能求出双曲线的离心率的范围．‎ ‎【解答】解：不妨令双曲线的方程为，‎ 由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，‎ 又∵满足条件的直线只有一对，‎ 当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，‎ 双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，‎ 若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，‎ 则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，‎ 当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角大于60°，‎ 双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，‎ 若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，‎ 但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，‎ ‎∴tan30°，即，‎ ‎∴，‎ ‎∵b2=c2﹣a2，∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴双曲线的离心率的范围是．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．下列命题中真命题为　（2）　．‎ ‎（1）命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是“∃x≤0，x2﹣x＞0”‎ ‎（2）在三角形ABC中，A＞B，则sinA＞sinB．‎ ‎（3）已知数列{an}，则“an，an+1，an+2成等比数列”是“=an•an+2”的充要条件 ‎（4）已知函数f（x）=lgx+，则函数f（x）的最小值为2．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1），写出命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定，可判断（1）；‎ ‎（2），在三角形ABC中，利用大角对大边及正弦定理可判断（2）；‎ ‎（3），利用充分必要条件的概念可分析判断（3）；‎ ‎（4），f（x）=lgx+，分x＞1与0＜x＜1两种情况讨论，利用对数函数的单调性质可判断（4）．‎ ‎【解答】解：对于（1），命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是“∃x＞0，x2﹣x＞‎ ‎0”，故（1）错误；‎ 对于（2），在三角形ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，故（2）正确；‎ 对于（3），数列{an}中，若an，an+1，an+2成等比数列，则=an•an+2，即充分性成立；反之，若=an•an+2，则数列{an}不一定是等比数列，如an=0，满足=an•an+2，但该数列不是等比数列，即必要性不成立，故（3）错误；‎ 对于（4），函数f（x）=lgx+，则当x＞1时，函数f（x）的最小值为2，当0＜x＜1时，f（x）=lgx+＜0，故（4）错误．‎ 综上所述，只有（2）正确，‎ 故答案为：（2）．‎ ‎　‎ ‎14．在数列{an}中，若，则数列的通项公式是　an=2n+1﹣3　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】把所给的递推式两边同时加上3，an+1+3=2an+6=2（an+3），提出公因式2后，得到连续两项的比值等于常数，新数列{an+3}是一个等比数列．问题获解．‎ ‎【解答】解：∵an+1=2an+3，两边同时加上3，‎ 得an+1+3=2an+6=2（an+3）‎ ‎∴=2‎ 由等比数列定义，‎ 数列{an+3}是一个等比数列，首项a1+3=4，公比为2‎ 故数列{an+3}的通项公式是an+3=4•2n﹣1=2n+1，‎ ‎∴an=2n+1﹣3，‎ 故答案为：an=2n+1﹣3‎ ‎　‎ ‎15．已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为　[4，12]　．‎ ‎【考点】三角函数的最值．‎ ‎【分析】x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，‎ ‎，θ∈[0，2π）．代入z=x2+4y2，利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出．‎ ‎【解答】解：x2+2xy+4y2=6变形为=6，‎ 设，，θ∈[0，2π）．‎ ‎∴y=sinθ，x=，‎ ‎∴z=x2+4y2=‎ ‎=+6‎ ‎=2×（1﹣cos2θ）﹣+6‎ ‎=，‎ ‎∵∈[﹣1，1]．‎ ‎∴z∈[4，12]．‎ 故答案为：[4，12]．‎ ‎　‎ ‎16．在数列{an}中，若存在非零整数T，使得an+T=am对于任意的正整数m均成立，那么称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，若数列xn满足xn+1=|x﹣xn﹣1|（n≥2，n∈N），如x1=1，λ2=a（a∈R，a≠0），当数列xn的周期最小时，该数列的前2015项的和是　1344　．‎ ‎【考点】数列与函数的综合．‎ ‎【分析】①若其最小周期为1，则该数列是常数列，即每一项都等于1，此时a=1，而该数列的项分别为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此时该数列是以3为周期的数列，矛盾，舍去．②若其最小周期为2，同理得出矛盾，舍去．综上所述，当数列{xn}的周期最小时，其最小周期是3，a=1，即可得出．‎ ‎【解答】解：①若其最小周期为1，则该数列是常数列，即每一项都等于1，此时a=1，‎ 而该数列的项分别为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此时该数列是以3为周期的数列，矛盾，舍去．‎ ‎②若其最小周期为2，则有a3=a1，即|a﹣1|=1，a﹣1=1或﹣1，a=2或a=0，又a≠‎ ‎0，故a=2，‎ 此时该数列的项依次为1，2，1，1，0，…，由此可见，此时它并不是以2为周期的数列，舍去．‎ 综上所述，当数列{xn}的周期最小时，其最小周期是3，a=1，又2 015=3×671+2，‎ 故此时该数列的前2 015项和是671×（1+1+0）+（1+1）=1344．‎ 故答案为：1344．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=2，向量=（c， b），=（cosC，sinB），且∥．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若sin（A+B），sin2A，sin（B﹣A）成等差数列，求边a的大小．‎ ‎【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；‎ ‎（2）由sin（A+B），sin2A，sin（B﹣A）成等差数列，可得2sin2A=sin（A+B）+sin（B﹣A），cosA=0或2sinA=sinB，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵∥，‎ ‎∴=0，‎ 由正弦定理可得：﹣sinCsinB=0，‎ ‎∵sinB≠0，‎ ‎∴，C∈（0，π），‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵sin（A+B），sin2A，sin（B﹣A）成等差数列，‎ ‎∴2sin2A=sin（A+B）+sin（B﹣A），‎ 化为4sinAcosA=2sinBcosA，‎ ‎∴cosA=0或2sinA=sinB，即2a=b．‎ 当cosA=0时，A∈（0，π），‎ ‎∴，‎ ‎∴a===．‎ 当2a=b时．由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ ‎∴，‎ 化为，‎ 解得a=．‎ ‎　‎ ‎18．已知命题P：：直线mx﹣y+2=0与圆x2+y2﹣2x﹣4y+=0有两个交点；命题：≤m．‎ ‎（1）若p∧q为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）若p∧q为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得实数m的取值范围；‎ ‎（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵，∴，‎ 所以该圆的圆心为（1，2），半径为，圆心到直线的距离．‎ 若p为真，则圆心到直线的距离小于半径，即，解得．‎ 若q为真，则在上有解，‎ 因为 ‎，又由，得，‎ 所以，‎ 即，故若q为真，则m≥0…‎ ‎（1）若p∧q为真，则应满足，即，‎ 故实数m的取值范围为…‎ ‎（2）若p∧q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，‎ 若p真q假，则应满足，‎ 若p假q真，则应满足 综上所述，实数m的取值范围为…‎ ‎　‎ ‎19．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a5=2，an﹣1+an+1=a5an（n≥2）且a3是a1与﹣的等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a1为整数，bn=，求数列{bn}前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）根据a5=2，an﹣1+an+1=a5an（n≥2）且a3是a1与﹣的等比中项得到首项和公差，得到通项公式．‎ ‎（2）由（1）得到Sn，整理数列{bn}，利用通项公式特点，利用裂项求和即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵a5=2，an﹣1+an+1=a5an（n≥2），‎ ‎∴an﹣1+an+1=2an（n≥2）∴数列{an}为等差数列．‎ 设数列{an}的公差为d．∵a3是a1与﹣的等比中项，∴a32=a1•﹣．‎ ‎∴（2﹣2d）2=﹣（2﹣4d）‎ ‎∴（5d﹣3）（d﹣3）=0‎ ‎∴d=或d=3．‎ 当d=时，an=﹣1．‎ 当d=3时，an=3n﹣13．‎ ‎（2）若a1为整数，则an=3n﹣13，‎ ‎∴，‎ ‎∴2Sn+23n=3n2，‎ bn==，‎ 数列{bn}前n项和Tn=（1﹣…）‎ ‎=（1﹣）=．‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．与抛物线方程联立可得：，由直线OA与OB的斜率之积为﹣p，即．可得：x1x2=4． 利用根与系数的关系即可得出．‎ ‎（II）利用中点坐标公式、斜率计算公式可得：直线OD的方程为，代入抛物线C：y2=8x的方程，解出即可得出．‎ ‎【解答】（I）解：∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．‎ ‎∴，．‎ ‎∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p，‎ ‎∴．‎ ‎∴，得 x1x2=4． ‎ 由，化为，‎ 其中△=（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=．‎ ‎∴p=4，抛物线C：y2=8x． ‎ ‎（Ⅱ）证明：设M（x0，y0），P（x3，y3），∵M为线段AB的中点，‎ ‎∴，．‎ ‎∴直线OD的斜率为．‎ 直线OD的方程为代入抛物线C：y2=8x的方程，‎ 得．‎ ‎∴．‎ ‎∵k2＞0，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ax2+（a∈R）为奇函数．‎ ‎（1）比较f（log23）、f（log38）、f（log326）的大小，并说明理由；（提示：log23≈1.59）‎ ‎（2）若t＞0，且f（t+x2）+f（1﹣x﹣x2﹣2x）＞0对x∈[2，3]恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】（1）直接由奇函数的概念列式求得a的值；‎ ‎（2）先比较得到log326＞log38＞log23，再根据f（x）=在（0，+∞）上递减，即可得到答案，‎ ‎（3）根据函数为奇函数且为减函数得到t+x2＜﹣1+x+x2+2x，分离参数，得到t＜2x+x﹣1对x∈[2，3]恒成立，再根据函数的单调性即可求出t的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）为奇函数，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣f（x），‎ ‎∴ax2﹣=﹣（ax2+），‎ ‎∴2ax2=0，对x∈R恒成立，‎ ‎∴a=0．‎ ‎∴f（x）=．‎ ‎∵log38＜log326，log38=3log32==≈1.89‎ ‎∴log38＞log23，‎ ‎∴log326＞log38＞log23，‎ ‎∵f（x）=在（0，+∞）上递减，‎ ‎∴f（log326）＜f（log38）＜f（log23），‎ ‎（2）由f（x）为奇函数可得f（t+x2）＞f（﹣1+x+x2+2x），‎ ‎∵t＞0，x∈[2，3]，‎ ‎∴t+x2＞0，﹣1+x+x2+2x＞0‎ ‎∵f（x）=在（0，+∞）上递减 ‎∴t+x2＜﹣1+x+x2+2x，‎ 即t＜2x+x﹣1对x∈[2，3]恒成立．‎ ‎∵y=2x+x﹣1在[2，3]上递增，‎ ‎∴t＜22+2﹣1=5，‎ 又t＞0．‎ ‎∴0＜t＜5．‎ ‎　‎ ‎22．设椭圆E： +=1的焦点在x轴上．‎ ‎（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q．证明：当a变化时，点P在定直线x+y=1上．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；‎ ‎（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率，直线F2P的方程为斜率，利用，与椭圆的方程联立，然后判断点P在定直线x+y=1上．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，，即，‎ 所以椭圆E的方程为．…‎ ‎（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．‎ 因为直线F2P交y轴于点Q，所以x0≠c，‎ 故直线F1P的斜率，直线F2P的斜率，…‎ 直线F2P的方程为，Q点的坐标为．‎ 所以直线F1Q的斜率为，…‎ 由于 F1P⊥F1Q，所以，‎ 化简得．…‎ 因为 P为椭圆E上第一象限内的点，将上式代入，‎ 得，，且x0+y0=1，‎ 所以点P在定直线x+y=1上．…‎