【名校解析】2019届福建省莆田市第一中学高三上学期第一次月考数学（理）试题Word版含解析

【名校解析】2019届福建省莆田市第一中学高三上学期第一次月考数学（理）试题Word版含解析

‎2019届福建省莆田市第一中学 高三上学期第一次月考数学（理）试题 数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1．若集合0，，，集合，则集合 A． 0，， B． C． D． ‎ ‎2．设复数满足，则的共轭复数为 A． B． C． D． ‎ ‎3．在下列四个命题中：‎ ‎①命题“，总有”的否定是“，使得”；‎ ‎②把函数的图象向右平移得到的图象；‎ ‎③甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为1800件；‎ ‎④“”是“直线与圆相切”的必要不充分条件错误的个数是 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3‎ ‎4．函数的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象 A． 关于点对称 B． 关于点对称 C． 关于直线对称 D． 关于直线对称 ‎5．设函数，则使得成立的的取值范围是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎6．已知函数的部分图象如图所示，则 A． ， B． ， C． ， D． ，‎ ‎7．在中，内角所对边的长分别为，且满足，若，则的最大值为 A． B． 3 C． D． 9‎ ‎8．已知等比数列中，，，为方程的两根，则 A． 32 B． 64 C． 256 D． ‎ ‎9．袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 A． B． C． D． ‎ ‎10．已知函数的图象关于点对称，且当时，成立其中是的导函数，若，，，则的大小关系是 A． B． C． D． ‎ ‎11．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是 A． 4 B． 6 C． 8 D． 16‎ 二、填空题 ‎13．在的展开式中含项的系数是__________．（用数字作答）‎ ‎14．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是____________ .‎ ‎15．已知在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，，点在抛物线上，则的最小值为___________.‎ ‎16．已知函数在区间内是增函数，函数其中为自然对数的底数，当时，函数的最大值与最小值的差为，则实数_________.‎ 三、解答题 ‎17．设数列的前项和为，且，数列满足，点在上， ‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18．如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图如图所示，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ 女 ‎50‎ 合计 ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？‎ ‎（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．‎ ‎（参考公式：，其中 ‎20．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是、以为圆心、以3为半径的圆与以为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.‎ ‎（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线的两个交点为，求的值.‎ ‎23．[2018·佛山质检]已知函数，．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎2019届福建省莆田市第一中学 高三上学期第一次月考数学（理）试题 数学 答 案 参考答案 ‎1．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据集合中的元素求出集合，再求交集.‎ ‎【详解】‎ ‎,,选.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的运算，属简单题.‎ ‎2．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据公式化简复数，再利用共轭复数的概念求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，则共轭复数为.选.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算及共轭复数的概念.‎ ‎3．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①中全称命题的否定将全称量词改为存在量词并否定结论；②利用函数图象平移规律判断.③根据分成抽样方法计算即可.④判断由条件可以得出结论，则错误.‎ ‎【详解】‎ 四个命题中②③正确，①④错误.①中命题的否定应为：，使得”.②中函数平移得，结论成立.③中乙设备生产产品数位，结论正确.④中圆心到直线的距离，‎ 若，则，直线与圆相切，故满足充分性.故结论不正确.选.‎ ‎【点睛】‎ 函数图象左右平移要注意解析式中只对做加减；注意充分必要条件与必要不充分条件的区别：若条件推导结论则具有充分性，结论推导条件则具有必要性.全称命题和特称命题的否定：‎ 命题 命题的否定 ‎4．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的最小正周期得，由函数图像平移后为奇函数可得，得到函数的解析式,结合正弦函数的性质求函数的对称中心和对称轴.‎ ‎【详解】‎ 函数的最小正周期为，则.‎ 其图象向左平移个单位可得,‎ 平移后函数是奇函数，则有,‎ 又，则.函数的解析式为,‎ 令,解得,‎ 则函数的对称中心为.选项错误.‎ 令，解得函数的对称轴为.‎ 当时，.选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图象和性质，根据函数解析式求函数的对称轴和对称中心时利用了整体代换的思想，解题中注意把握.求解过程中不要忽略了三角函数的周期性.‎ ‎5．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可判断是偶函数，且在单调递增，则可转化为，利用函数的单调性求解即可 ‎【详解】‎ ‎，‎ 则,‎ 故为偶函数.当时，为增函数.‎ 则可变为，所以.‎ 则,化简得，解得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 利用函数的奇偶性和单调性将复杂的具体函数运算转化为抽象函数比较大小是本题解题思路中的一个亮点.偶函数比较大小时注意的应用.‎ ‎6．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数图象得到周期求出，然后带特殊点求值即可.‎ ‎【详解】‎ 由图可知函数的周期为，则.则,‎ 将代入解析式中得,‎ 则或者，‎ 解得或者.‎ 因为，则.选.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质.解题中注意给定三角函数值求角的问题中，除最大最小值其它情况在一个周期内均有两个角与之对应.‎ ‎7．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化简可得,再利用余弦定理结合基本不等求解的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎，则，‎ 所以，,.‎ 又有，将式子化简得，‎ 则，所以.选.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用以及基本不等式在求最值问题中的应用.在利用正弦定理做边角转化中要注意三角形内角和这个隐含的已知条件.‎ ‎8．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由根与系数的关系可得，再利用等比中项的性质求.‎ ‎【详解】‎ ‎，为方程的两根,则，‎ 数列是等比数列，则，又，‎ 所以.选.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质的应用.‎ ‎9．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找出五个数中成等差数列的数组数，求出基本事件个数，求比值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎“1”“2”“3”“4”“6”这五个数中成等差数列的数有“1,2,3”，“2,3,4”，“2,4,6”三组，从五个数中随机选取三个小球有，故所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查主要考查古典概型的应用.‎ ‎10．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象平移解析式的变换情况可知的图象关于原点对称，根据构造函数，可得的奇偶性和单调性，再利用函数的单调性比较大小.‎ ‎【详解】‎ 已知函数的图象关于点对称,则的图象关于原点对称，是奇函数.令,则是偶函数.‎ 当时，成立，则在上是减函数.‎ 又有是偶函数，则且在上是增函数.‎ 由，可得，‎ 所以，选.‎ ‎【点睛】‎ 抽象函数常常利用函数的单调性来比较大小，根据构造函数是本题解题的关键.‎ ‎11．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长为，取椭圆与双曲线在一象限的交点为，由已知条件结合椭圆双曲线的定义推出，由此得出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题意设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长为，取椭圆与双曲线在一象限的交点为，由椭圆和双曲线定义分别有 ‎，①，②③‎ ‎，得，④‎ 将④代入③得 则，‎ 故最小值为8.‎ ‎【点睛】‎ 本题是圆锥曲线综合题，解题中注意椭圆与双曲线的交点的位置处理，由于椭圆和双曲线都具有很好的对称性，因此解题中可适当选择的位置求解即可.‎ ‎12．A ‎【解析】设切点为，由题设可得，则由题设，即，与联立可得，则。所以当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减；故函数在处取最小值，故当时，函数恰有一个零点，应选答案A。‎ 点睛：求解本题时，先借助导数的几何意义，依据斜率的关系推出，进而判断导数的值的正负，求出函数的极值点，从而借助导数与函数的单调性之间的关系确定函数在处取得最小值，使得问题获解。‎ ‎13．15 ‎ ‎【解析】含项的系数.‎ 点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为不等式有解，所以，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号是成立的，所以，所以，即，解得或.‎ 考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作垂直抛物线的准线，垂足为，则与抛物线的交点为时，的值最小.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点为在抛物线内部，‎ 抛物线的准线方程为.‎ 过作垂直抛物线的准线，垂足为，则与抛物线的交点为时，的值最小.根据抛物线的几何性质有,此时.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义及几何性质，体现了数形结合的思想.‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在区间内是增函数,得在区间恒成立，进而求得参数取值范围；通过讨论对取绝对值求最值，进而求得参数值.‎ ‎【详解】‎ 函数在区间内是增函数,则在区间恒成立，即在恒成立，所以.‎ ‎，，‎ ‎（1）当时，‎ ‎，，‎ 当时，，则，解得.‎ ‎(2) 当时, ,‎ ‎,,‎ ‎(舍)，故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值，通过对参数取值范围的讨论确定函数的最大最小值是本题解题的关键.‎ ‎17．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用与的递推关系可以的通项公式；点代入直线方程得，可知数列是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.‎ ‎【详解】‎ 由可得，‎ 两式相减得，．‎ 又，所以．故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．‎ 由点在直线上，所以．‎ 则数列是首项为1，公差为2的等差数列．则 因为，所以．‎ 则，‎ 两式相减得：．‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 用递推关系求通项公式时注意的取值范围，所求结果要注意检验的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.‎ ‎18．（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）证明平面，结合平面，可得平面平面．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知可得，，所以平面．‎ 又平面，故平面平面．‎ ‎（Ⅱ）过作，垂足为，由（Ⅰ）知平面．‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由（Ⅰ）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．‎ 由已知，，所以平面．‎ 又平面平面，故，．‎ 由，可得平面，所以为二面角的平面角，‎ ‎．从而可得．‎ 所以，，，．‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 所以可取．‎ 设是平面的法向量，则，‎ 同理可取．则．‎ 故二面角EBCA的余弦值为．‎ ‎【考点】垂直问题的证明及空间向量的应用 ‎【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量法解决.‎ 视频 ‎19．（1）；（2）有；（3）3.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为 ，即可求得；‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，得到晋级成功的人数为（人），‎ 得到的列联表，根据公式求解的值，即可得到结论；‎ ‎（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，得到故可视为服从二项分布，‎ 利用二项分布的概率公式，求得概率，列出分布列，从而计算期望值．‎ 试题解析：(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知 ‎，故.‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，‎ 故晋级成功的人数为（人），‎ 故填表如下 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女 ‎9‎ ‎41‎ ‎50‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 假设“晋级成功”与性别无关，‎ 根据上表数据代入公式可得，‎ 所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．‎ ‎（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为，‎ 故可视为服从二项分布，‎ 即，， ‎ 故 ， ，‎ ‎ ， ，‎ ‎ ，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 或（.‎ ‎20．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由椭圆的定义可得，根据椭圆的离心率求得,进而求的.‎ ‎(2)设，联立直线方程与椭圆方程可得两点坐标的关系，根据两点坐标可将直线与直线分别表示出来，进而可求其与轴交于点，以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点，则等价于恒成立，带点求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，则．又，，可得，‎ 椭圆的方程为．‎ ‎（2）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．‎ 由得．‎ 设，，则有，．‎ 又点M是椭圆的右顶点，点．‎ 由题意可知直线AM的方程为，故点．‎ 直线BM的方程为，故点．‎ 若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点，则等价于恒成立．‎ 又，，恒成立．‎ 又，‎ ‎．解得．‎ 故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥曲线中求曲线方程，直线与曲线的关系以及定点问题，综合性较强.设而不求是基本方法，解题处理关键地方在于将圆过定点问题转化为恒成立问题求解.‎ ‎21．（1）在时为减函数；在时为增函数；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接求导，导函数大于0求得增区间，导函数小于0求得减区间.‎ ‎(2)令则，在上有两个零点等价于在上有两个零点.通过讨论的情况结合导数求参数范围 ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为，当时，，‎ ‎，∴在时为减函数；在时为增函数.‎ ‎（2）记，则在上单增，且.‎ ‎∴.∴在上有两个零点等价于在上有两个零点.‎ ‎①在时，在上递增，且，故无零点；②在时，在上单增，又，，故在上只有一个零点；‎ ‎③在时，由可知在时有唯一的一个极小值..‎ 若，，无零点；若，，只有一个零点；‎ 若时，，而，由于在时为减函数，可知时，.从而，‎ ‎∴在和上各有一个零点.综上讨论可知：时有两个零点，即所求的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性，根据函数零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想，以及逻辑推理能力和数学运算的能力.本题的易错点是对实数分类不准确.‎ ‎22．(1) 线的普通方程为 ;(2)6.‎ ‎【解析】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数方程化普通方程，根据公式，易得P点的直角坐标，消去参数可得曲线C的普通方程为；（2）本问考查直线参数方程标准形式下t的几何意义，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得到关于t的一元二次方程，根据几何意义有，于是可以求出的值.‎ 试题解析：(1)由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标，‎ 所以，消去参数的曲线的普通方程为：.‎ ‎(2)点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：‎ ‎，设其两个根为，，所以：，，‎ 由参数的几何意义知：.‎ ‎23．（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意得到关于实a的不等式，然后零点分段求解不等式组可得的取值范围是.‎ ‎(2)原问题等价于，由二次函数的性质可知，由绝对值不等式的性质可得，据此求解关于实数a的不等式可得的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ 若，则，得，即时恒成立，‎ 若 ，则，得，即，‎ 若，则，得，即不等式无解，‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，‎ 当时，，‎ 因为，所以当时，，‎ 即，解得，结合，所以的取值范围是.‎