江苏省无锡市天一中学2018--2019学年高三11月月考 数学试题 Word版含解析
2018-2019学年江苏省无锡市天一中学
高三11月月考 数学试题此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题
1．设集合A={1,2,3,5},B={2,3,6}，则A∪B=_______．
2．命题：“ ∃x>0,使得x+1>0”的否定为__________.
3．函数y=1-xx的定义域为_________.
4．曲线y=x-sinx在x=π2处的切线的斜率为_________.
5．若函数fx=2x+a2x是偶函数，则实数a=______．
6．已知a>0，函数fx=xx-a2和gx=-x2+a-1x+a存在相同的极值点，则a=________．
7．已知函数fx=2sinωx+φ(ω>0).若fπ3=0,fπ2=2，则实数ω的最小值为______.
8．已知函数fx=sinxx∈0,π与函数gx=13tanx的图象交于A,B,C三点，则ΔABC的面积为________.
9．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）＞f（-2），则a的取值范围是______.
10．已知，且， ，则______．
11．在平行四边形中，，则线段的长为 ．
12．已知π4<α<π2，π4<β<π2，且sin2αsin2β=sinα+βcosαcosβ，则tanα+β的最大值为______．
13．设a≠0,e是自然对数的底数，函数f(x)=aex-x,x≤0x2-ax+a,x>0有零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为______．
14．设函数f(x)=(x-a)x-a-xx+2a+1（a<0）．若存在x0∈-1 ， 1，使f(x0)≤0，
则a的取值范围是____．
二、解答题
15．已知sinθ+cosθ=3-12，θ∈-π4 ， π4．
（1）求θ的值；
（2）设函数f(x)=sin2x-sin2x+θ，x∈R，求函数f(x)的单调增区间．
16．如图，在△ABC中，已知AC=7，∠B=45∘，D是边AB上的一点，AD=3，∠ADC=120∘，求：
（1）CD的长；
（2）△ABC的面积.
17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量a=1,0,b=0,2,设向量x=a+1-cosθb,y=-ka+1sinθb，其中0<θ<π.
（1）若k=4，θ=π6，求x⋅y的值；
（2）若x//y，求实数k的最大值，并求取最大值时θ的值.
18．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(-x)=-f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数f(x)=ax2+2x-4a(a∈R)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若f(x)=2x+m是定义在区间[-1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
19．如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，Q为海中一小岛，在水上旅游线AB上．测得tan∠MON=-3，OA=6km，Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km，7105km．
（1）求水上旅游线AB的长；
（2）海中P (PQ=6km，且PQ⊥OM)处的某试验产生的强水波圆P，生成t小时时的半径为r=66t32km．若与此同时，一艘游轮以182km/小时的速度自码头A开往码头B，试研究强水波是否波及游轮的航行？
20．已知函数fx=4x+2lnx，gx=x2+4x-5.
（1）求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
（2）证明：当x≠1时，曲线y=fx恒在曲线y=gx的下方；
（3）当x∈0,k时，不等式2k+1⋅fx≤2x+1⋅gx恒成立，求实数k的取值范围.
2018-2019学年江苏省无锡市天一中学
高三11月月考 数学试题
数学 答 案
参考答案
1．1,2,3,5,6
【解析】
【分析】
直接利用集合并集的定义求解即可.
【详解】
因为集合 A=1,2,3,5,B=2,3,6,
所以A∪B=1,2,3,5,6，故答案为1,2,3,5,6.
【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或属于集合B的元素的集合.
2．∀x>0,x+1≤0
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题，既要改写量词，又要否定结论，可得原命题的否定形式.
【详解】
因为特称命题的否定是全称命题,
既要改写量词，又要否定结论，
故命题“ ∃x>0, x+1>0”
的否定是∀x>0,x+1≤0，故答案为∀x>0,x+1≤0.
【点睛】
本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.
3．(0,1]
【解析】
【分析】
直接由根式内部的代数式大于等于0 ，分式的分母不等于0 ,列不等式求解即可得结果.
【详解】
要使函数y=1-xx有意义，
则1-xx≥0x≠0 ⇒ (1-x)x≥0x≠0解得0
f(-2)可化为f(2|a-1|)>f(2)，则2|a-1|<2，|a-1|<12，解得121，
tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=tanαtanβ21-tanαtanβ
=-tanαtanβ-1+1tanαtanβ-1-2
≤-2tanαtanβ-1×1tanαtanβ-1-2=-4，故答案为-4.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及利用基本不等式求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，，利用基本不等式求最值，注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”.
13．(-∞,0)∪[4,6]
【解析】
【分析】
对a分四种情况讨论，分别判断函数的单调性与最值，根据单调性、最值，判断函数是否有零点，若函数有零点，判断所有零点的和是否不大于6，综合各种讨论结果，即可得结论.
【详解】
①a<0，
x≤0时，f'x=aex-1<0,∴fx在-∞,0单调递减，
且f0=a<0,∴fx在-∞,0有一个小于0的零点；
x>0时，fx在0,+∞单调递增，
∵f1=1，∴fx在0,+∞有一个小于1的零点，因此满足条件.
②a>0
（1）00,∴fx在-∞,0上没有零点.
又∵Δ=a2-4a<0,故fx在0,+∞上也没有零点，因此不满足题意.
(2)10,∴fx在-∞,0上没有零点.
又∵Δ=a2-4a<0，故fx在0,+∞上也没有零点，因此不满足题意.
(3)a=4时，fx=4ex-x,x≤0x2-4x+4,x>0,fx在 -∞,0上没有零点，
fx在0,+∞上只有零点2，满足条件.
(4)a>4时，fx在-∞,0上没有零点，在0,+∞上有两个不相等的零点，
且和为a,故满足题意的范围是40,ω>0,把ωx+φ看作是一个整体，由π2+2kπ≤ωx+φ≤ 3π2+2kπk∈Z求得函数的减区间，-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ求得增区间；②若A>0,ω<0,则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
16．（1）5；（2）75+5538.
【解析】
【分析】
（1）在ΔACD中，AC=7,AD=3,∠ADC=120∘ ,由余弦定理得72=32+CD2-2×3⋅CDcos120∘，解得CD=5；（2）在ΔBCD中，由正弦定理得BDsin75∘=5sin45∘，解得BD=5+532，利用三角形面积公式可得结果.
【详解】
（1）在ΔACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD⋅CDcos∠ADC 72=32+CD2-2×3⋅CDcos120∘，解得CD=5.
（2）在ΔBCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=CDsinB，BDsin75∘=5sin45∘，
解得BD=5+532，
所以SΔABC=SΔACD+SΔBCD=12AD⋅CDsin∠ADC+12CD⋅BDsin∠BDC
=12×3×5sin120∘+12×5×5+532sin60∘ =75+5538.
【点睛】
本题主要考查正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a2=b2+c2-2bccosA；（2）cosA=b2+c2-a22bc，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o,45o,60o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
17．（1）4-43；（2）-439；
【解析】
试题分析：（1）向量数量积问题可以先求向量的坐标，再利用坐标运算；或者先符号运算进行化简，再代入坐标；（2）由向量共线得到k与θ的关系式，用θ表示出k，再利用导数求该函数的最大值，为了便于运算，可以求1k的最小值；
试题解析：（1）（方法1）当k=4，θ=π6时，x=(1 ， 2-3)，y=(-4 ， 4)，
则x⋅y= 1×(-4)+(2-3)×4=4-43．
（方法2）依题意，a⋅b=0，则x⋅y= [a+(1-32)b]⋅(-4a+2b)=-4a2+2×(1-32)b2
=-4+2×(1-32)×4=4-43．
（2）依题意，x=(1 ， 2-2cosθ)，，因为x//y，所以2sinθ=-k(2-2cosθ)，
整理得，1k=sinθ(cosθ-1)，令f(θ)=sinθ(cosθ-1)，
则f'(θ)=cosθ(cosθ-1)+sinθ(-sinθ) =2cos2θ-cosθ-1 =(2cosθ+1)(cosθ-1).
令f'(θ)=0，得cosθ=-12或cosθ=1，又0<θ<π，故θ=2π3.
列表：
θ
(0，2π3)
2π3
(2π3，π)
f'(θ)
-
0
+
f(θ)
↘
极小值-334
↗
故当θ=2π3时，f(θ)min= -334，此时实数k取最大值-439.
考点：1.向量数量积的坐标公式；2.向量共线的坐标公式；3利用导数求函数的最值；
18．(1)∴f(x)是“局部奇函数”，理由见解析；(2)[-54,-1]；(3)[1-3,22].
【解析】
试题分析：（Ⅰ）判断方程f(x)+f(-x)=0是否有解；（Ⅱ）在方程f(x)+f(-x)=0有解时，通过分离参数求取值范围；（Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布.
试题解析：f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f(-x)=0有解．
（Ⅰ）当f(x)=ax2+2x-4a(a∈R)时，
方程f(x)+f(-x)=0即有解x=±2，
所以f(x)为“局部奇函数”． 3分
（Ⅱ）当f(x)=2x+m时，f(x)+f(-x)=0可化为2x+2-x+2m=0，
因为f(x)的定义域为[-1,1]，所以方程2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解． 5分
令t=2x∈[12,2]，则-2m=t+1t．
设g(t)=t+1t，则g'(t)=1-1t2=t2-1t2，
当t∈(0,1)时，g'(t)<0，故g(t)在(0,1)上为减函数，
当t∈(1,+∞)时，g'(t)>0，故g(t)在(1,+∞)上为增函数，． 7分
所以t∈[12,2]时，g(t)∈[2,52]．
所以-2m∈[2,52]，即m∈[-54,-1]． 9分
（Ⅲ）当f(x)=4x-m2x+1+m2-3时，f(x)+f(-x)=0可化为
4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0．
设t=2x+2-x∈[2,+∞)，则4x+4-x=t2-2，
从而t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解即可保证f(x)为“局部奇函数”． 11分
令F(t)=t2-2mt+2m2-8，
1° 当F(2)≤0，t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解，
由F(2)≤0，即2m2-4m-4≤0，解得1-3≤m≤1+3； 13分
2° 当F(2)>0时，t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解等价于
Δ=4m2-4(2m2-8)≥0,m>2,F(2)>0解得1+30)， 由点到直线距离公式得Q(4,2) 求得直线AQ的方程为x+y-6=0，
可得交点B(-3,9)，结合A(6,0)由两点间距离公式可得AB的长；(2) 设试验产生的强水波圆P，生成t小时，游轮在线段AB上的点C处，令h(t)=r2-PC2，求得h(t)=18(12t3-36t2+20t)-68，0≤t≤12，利用导数证明h(t)<0，即r0)，
由3x0+210=7105，及x0>0得x0=4，∴Q(4,2)
∴直线AQ的方程为y=-(x-6)，即x+y-6=0，
由y=-3x,x+y-6=0得x=-3,y=9,即B(-3,9)，
∴AB=(-3-6)2+92=92，即水上旅游线AB的长为92km．
（2）设试验产生的强水波圆P，生成t小时，游轮在线段AB上的点C处，
则AC=182t，0≤t≤12，∴C(6-18t,18t)，
令h(t)=r2-PC2，则∵P(4,8)，r=66t32，
∴h(t)=(66t32)2-[(2-18t)2+(18t-8)2]
=18(12t3-36t2+20t)-68，0≤t≤12，
∴h'(t)=18(12×3t2-36×2t+20)
=72(9t2-18t+5)
=72(3t-1)(3t-5)，0≤t≤12，
由h'(t)=0得t=13或t=53（舍去）
x
(0,13)
(13,12)
h'(t)
+
-
∴ [h(t)]max=h(13)=63×(13)3-[(2-6)2+(6-8)2]=-12<0，
∴0≤t≤12时，h(t)<0，即r0,2x+1>0，可得不等式2k+1fx≤2x+1gx可转化为22k+1lnx≤x2+4x-5，构造函数Hx=22k+1lnx-x2-4x+5，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，可证明Hx的最大值小于零，从而可得结论.
【详解】
（1）f'x=4lnx+2x+4，f'1=6，
故切线方程是y=6x-6.
(2)要使得当x≠1时，曲线y=fx恒在曲线y=gx的下方，
即需证fx0；当x∈1,+∞时，F'x<0，
∴Fx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
即当x=1时，Fx取得最大值F1=0，
∴当x≠1时，Fx0,2x+1>0，
∴不等式2k+1fx≤2x+1gx可转化为22k+1lnx≤x2+4x-5，
构造函数Hx=22k+1lnx-x2-4x+5，
∴H'x=4k+2x-2x-4=-2x2-4x+4k+2x，
在二次函数y=-2x2-4x+4k+2中，开口向下，对称轴x=-1，
且过定点0,4k+2，解得-2x2-4x+4k+2=0，
得x1=-1-2k+2(舍去），x2=-1+2k+2.
①当x21，
此时当x∈0,x2时，H'x>0； x∈x2,k时,H'x<0；
∴当x=x2时，Hx取得最大值，
记为H1x2=22k+1lnx2-x22-4x2+5，
由x2=1+2k+2得2k+1=x22+2x2，
∴H1x2=2x22+2x2lnx2-x22+4x2+5≤0，
而H'1x2=4x2+4lnx2+2x22+2x2x2-2x2-4=4x2+4lnx2，
∴当x2∈0,1时，H'1x2<0，即H1x2在0,1上递减，
当x2∈1,+∞时，H'1x2>0，即H1x2在1,+∞上递增，
∴H1x2在x2=1处取得最小值H11=0，
∴只有x2=1符合条件，此时解得k=1 ，不合条件，舍去;
②当x2=k时，解得k=1，
当x∈0,1时，H'x>0,∴Hx在x∈0,1时取得最大值H1=0，
即当x∈0,1时，Hx≤0恒成立，原不等式恒成立；
③当x2>k时，解得00，
∴Hx在x∈0,k时取得最大值，记为H2k=22k+1lnk-k2-4k+5，
由（2)可知H2k的图象与Fx的图象相同，
∴当0
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