数学卷·2018届河北省衡水市安平中学高二下学期第一次调考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届河北省衡水市安平中学高二下学期第一次调考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年河北省衡水市安平中学高二（下）第一次调考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．判断两个分类变量时彼此相关还是相互独立的常用方法中，最为精确的是（　　）‎ A．2×2列联表 B．独立性检验 C．登高条形图 D．其他 ‎2．回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（　　）‎ A．越小 B．越大 C．可能大也可能小 D．以上都不对 ‎3．下面几种推理是合情推理的是（　　）‎ ‎（1）由圆的性质类比出球的有关性质；‎ ‎（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；‎ ‎（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；‎ ‎（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．‎ A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）‎ ‎4．对于回归分析，下列说法错误的是（　　）‎ A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定 B．线性相关系数可以是正的或负的 C．回归分析中，如果r2=1，说明x与y之间完全线性相关 D．样本相关系数r∈（﹣∞，+∞）‎ ‎5．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率P（K2≥6.635）≈0.01表示的意义是（　　）‎ A．变量X与变量Y有关系的概率为1%‎ B．变量X与变量Y没有关系的概率为99%‎ C．变量X与变量Y有关系的概率为99%‎ D．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%‎ ‎6．下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）‎ A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°‎ B．某校高三（1）班有55人，（2）班有54人，（3）班有52人，由此得高三所有班人数超过50人 C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1=1，an=（an﹣1+）（n≥2），由此归纳出{an}的通项公式 ‎7．已知x与y之间的一组数据 x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 则y与x的线性回归方程=bx+必过点（　　）‎ A．（2，2） B．（1.5，4） C．（1.5，0） D．（1，2）‎ ‎8．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 ‎9．用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是（　　）‎ A．假设是有理数 B．假设是有理数 C．假设或是有理数 D．假设+是有理数 ‎10．如图的等高条形图可以说明的问题是（　　）‎ A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的 B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同 C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方 D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握 ‎11．要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（　　）‎ A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．a2+b2﹣1﹣≤0‎ C．﹣1﹣a2b2≤0 D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥0‎ ‎12．如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，…，依此类推，根据图案中点的排列规律，第100个图形由多少个点组成（　　）‎ A．9900 B．9901 C．9902 D．9903‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）‎ ‎13．已知x、y的取值如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 若x、y具有线性相关关系，且回归方程为=0.95x+a，则a的值为　　．‎ ‎14．已知：sin230°+sin290°+sin2150°=；sin25°+sin265°+sin2125°=通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题　　．‎ ‎15．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是　　．‎ ‎16．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6个小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）‎ ‎17．已知x∈R，a=x2+，b=2﹣x，c=x2﹣x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．‎ ‎18．调查某桑场采桑员桑毛虫皮炎发病情况结果如表：利用2×2列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？‎ 分类 采桑 不采桑 总计 患者人数 ‎18‎ ‎12‎ 健康人数 ‎5‎ ‎78‎ 总计 K2=‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得，‎ ‎，，．‎ ‎（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；‎ ‎（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．‎ ‎20．已知：在数列{an}中，a1=7，an+1=，‎ ‎（1）请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式．‎ ‎（2）请证明你猜想的通项公式的正确性．‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣Sn（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；‎ ‎（Ⅱ）用三段论证明数列{an}是等比数列．‎ ‎22．已知a＞0，求证：﹣≥a+﹣2．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省衡水市安平中学高二（下）第一次调考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．判断两个分类变量时彼此相关还是相互独立的常用方法中，最为精确的是（　　）‎ A．2×2列联表 B．独立性检验 C．登高条形图 D．其他 ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】利用独立性检验，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：用独立性检验（2×2列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量k2的值越大，说明“x与y有关系”成立的可能性越大，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（　　）‎ A．越小 B．越大 C．可能大也可能小 D．以上都不对 ‎【考点】相关系数．‎ ‎【分析】根据回归分析的公式和性质，可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．‎ ‎【解答】解：用系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，而用相关系数r的值判断模型的拟合效果时，|r|越大，模型的拟合效果越好，‎ 由此可知相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小．‎ 故选A ‎　‎ ‎3．下面几种推理是合情推理的是（　　）‎ ‎（1）由圆的性质类比出球的有关性质；‎ ‎（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；‎ ‎（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；‎ ‎（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．‎ A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）‎ ‎【考点】合情推理的含义与作用．‎ ‎【分析】本题考查的是合情推理、演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，类比推理的是看是否符合类比推理的定义．‎ ‎【解答】解：（1）为类比推理，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质．‎ ‎（2）为归纳推理，关键是看他直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°推出所有三角形的内角和都是180°，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程．‎ ‎（3）不是合情推理，是由个别到全体的推理过程．‎ ‎（4）为归纳推理 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．对于回归分析，下列说法错误的是（　　）‎ A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定 B．线性相关系数可以是正的或负的 C．回归分析中，如果r2=1，说明x与y之间完全线性相关 D．样本相关系数r∈（﹣∞，+∞）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，根据相关关系非函数关系，因变量不能由自变量唯一确定，可判断A正确；‎ B，根据r＞0，正相关；r＜0，负相关；判断B正确；‎ C，根据r=±1时，完全相关，判断C正确．‎ D，根据相关系数的范围是：|r|≤1，可判断D错误；‎ ‎【解答】解：，在回归分析中，变量间的关系非函数关系，‎ 对于A，∴因变量不能由自变量唯一确定，∴A正确；‎ 对于B，r＞0，正相关；r＜0，负相关；B正确；‎ 对于C，r=±1时，完全相关；C正确．‎ 对于D，相关系数的范围是：|r|≤1，∴D错误；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率P（K2≥6.635）≈0.01表示的意义是（　　）‎ A．变量X与变量Y有关系的概率为1%‎ B．变量X与变量Y没有关系的概率为99%‎ C．变量X与变量Y有关系的概率为99%‎ D．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%‎ ‎【考点】实际推断原理和假设检验的应用．‎ ‎【分析】根据所给的估算概率，得到两个变量有关系的可信度是1﹣0.01，即两个变量有关系的概率是99%，这里不用计算，只要理解概率的意义即可．‎ ‎【解答】解：∵概率P（K2≥6.635）≈0.01，‎ ‎∴两个变量有关系的可信度是1﹣0.01=99%，‎ 即两个变量有关系的概率是99%，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）‎ A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°‎ B．某校高三（1）班有55人，（2）班有54人，（3）班有52人，由此得高三所有班人数超过50人 C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1=1，an=（an﹣1+）（n≥2），由此归纳出{an}的通项公式 ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是演绎推理的定义，要想判断一个推理过程是否是演绎推理，关键是看它是否符合“三段论”，要找出推理过程中的“大前提”，“小前提”和“结论”，可根据定义对四个答案，逐一进行分析．‎ ‎【解答】解：A中：两条直线平行，同旁内角互补大前提 ‎∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角小前提 ‎∠A+∠B=180°．‎ 故A答案符合演绎推理的定义 而B、D答案符合归纳推理的定义，C答案符合类比推理的定义．‎ 故选A ‎　‎ ‎7．已知x与y之间的一组数据 x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 则y与x的线性回归方程=bx+必过点（　　）‎ A．（2，2） B．（1.5，4） C．（1.5，0） D．（1，2）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由题意， =（0+1+2+3）=1.5， =（1+3+5+7）=4‎ ‎∴x与y组成的线性回归方程必过点（1.5，4）‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 ‎【考点】演绎推理的基本方法；空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误，我们分析：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的推理过程，不难得到结论．‎ ‎【解答】解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．‎ 故大前提错误．‎ 故选A ‎　‎ ‎9．用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是（　　）‎ A．假设是有理数 B．假设是有理数 C．假设或是有理数 D．假设+是有理数 ‎【考点】反证法．‎ ‎【分析】假设结论的反面成立，将是改为不是，从而我们可以得出结论．‎ ‎【解答】解：假设结论的反面成立， +不是无理数，则+是有理数．‎ 故选D ‎　‎ ‎10．如图的等高条形图可以说明的问题是（　　）‎ A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的 B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同 C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方 D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握 ‎【考点】变量间的相关关系．‎ ‎【分析】利用等高条形图，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由图可知，“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（　　）‎ A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．a2+b2﹣1﹣≤0‎ C．﹣1﹣a2b2≤0 D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥0‎ ‎【考点】综合法与分析法(选修）．‎ ‎【分析】将左边因式分解，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（a2﹣1）（1﹣b2）≤0，‎ 只要证明（a2﹣1）（b2﹣1）≥0．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，…，依此类推，根据图案中点的排列规律，第100个图形由多少个点组成（　　）‎ A．9900 B．9901 C．9902 D．9903‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】设第n个图案的点的个数为an，可得an﹣an﹣1=2（n﹣1），n﹣1个式子相加，由等差数列的求和公式可得结果．‎ ‎【解答】解：设第n个图案的点的个数为an，由题意可得a1=1，a2=3，a3=7，a4=13，a5=21，‎ 故a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，a4﹣a3=6，a5﹣a4=8，…，‎ 由此可推得an﹣an﹣1=2（n﹣1），以上n﹣1个式子相加可得：‎ ‎（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）=2+4+6+…+2（n﹣1），‎ 化简可得an﹣1==n（n﹣1），故an=n（n﹣1）+1，‎ 故a100=100×99+1=9901，即第100个图形由9901个点组成，‎ 故选B ‎　‎ 二．填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）‎ ‎13．已知x、y的取值如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 若x、y具有线性相关关系，且回归方程为=0.95x+a，则a的值为　2.6　．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出样本中心点，代入=0.95x+a，可得a的值．‎ ‎【解答】解：由题意， =（0+1+3+4）=2， =（2.2+4.3+4.8+6.7）=4.5‎ 代入=0.95x+a，可得4.5=0.95×2+a，‎ ‎∴a=2.6．‎ 故答案为：2.6．‎ ‎　‎ ‎14．已知：sin230°+sin290°+sin2150°=；sin25°+sin265°+sin2125°=通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题　sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=　．‎ ‎【考点】三角函数的和差化积公式；类比推理；二倍角的余弦．‎ ‎【分析】分析已知条件中：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．‎ ‎【解答】解：由已知中sin230°+sin290°+sin2150°=，‎ sin25°+sin265°+sin2125°=．‎ 归纳推理的一般性的命题为：‎ sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=．‎ 证明如下：‎ 左边=++‎ ‎=﹣ [cos（2α﹣120°）+cos2α+cos（2α+120°）]‎ ‎==右边．‎ ‎∴结论正确．‎ 故答案为：sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=．‎ ‎　‎ ‎15．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是　y=1.23x+0.08　．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】运用样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设回归方程为y=1.23x+b，‎ ‎∵样本中心点为（4，5），‎ ‎∴5=4.92+b ‎∴b=0.08‎ ‎∴y=1.23x+0.08．‎ 故答案为：y=1.23x+0.08．‎ ‎　‎ ‎16．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=　R（S1+S2+S3+S4）　．‎ ‎【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．‎ ‎【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，‎ 则球心O到四个面的距离都是R，‎ 所以四面体的体积等于以O为顶点，‎ 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．‎ 故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6个小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）‎ ‎17．已知x∈R，a=x2+，b=2﹣x，c=x2﹣x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．‎ ‎【考点】反证法的应用；反证法．‎ ‎【分析】根据题意，首先假设命题错误，即假设a，b，c均小于1，进而可得a+b+c＜3，再分析a、b、c三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立．‎ ‎【解答】证明：假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a+b+c＜3‎ 而a+b+c=2x2﹣2x++3=2+3≥3，‎ 两者矛盾；‎ 故a，b，c至少有一个不小于1．‎ ‎　‎ ‎18．调查某桑场采桑员桑毛虫皮炎发病情况结果如表：利用2×2列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？‎ 分类 采桑 不采桑 总计 患者人数 ‎18‎ ‎12‎ 健康人数 ‎5‎ ‎78‎ 总计 K2=‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】根据所给的表格中的数据，代入求观测值的公式求出观测值，同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．‎ ‎【解答】解：由题意知，a=18，b=12，c=5，d=78，‎ 所以a+b=30，c+d=83，a+c=23，b+d=90，n=113．所以K2=‎ ‎=≈39.6＞10.828．‎ 所以患桑毛虫皮炎病与采桑有关系，认为两者有关系会犯错误的概率是0.1%．‎ ‎　‎ ‎19．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得，‎ ‎，，．‎ ‎（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；‎ ‎（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得，，代入可得b值，进而可得a值，可得方程；‎ ‎（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判；‎ ‎（Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10， ===8， ===2，‎ 故lxx==720﹣10×82=80，lxy==184﹣10×8×2=24，‎ 故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，‎ 故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞‎ ‎0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；‎ ‎（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．‎ ‎　‎ ‎20．已知：在数列{an}中，a1=7，an+1=，‎ ‎（1）请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式．‎ ‎（2）请证明你猜想的通项公式的正确性．‎ ‎【考点】数学归纳法；数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】（1）由a1=7，，代入计算，可求数列的前4项，从而猜想{an}的通项公式；‎ 用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．‎ ‎【解答】解：（1）由已知…‎ 猜想：an=…‎ ‎（2）由 两边取倒数得：⇔，⇔，…‎ ‎⇔数列 {}是以=为首相，以为公差的等差数列，…‎ ‎⇒=+（n﹣1）=⇔a n=…‎ ‎　‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣Sn（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；‎ ‎（Ⅱ）用三段论证明数列{an}是等比数列．‎ ‎【考点】进行简单的演绎推理；数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】（I）由已知中数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣Sn（n∈N*）．将n=1，2，3，4分别代入，可得a1，a2，a3，a4的值，分析规律后，可得an的表达式．‎ ‎（Ⅱ）将等比数列的定义做为大前提，（I）中猜想做为小前提，可得结论：{an}是等比数列．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由an=2﹣Sn，‎ 当n=1时，a1=2﹣S1=2﹣a1，解得：a1=1，‎ 当n=2时，a2=2﹣S2=2﹣a1﹣a2，解得：a2=，‎ 当n=3时，a3=2﹣S3=2﹣a1﹣a2﹣a3，解得：a3=，‎ 当n=4时，a4=2﹣S4=2﹣a1﹣a2﹣a4﹣a4，解得：a4=，‎ ‎…‎ 由此归纳推理得：an=，（n∈N*）． …‎ ‎（Ⅱ）∵通项公式为an的数列{an}，‎ 若=p，p是非零常数，则{an}是等比数列；‎ 因为通项公式an=，‎ 又=；‎ 所以通项公式an=的数列{an}是等比数列．…‎ ‎　‎ ‎22．已知a＞0，求证：﹣≥a+﹣2．‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】用分析法，证明不等式成立的充分条件成立，要证原命题，只要证+2≥a++，即只要证（+2）2≥（a++）2，进而展开化简，可得只要证明：（a﹣）2≥0，易得证明，‎ ‎【解答】证明：要证﹣≥a+﹣2，‎ 只要证+2≥a++．‎ ‎∵a＞0，‎ 故只要证（+2）2≥（a++）2，‎ 即a2++4+4≥a2+2++2（a+）+2，‎ 从而只要证 2≥（a+），‎ 只要证4（a2+）≥2（a2+2+），‎ 即a2+≥2，‎ 即：（a﹣）2≥0，‎ 而上述不等式显然成立，‎ 故原不等式成立．‎