高考数学专题复习：专题5解析几何 第2讲
专题五 第二讲
一、选择题
1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．(，2) B．(1，＋∞)
C．(1,2) D．(，1)
[答案] C
[解析] 由题意可得，2k－1>2－k>0，
即解得1
0，b>0)的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 依题意得＝2c，c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，(e－)2＝，又e>1，因此e－＝，e＝，故选A.
(理)(2013·新课标Ⅰ理，4)已知双曲线C：－＝1(a>0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] C
[解析] e＝＝ ∴＝
∴b2＝a2－a2＝
∴＝，即渐近线方程为y＝±x.
3．(文)(2013·湛江测试)从抛物线y2＝8x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PFM的面积为( )
A．5 B．6
C．10 D．5
[答案] A
[解析] 抛物线的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2.设P(m，n)，则|PM|＝m＋2＝5，解得m＝3.代入抛物线方程得n2＝24，故|n|＝2，则S△PFM＝|PM|·|n|＝×5×2＝5.
(理)(2013·德州模拟)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(00，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为9a，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．5
C．3 D．2或5
[答案] B
[解析] 由双曲线定义得|PF2|＝2a＋|PF1|，
∴＝＝|PF1|＋＋4a，其中|PF1|≥c－a.当c－a≤2a时，y＝x＋在[c－a，＋∞)上为减函数，没有最小值，故c－a>2a，即c>3a⇒e>3，y＝x＋在[c－a，＋∞)上为增函数，故f(x)min＝f(c－a)＝c－a＋＋4a＝9a，化简得10a2－7ac＋c2＝0，两边同除以a2可得e2－7a＋10＝0，解得e＝5或e＝2(舍去)．
6．(2014·新乡、许昌、平顶山二调)若双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2| ( )
A．m2－a2 B.－
C.(m－a) D. (m－a)
[答案] D
[解析] 不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，故|PF1|·|PF2|＝m－a.
二、填空题
7．(2013·安徽理，13)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．
[答案] a≥1
[解析] 显然a>0，不妨设A(，a)，B(－，a)，C(x0，x)，则＝(－－x0，a－x)，
＝(－x0，a－x)，∵∠ACB＝90°.
∴·＝(－x0，a－x)·(－－x0，a－x)＝0.
∴x－a＋(a－x)2＝0，则x－a≠0.
∴(a－x)(a－x－1)＝0，∴a－x－1＝0.
∴x＝a－1，又x≥0.
∴a≥1.
8．(2014·长沙市模拟)设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，其中F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为________．
[答案]
[解析] 设|PF2|＝m，则|PF1|＝2m，|F1F2|＝＝m，因此双曲线的离心率为＝.
9．(2014·湖南理，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a0)经过C、F两点，则＝________.
[答案] ＋1
[解析] 由题可得C(，－a)，F(＋b，b)，
∵C、F在抛物线y2＝2px上，∴
∴＝＋1，故填＋1.
三、解答题
10．(文)(2013·厦门质检)已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
[解析] (1)由16x2－9y2＝144得－＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.
(2)由(1)知||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝
＝
＝＝0，
∵∠F1PF2∈(0,180°)，∴∠F1PF2＝90°.
(理)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，并且直线y＝x＋b是抛物线y2＝4x的一条切线．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点S(0，－)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由消去y得x2＋(2b－4)x＋b2＝0，
因为直线y＝x＋b与抛物线y2＝4x相切，
所以Δ＝(2b－4)2－4b2＝0，解得b＝1.
因为e＝＝，∴＝＝，∴a2＝2.
故所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为
x2＋(y＋)2＝()2.
当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
由解得
即两圆相切于点(0,1)，
因此，所求的点T如果存在，只能是(0,1)．
事实上，点T(0,1)就是所求的点，证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(0,1)．
若直线l不垂直于x轴，可设直线l的方程为y＝kx－，
由消去y得(18k2＋9)x2－12kx－16＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
又因为＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，
所以·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)
＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)
＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋
＝(1＋k2)·－k·＋＝0，
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(0,1)，
所以在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.
一、选择题
11．(文)(2014·唐山市一模)双曲线x2－y2＝4左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为， 则a＋b＝ ( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
[答案] A
[解析] 解法1：如图，双曲线－＝1的左顶点(－2,0)到直线y＝x的距离为，又∵点(a，b)为双曲线左支上的点，∴a＝－2，b＝0，∴a＋b＝－2.
解法2：由题意得∴a＋b＝－2.
(理)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是( )
A．3 B．2
C. D.
[答案] B
[解析] 因为AB⊥x轴，又已知△ABE是直角三角形，且显然AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形．所以∠AEB＝90°.所以∠AEF＝45°.所以AF＝EF.易知A(－c，)(不妨设点A在x轴上方)，
故＝a＋c.即b2＝a(a＋c)．得c2－ax－2a2＝0，
即e2－e－2＝0，解得e＝2，或e＝－1(舍去)．故选B.
12．直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] D
[解析] 焦点F(1,0)，设l：x＝my＋1，代入y2＝4x中得，y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，∵AB中点横坐标为3，∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2＝6，∴m＝±1，当m＝1时，l：y＝x－1，代入y2＝4x中得x2－6x＋1＝0，∴x1＝3－2，x2＝3＋2，∴|AB|＝|x1－x2|＝8，由对称性知m＝－1时，结论相同．
13．(文)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．(，) B．(，)
C．(，) D．(，1)
[答案] C
[解析] 设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，由椭圆的定义及题意知，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c＝10，得到a－c－5＝0，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以1<<2，∴0，x2>0，
∴|FA|＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，∴x1＋2＝2x2＋4，
∴x1＝2x2＋2.
由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4，x1＋x2＝＝－4.
由，得x＋x2－2＝0，∴x2＝1，∴x1＝4，
∴－4＝5，∴k2＝，k＝.
(理)(2014·唐山市二模)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A．[，1) B．[，]
C．[，1) D．[，1)
[答案] C
[解析] 如图，设切点为A、B，则OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠APB＝90°，连结OP，则∠APO＝45°，∴AO＝PA＝b，OP＝b，∴a≥b，∴a2≤2c2，∴≥，∴e≥，又∵e<1，∴≤e<1.
二、填空题
15．(2014·安徽理，14)若F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(00)的准线与x轴交于点M，过点M作直线l交抛物线于A、B两点．
(1)若线段AB的垂直平分线交x轴于N(x0,0)，求证：x0>3p；
(2)若直线l的斜率分别为p，p2，p3，…时，相应线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，当00，得0p＋2p＝3p，∴x0>3p.
(2)∵l的斜率分别为p，p2，p3，…时，对应线段AB的中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，…(0b>0)的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN.
[解析] (1)依题意，得b＝1.
∵e＝＝，a2－c2＝b2＝1，∴a2＝4.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，x0≠0，则Q(0，y0)，且＋y＝1.
∵M为线段PQ中点，∴M(，y0)．
又A(0,1)，∴直线AM的方程为y＝x＋1.
∵x0≠0，∴y0≠1，令y＝－1，得C(，－1)．
又B(0，－1)，N为线段BC的中点，
∴N(，－1)．
∴＝(－，y0＋1)．
∴·＝(－)＋y0·(y0＋1)
＝－＋y＋y0
＝(＋y)－＋y0＝1－(1＋y0)＋y0＝0，
∴OM⊥MN.
(理)已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P、Q两点，且·＝0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[解析] (1)A(0,1)，F(，0)，
直线AF：＋y＝1，
即x＋y－＝0，
∵AF与⊙M相切，圆心M(3,1)，半径r＝，
∴＝，∴a＝，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由·＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1，
将y＝kx＋1代入椭圆C的方程，
整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，
解得x＝0或x＝，
故点P的坐标为(，)．
同理，点Q的坐标为(，)．
所以直线l的斜率为＝.
则直线l的方程为y＝(x－)＋，
即y＝x－.
所以直线l过定点(0，－)．
