2018-2019学年山西大学附中高二下学期3月模块诊断 数学（理） Word版

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山西大学附中 ‎2018-2019学年高二第二学期3月（总第二次）模块诊断 数学试题（理）‎ 考试时间：120分钟 ‎ 一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分，请把答案写在答题纸上)‎ ‎1.下列导数运算正确的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ y x O ‎1‎ ‎2‎ ‎-1‎ y x O ‎1‎ ‎2‎ ‎-2‎ A y x O ‎1‎ ‎2‎ ‎-2‎ B y x O ‎1‎ ‎2‎ ‎-2‎ C y x O ‎1‎ ‎2‎ ‎-2‎ D ‎2.已知的导函数的图象如右图所示，那么函数的图象最有可能的是( )‎ ‎3.已知函数，则的增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．函数有（ ）‎ A．极大值5，无极小值 B．极小值﹣27，无极大值 C．极大值5，极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣11‎ ‎5. 已知函数的导函数为,且满足关系式,则的值等于( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.若函数存在极值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 已知函数，则曲线上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 函数的图象在处的切线方程为，则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9．定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 若函数在区间内任取有两个不相等的实数， 不等式恒成立，则的取值范围是（  ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知直线为函数图象的切线,若与函数的图象相切于点,则实数必定满足（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二．填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分，请把答案写在答题纸上)‎ ‎13. 函数的单调减区间是 . ‎ ‎14．设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直,则的坐标为　 .  ‎ ‎15. 若函数 的定义域为，则实数的取值范围是 . ‎ ‎16. 设函数，，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 . ‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （满分10分）已知，若直线过点且与图像相切，求直线的方程．‎ ‎18. (本小题满分12分)已知函数 ‎(1)求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎(2)求证：在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方.‎ ‎19．(本小题满分12分) 已知函数 ‎(1)当在上是增函数，求实数的取值范围；‎ ‎(2)当处取得极值，求函数上的值域. ‎ ‎20.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎(1)求的单调区间；‎ ‎(2)若，求证：函数只有一个零点，且.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数有两个不同的零点.‎ ‎(1)求的取值范围;‎ ‎(2)设是的两个零点,证明: .‎ ‎22. （本小题满分12分）已知函数 ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，其横坐标分别为，线段的中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：..‎ 山西大学附中 ‎2018-2019学年高二第二学期3月（总第二次）模块诊断 数学答案（理）‎ 一.选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C A B A A A C B A C B D 二．填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分，请把答案写在答题纸上)‎ ‎13. 14． (1,1) 15. 16. ‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.解析：设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0 ，x＋)，‎ 则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x.‎ ‎∴切线方程为y－(x＋)＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵点P(2,4)在切线上∴4＝2x－x＋，‎ 即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，解得x0＝－1或x2＝2，‎ 切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.-----10分 ‎18.‎ ‎----------12分 ‎19． 解:(1), ……………1‎ 因为在上是增函数，‎ 所以在区间上横成立，…………… 2‎ 即在区间上横成立，…………… 4‎ 令 ，，在上单调增函数.‎ 所以 …………… 6‎ ‎(2) ，‎ 因为处取得极值，所以=0，得出…………… 7‎ ‎,令.…………… ‎ 在上为减函数，在上增函数，…………… 9‎ 又…………… 11‎ 所以，函数上的值域为.…………… 12‎ ‎20．解：的定义域为.. 令，或. ‎ 当时，，函数与随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 极大值 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和 当时，. 所以函数的单调递减区间是.‎ 当时，，函数与随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 极大值 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.-6分 ‎（Ⅱ）证明：当时，由（Ⅰ）知，的极小值为，极大值为.‎ 因为，，且在上是减函数，所以至多有一个零点. ‎ 又因为，‎ 所以 函数只有一个零点，且.---12分 ‎21．(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).‎ f'(x)=-2x+2a-1=-‎ ‎①当a≤0时,易得f'(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,‎ 则f(x)至多只有一个零点,不符合题意,舍去.‎ ‎②当a>0时,令f'(x)=0,得x=a,则 x ‎(0,a)‎ a ‎(a,+∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 增 极大值 减 ‎∴f(x)max=f(x)极大值=f(a)=a(ln a+a-1).‎ 设g(x)=ln x+x-1,∵g'(x)=+1>0,则g(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ ‎∵g(1)=0,∴当x<1时,g(x)<0;当x>1时,g(x)>0.‎ 因此:(ⅰ)当01时,f(x)max=a·g(a)>0,‎ ‎∵f=a-1-<0,‎ ‎∴f(x)在区间,a上有一个零点,‎ ‎∵f(3a-1)=aln(3a-1)-(3a-1)2+(2a-1)(3a-1)=a[ln(3a-1)-(3a-1)],‎ 设h(x)=ln x-x(x>1),∵h'(x)=-1<0,‎ ‎∴h(x)在(1,+∞)上单调递减,则h(3a-1)

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