高中数学圆锥曲线详解

高中数学圆锥曲线详解

F A P H B Q 解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典 结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中， arr 221  ，当 r1>r2 时，注意 r2 的最小值为 c-a：第二定义中，r1=ed1， r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最 终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题， 弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为 “设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0)，将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关 系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1） )0(12 2 2 2  bab y a x 与直线相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)，则有 02 0 2 0  k b y a x 。 （2） )0,0(12 2 2 2  bab y a x 与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有 02 0 2 0  k b y a x （3）y2=2px（p>0）与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p. 【典型例题】 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则 PFPH  ，因而易发现， 当 A、 P、F 三点共线时，距离和最小。 x y 0A B C M D 5 F ′ F P H y 0 x A （2）B 在抛物线内，如图，作 QR⊥l 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。 解：（1）（ 2， 2 ） 连 PF，当 A、P、F 三点共线时， PFAPPHAP  最小，此时 AF 的方程为 )1(13 024   xy 即 y=2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 )，（注：另一交点为( 2,2 1  )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去） （2）（ 1,4 1 ） 过 Q 作 QR⊥l 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时， QRBQQFBQ  最小，此时 Q 点的纵坐标为 1，代 入 y2=4x 得 x= 4 1 ，∴Q( ) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 例 2、F 是椭圆 134 22  yx 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。 （1） PFPA  的最小值为 （2） PFPA 2 的最小值为 分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 FP  或准线作出来考 虑问 题。 解：（1）4- 5 设另一焦点为 F ，则 F (-1,0)连 A ,P 542)(22  FAaPAFPaFPaPAPFPA 当 P 是 A 的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为 4- 。 （2）3 作出右准线 l，作 PH⊥l 交于 H，因 a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e= 2 1 ， ∴ PHPFPHPF  2,2 1 即 ∴ PHPAPFPA  2 当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为 314 2  Axc a 例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。 分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点 共线 （如图中的 A、M、C 共线，B、D、M 共线）。列式的主要途径是动圆的 “半径 等于半径”（如图中的 MDMC  ）。 解：如图， MDMC  ， ∴ 26  MBMADBMBMAAC 即 ∴ 8 MBMA （*） ∴点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15 轨迹方程为 11516 22  yx 点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出 4)1()1( 2222  yxyx ，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！ 例 4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= 5 3 sinA,求点 A 的轨迹方程。 分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。 解：sinC-sinB= 5 3 sinA 2RsinC-2RsinB= ·2RsinA ∴ BCACAB 5 3 即 6 ACAB （*） ∴点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为 1169 22  yx （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。 分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设 A(x1,x1 2)，B(x2，X2 2)，又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点 公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。 （2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设 A(x1，x1 2)，B(x2，x2 2)，AB 中点 M(x0，y0) 则       0 2 2 2 1 021 22 2 2 1 2 21 2 2 9)()( yxx xxx xxxx 由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 ① ② ③ x y 0 M A B A1 A2 M1 M2 B1 B2 即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x0 2-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x0 2-4y0)]·[1+(2x0)2]=9 ∴ 2 0 2 00 41 944 x xy   ， 114 9)14(4 944 2 0 2 02 0 2 00  xxxxy ≥ ,5192  4 5 0 y 当 4x0 2+1=3 即 2 2 0 x 时， 4 5)( min0 y 此时 )4 5,2 2(M 法二：如图， 32 222  ABBFAFBBAAMM ∴ 2 3 2 MM ， 即 2 3 4 1 1 MM ， ∴ 4 5 1 MM ， 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。 ∴M 到 x 轴的最短距离为 4 5 点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消 x1，x2，从而形成 y0 关于 x0 的函数，这是一种“设而不 求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利 用梯形的中位线，转化为 A、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁” 时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证 AB 是否能经过焦点 F，而且点 M 的坐标也不能直接得出。 例 6、已知椭圆 )52(11 22  mm y m x 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、 B、C、D、设 f(m)= CDAB  ,（1）求 f(m),（2）求 f(m)的最值。 分析：此题初看很复杂，对 f(m)的结构不知如何运算，因 A、B 来源于“不同系统”，A 在准线上，B 在椭 圆上，同样 C 在椭圆上，D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到 x 轴上，立即可得防 x y F1 F20 A B C D )()(22)(2)()( CDABCDAB Xxxxxxxxmf  )()(2 DACB xxxx  )(2 CB Xx  此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。 解：（1）椭圆 11 22  m y m x 中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点 F1(-1,0) 则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=- )52(12 2  mm m 12 222)()(2 )()(2)( 2121   m mxxxxxx xxxxCDABmf CA CDAB （2） )12 11(212 1122)(   mm mmf ∴当 m=5 时， 9 210)( min mf 当 m=2 时， 3 24)( max mf 点评：此题因最终需求 CB xx  ，而 BC 斜率已知为 1，故可也用“点差法”设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、 C 坐标代入作差，得 01 00  km y m x ，将 y0=x0+1，k=1 代入得 01 100   m x m x ，∴ 120  m mx ，可见 12 2  m mxx CB 当然，解本题的关键在于对 CDABmf )( 的认识，通过线段在 x 轴的“投影”发现 CB xxmf )( 是解此题的要点。 【同步练习】 1、已知：F1，F2 是双曲线 12 2 2 2  b y a x 的左、右焦点，过 F1 作直线交双曲线左支于点 A、B，若 mAB  ， △ABF2 的周长为（ ） A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是 （ ） A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x 3、已知△ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列，且 ACAB  ，点 B、C 的坐标分别为(-1，0)， (1，0)，则顶点 A 的轨迹方程是（ ） A、 134 22  yx B、 )0(134 22  xyx C、 )0(134 22  xyx D、 )00(134 22  yxyx 且 4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1，0)，其长轴长为 4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ） A、 )1(4 9)2 1( 22  xyx B、 )1(4 9)2 1( 22  xyx C、 )1(4 9)2 1( 22  xyx D、 )1(4 9)2 1( 22  xyx 5、已知双曲线 1169 22  yx 上一点 M 的横坐标为 4，则点 M 到左焦点的距离是 6、抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p(-2，0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是 8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个，则 k= 10、设点 P 是椭圆 1925 22  yx 上的动点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，求 sin∠F1PF2 的最大值。 11、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列， 若直线 l 与此椭圆相交于 A、B 两点，且 AB 中点 M 为(-2，1)， 34AB ，求直线 l 的方程和椭圆方程。 12、已知直线 l 和双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 及其渐近线的交点从左到右依次为 A、B、C、D。求证： CDAB  。 【参考答案】 1、C aBFBFaAFAF 2,2 1212  ， ∴ ,24,4 2222 maABBFAFaABBFAF  选 C 2、C 点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离，P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右，则方程为 y2=16x，选 C 3、D ∵ 22 ACAB ，且 ACAB  ∵点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、B、C 三点不共线，即 y≠0，故选 D。 4、A 设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为 4 得 4)2()12(1 22  yx ，∴ 4 9)2 1( 22  yx ①又 c 2 1 ) 7、y2=x+2(x>2) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 M(x，y)，则 2)(),(2,2,2 21 21 21 21 2 2 2 12 2 21 2 1   yyxx yyxxyyxyxy ∵ 2 0   x ykk MPAB ，∴ 222  yx y ，即 y2=x+2 又弦中点在已知抛物线内 P，即 y2<2x，即 x+2<2x，∴x>2 8、4 22,8,4 222  ccba ，令 22x 代入方程得 8-y2=4 ∴y2=4，y=±2，弦长为 4 9、 12  或 y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k2)x2-2kx-2=0 ①      0 01 2k 得 4k2+8(1-k2)=0，k= 2 ②1-k2=0 得 k=±1 10、解：a2=25，b2=9，c2=16 设 F1、F2 为左、右焦点，则 F1(-4，0)F2(4，0) 设  212211 ,, PFFrPFrPF 则      2 21 2 2 2 1 21 )2(cos2 2 crrrr rr   ①2-②得 2r1r2(1+cosθ )=4b2 ∴1+cosθ = 21 2 21 2 2 2 4 rr b rr b  ∵r1+r2 212 rr ， ∴r1r2 的最大值为 a2 ∴1+cosθ 的最小值为 2 22 a b ，即 1+cosθ 25 18 ① ② ④ ⑤ cosθ 25 7 ， 25 7arccos0   则当 2   时，sinθ 取值得最大值 1， 即 sin∠F1PF2 的最大值为 1。 11、设椭圆方程为 )0(12 2 2 2  bab y a x 由题意：C、2C、 cc a  2 成等差数列， ∴ 22 2 24 cacc acc  即 ， ∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2 椭圆方程为 1 2 2 2 2 2  b y b x ，设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 则 1 2 2 2 1 2 2 1  b y b x ① 1 2 2 2 2 2 2 2  b y b x ② ①-②得 02 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1  b yy b xx ∴ 0 2 22  k b y b x mm 即 02 2  k ∴k=1 直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3， 代入椭圆方程即 x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0 ∴3x2+12x+18-2b2=0， 342)218(12123 111 22 21  bxxAB 解得 b2=12， ∴椭圆方程为 11224 22  yx ，直线 l 方程为 x-y+3=0 12、证明：设 A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD 中点为 M(x0，y0)直线 l 的斜率为 k，则         1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 b y a x b y a x ①-②得 022 2 0 2 0  k b y a x ③ 设 ),(),,(),,( 002211 yxMBCyxCyxB  中点为 ， 则         0 0 2 21 2 2 21 2 2 21 1 2 21 1 b y a x b y a x ④-⑤得 022 2 1 0 2 1  kb y a x ⑥ ① ② 由③、⑥知 M、 M  均在直线 022: 22  kb y a xl 上，而 M、 M  又在直线 l 上 ， 若 l 过原点，则 B、C 重合于原点，命题成立 若 l 与 x 轴垂直，则由对称性知命题成立 若 l 不过原点且与 x 轴不垂直，则 M 与 重合 ∴ CDAB  椭圆与双曲线的对偶性质总结 椭 圆 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 22 221xy ab上，则过 0P 的椭圆的切线方程是 00 221x x y y ab. 6. 若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程 是 . 7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 12F PF ，则椭圆的焦点 角形的面积为 12 2 tan 2F PFSb   . 8. 椭圆 （a＞b＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex , 20||MF a ex ( 1( ,0)Fc , 2 ( ,0)Fc 00( , )M x y ). 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦 点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M ),( 00 yx 为 AB 的中点，则 2 2OM AB bkk a   ， 即 0 2 0 2 ya xbK AB  。 12. 若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 22 0 0 0 0 2 2 2 2 x x y y x y a b a b   . 13. 若 在椭圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2 2 2 2 x x y yxy a b a b   . 双曲线 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若 在双曲线 22 221xy ab（a＞0,b＞0）上，则过 的双曲线的切线方程是 00 221x x y y ab. 6. 若 在双曲线 （a＞0,b＞0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则 切点弦 P1P2 的直线方程是 00 221x x y y ab. 7. 双曲线 22 221xy ab（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 12F PF ， 则双曲线的焦点角形的面积为 12 2 t 2F PFS b co    . 8. 双曲线 （a＞0,b＞o）的焦半径公式：( 1( ,0)Fc , 2 ( ,0)Fc 当 00( , )M x y 在右支上时， 10||MF ex a, 20||MF ex a. 当 在左支上时， 10||MF ex a   , 20||MF ex a   9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别 交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于 点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线 （a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),( 00 yx 为 AB 的中点，则 0 2 0 2 ya xbKK ABOM  ，即 0 2 0 2 ya xbK AB  。 12. 若 0 0 0( , )P x y 在 双 曲 线 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 22 0 0 0 0 2 2 2 2 x x y y x y a b a b   . 13. 若 在 双 曲 线 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 内 ， 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 22 00 2 2 2 2 x x y yxy a b a b   . 椭圆与双曲线的经典结论 椭 圆 1. 椭圆 22 221xy ab（a＞b＞o）的两个顶点为 1( ,0)Aa , 2 ( ,0)Aa ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 22 221xy ab. 2. 过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点 00( , )A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点， 则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC bxk ay （常数）. 3. 若 P 为椭圆 22 221xy ab（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, 12PF F , 21PF F ，则 tan t22 ac coac   . 4. 设椭圆 （a＞b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2 中，记 12F PF , 12PF F , 12F F P ，则有 sin sin sin c ea   . 5. 若椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0＜e≤ 21 时，可 在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为 椭 圆 （ a ＞ b ＞ 0 ） 上 任 一 点 ,F1,F2 为二焦点，A 为 椭 圆 内 一 定 点 ， 则 2 1 12 | | | | | | 2 | |a AF PA PF a AF     ,当且仅当 2,,A F P 三点共线时，等号成立. 7. 椭圆 22 00 22 ( ) ( ) 1x x y y ab 与 直 线 0Ax By C   有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 2 2 2 2 2 00()A a B b Ax By C    . 8. 已知椭圆 （a＞b＞0）， O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 OP OQ .（1） 2 2 2 2 1 1 1 1 | | | |OP OQ a b   ;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为 22 22 4ab ab ;（3） OPQS 的最小值是 22 22 ab ab . 9. 过椭圆 （a＞b＞0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 || | | 2 PF e MN  . 10. 已知椭圆 （ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 0( ,0)Px , 则 2 2 2 2 0 a b a bxaa    . 11. 设 P 点是椭圆 （ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 12F PF ，则 (1) 2 12 2| || | 1 cos bPF PF   .(2) 12 2 tan 2PF FSb   . 12. 设 A、B 是椭圆 （ a＞b＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， PAB , PBA , BPA ，c、e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 ， 则 有 (1) 2 2 2 2 2 | cos ||| s abPA a c co    .(2) 2tan tan 1 e .(3) 22 22 2 cotPAB abS ba    . 13. 已知椭圆 22 221xy ab（ a＞b＞0）的右准线l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交 于 A、B 两点,点C 在右准线 上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线 1. 双曲线 22 221xy ab（a＞0,b＞0）的两个顶点为 1( ,0)Aa , 2 ( ,0)Aa ，与 y 轴平行的直线交双曲线 于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 22 221xy ab. 2. 过双曲线 （a＞0,b＞o）上任一点 00( , )A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC bxk ay （常数）. 3. 若 P 为双曲线 （a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, 12PF F , 21PF F ，则 tan t22 ca coca   （或 tan t22 ca coca   ）. 4. 设双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点， 在△PF1F2 中，记 12F PF , 12PF F , 12F F P ，则有 sin (sin sin ) c ea   . 5. 若双曲线 （a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1＜e≤ 21 时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线 （a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则 21| | 2 | | | |AF a PA PF   ,当且仅当 2,,A F P 三点共线且 P 和 2,AF在 y 轴同侧时，等号成立. 7. 双曲线 22 221xy ab（ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 与 直 线 0Ax By C   有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 2 2 2 2 2A a B b C. 8. 已知双曲线 （b＞a ＞0）， O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ . （1） 2 2 2 2 1 1 1 1 | | | |OP OQ a b   ;（2）|OP|2+|OQ|2 的最小值为 22 22 4ab ba ;（3） OPQS 的最小值是 22 22 ab ba . 9. 过双曲线 （a＞0,b＞0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的 垂直平分线交 x 轴于 P，则 || | | 2 PF e MN  . 10. 已知双曲线 （a＞0,b＞0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相 交于点 0( ,0)Px , 则 22 0 abx a  或 22 0 abx a  . 11. 设 P 点是双曲线 （a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 12F PF ， 则(1) 2 12 2| || | 1 cos bPF PF   .(2) 12 2 cot 2PF FSb   . 12. 设 A、B 是双曲线 （a＞0,b＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， PAB , PBA , BPA ，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) 2 2 2 2 2 | cos |||| s | abPA a c co    . (2) 2tan tan 1 e .(3) 22 22 2 cotPAB abS ba    . 13. 已知双曲线 （a＞0,b＞0）的右准线l 与 x 轴相交于点 E ，过双曲线右焦点 F 的直线与 双曲线相交于 A、B 两点,点C 在右准线 上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线 必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.