【推荐】专题3-3-3+函数的最大（小）值与导数-试题君之课时同步君2017-2018学年高二数学人教版（选修1-1）x

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第三章导数及其应用 ‎3.3.3 函数的最大（小）值与导数 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．下列说法正确的是 ‎ A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值 B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值 C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值 D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值 ‎【答案】D ‎【解析】由极值与最值的概念可知应选D．‎ ‎2．函数在上的最大值是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎3．若函数在上的最大值为，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，时，，函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为，故当时，，即，故选D．‎ ‎4．已知函数，，若至少存在一个，使 成立，则实数a的取值范围为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎5．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于函数在开区间上有最小值，则函数的极小值点在内，且在上的单调性是先减再增．，当时，，当，，所以函数的极小值为．又函数在区间上有最小值，所以，由，解得，故选C．‎ 二、填空题：请将答案填在题中横线上．‎ ‎6．若函数在上有最小值，则实数的取值范围为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，则由，得或；由，得，所以是函数的极小值点，因为函数在开区间内有最小值，所以，即，解得．‎ ‎7．已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎8．抛物线与轴所围成的封闭图形的内接矩形的最大面积为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设矩形在第一象限的顶点坐标为，‎ 则抛物线与轴所围成的封闭图形的内接矩形的面积，‎ 所以，令，可得．‎ 当时，；当时，，‎ 所以当时，取得最大值，且．‎ ‎9．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对任意的恒成立等价于对任意的恒成立．令，，则，（8分）‎ 由（1）可知，当时，恒成立，令，得；令，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为，所以，所以，故实数的取值范围为．‎ ‎10．已知函数的导函数，且，其中为自然对数的底数．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______________．‎ ‎【答案】‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎11．已知函数，求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】最大值为，最小值为．‎ ‎【解析】．‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 因此，当时，有极大值，为；当时，有极小值，为，‎ 又，所以函数在上的最大值为，最小值为．‎ ‎12．已知函数在处取得极值．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）若有极大值28，求在上的最小值．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，所以．‎ 由于在点处取得极值，故有，‎ 即，化简得，解得．‎ ‎（2）由（1）知，．令，得．‎ 当时，，故在上为增函数；‎ 当时，，故在上为减函数；‎ 当时，，故在上为增函数．‎ 由此可知在处取得极大值，在处取得极小值．‎ 由题设条件知，得，‎ 此时，‎ 因此在上的最小值为．‎ ‎13．（2015新课标全国II文）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当有最大值，且最大值大于时，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎（2）由（1）知，当时，在上无最大值；‎ 当时，在处取得最大值，最大值为．‎ 因此， ．‎ 令，则在上是增函数，，‎ 于是，当时，；当时，，因此实数a的取值范围是．‎ ‎14．已知函数．‎ ‎（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若存在正数，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）函数的定义域为，，‎ 要使在区间上单调递增，只需，‎ 即在上恒成立即可，‎ 易知在上单调递增，所以只需即可，‎ 易知当时，取最小值，，所以，‎ 故实数的取值范围是．‎ ‎（2）不等式即，即，‎ 令，由题意可得，‎ 易得，‎ 令，则在上单调递增，‎ 又，所以当时，；当时，，‎ 所以当时，；当时，，‎ 故函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，所以．‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎ ‎ ‎ ‎