2019届内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三上学期期末考试数学（理）试题

2019届内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三上学期期末考试数学（理）试题

‎2018-2019学年高三（上）期末数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本题共12个小题）‎ ‎1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x＜1}，则A∩B＝（　　）‎ A．（0，1） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．（1，+∞）‎ ‎2．复数＝1﹣i，为z的共轭复数，则+i＝（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i ‎3．甲、乙两名学生在之前五次物理测试中成绩的茎叶图，如图，（　　）‎ ‎①甲的平均成绩低，方差较大 ‎②甲的平均成绩低，方差较小 ‎③乙的平均成绩高，方差较大 ‎④乙的平均成绩高，方差较小 A．①④ B．②③ C．①③ D．③④‎ ‎4．已知双曲线中心为原点，焦点在x轴上，过点（，2），且渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．x2﹣＝1 B．x2﹣4y2＝2 C．x2﹣＝1 D．x2﹣2y2＝1‎ ‎5．已知x，y满足不等式组，则z＝3x﹣2y的最小值为（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣2‎ ‎6．若非零向量，满足||＝||，且（+）⊥（3﹣2），则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图所示的程序框图，若输入m＝10，则输出的S值为（　　）‎ A．10 B．21 C．33 D．47‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数f（x）是奇函数，且x≥0时，f（x）＝2x+x+a，g（x）＝，若函数y＝g（x）+2x﹣b有2个零点，则b的取值范围是（　　）‎ A．（1，2] B．[2，4） C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）‎ ‎10．设O为坐标原点，M为圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝2的圆心，且圆上有一点C（x0，y0）满足•＝0，则＝（　　）‎ A．1或﹣7 B．﹣1或7 C．或﹣1 D．1或﹣‎ ‎11．已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），x∈R，且f（α）＝﹣，f（β）＝．若|α﹣β|的最小值为，则函数f（x）的单调递增区间为（　　）‎ A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） ‎ C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） D．[kπ﹣，kx+]（k∈Z）‎ ‎12．已知∀x∈R有f（﹣x）+2f（x）＝（ex+2e﹣x）（x2﹣3），若函数f（x）在（m，m ‎+1）上是增函数，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[2，+∞） ‎ C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（2x+）6的展开式中，x3的系数为192，则a＝　 　．‎ ‎14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝则sin（A﹣）＝　 　．‎ ‎15．已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，若三棱锥P﹣ABC的体积为，PA＝PB＝AC＝BC，则球O的表面积为　 　．‎ ‎16．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2x的焦点，直线l：y＝m（2x﹣1）与抛物线C交于A，B两点，点A在第一象限，若|AF|＝2|BF|，则m的值为　 　．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a2﹣a4＝20，S3﹣2a1＝8．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）当n为何值时，数列{an}的前n项和最大？‎ ‎18．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且BC＝BD，DD1⊥平面ABCD，AA1＝1，BE⊥CD于点E，点F是A1B1中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AF∥平面BEC1；‎ ‎（Ⅱ）求平面ADF和平面BEC1所成锐二面角的余弦值．‎ ‎19．某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：‎ 等级 一等品 二等品 三等品 重量（g）‎ ‎[165，185]‎ ‎[155，165）‎ ‎[145，155）‎ 若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求x的分布列和数学期望．‎ ‎20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2c，直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线bx﹣y+2c＝0与y轴交于点P，A，B是椭圆C上的两个动点，∠APB的平分线在y轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．‎ ‎21．设f（x）＝xlnx+ax2，a为常数．‎ ‎（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；‎ ‎（2）若f（x）有两个极值点x1，x2且xl＜x2‎ ‎①求证：＜a＜0‎ ‎②求证：f （x2）＞f （x1）＞．‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（，0）为一个顶点．直线l的参数方程是，（t为参数）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与椭圆C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），求线段MN的长度．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．‎ ‎（Ⅰ）解不等式|f（x）|＜4；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，求实数t的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题（本题共12个小题）‎ ‎1．‎ 选：C．‎ ‎2．‎ 选：A．‎ ‎3．‎ 选：A．‎ ‎4．‎ 选：C．‎ ‎5．‎ 选：D．‎ ‎6．‎ 选：A．‎ ‎7．‎ 选：C．‎ ‎8．‎ 选：B．‎ ‎9．‎ 选：B．‎ ‎10．‎ 选：D．‎ ‎11．‎ 选：B．‎ ‎12．‎ 选：A．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．‎ 答案为：1．‎ ‎14．‎ 答案为：‎ ‎15．‎ 答案为：16π．‎ ‎16．‎ 答案为：．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a2﹣a4＝20，S3﹣2a1＝8．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）当n为何值时，数列{an}的前n项和最大？‎ ‎【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d，由2a2﹣a4＝20，S3﹣2a1＝8．利用通项公式可得2（a1+d）﹣（a1+3d）＝20，3a1+3d﹣2a1＝8，解出即可得出．‎ ‎（Ⅱ）令an≥0，解得n．‎ 解：（I）设等差数列{an}的公差为d，∵2a2﹣a4＝20，S3﹣2a1＝8．‎ ‎∴2（a1+d）﹣（a1+3d）＝20，3a1+3d﹣2a1＝8，‎ 联立解得：a1＝17，d＝﹣3．‎ ‎∴an＝17﹣3（n﹣1）＝20﹣3n．‎ ‎（Ⅱ）令an＝20﹣3n≥0，解得n≤．‎ ‎∴当n＝6时，数列{an}的前n项和最大．‎ ‎18．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且BC＝BD，DD1⊥平面ABCD，AA1＝1，BE⊥CD于点E，点F是A1B1中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AF∥平面BEC1；‎ ‎（Ⅱ）求平面ADF和平面BEC1所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据边长与相应的倍数关系，构造平行四边形，即可证明线面平行；‎ ‎（Ⅱ）根据题给条件建立空间直角坐标系，得出相应点的坐标，即可求解．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：因为BC＝BD，BE⊥CD，∴E是CD的中点，‎ 取AB中点G，连B1G，GE，则在菱形ABCD中，EG∥BC，EG＝BC，‎ 因为BC∥B1C1，BC＝B1C1，所以EG∥B1C1，EG＝B1C1，‎ ‎∴四边形B1C1EG为平行四边形，所以C1E∥B1G，‎ 又B1F∥GA，B1F＝GA，∴四边形B1GAF为平行四边形，‎ ‎∴AF∥B1G，所以AF∥C1E，‎ 又AF⊄平面BEC1，C1E⊂平面BEC1，∴AF∥平面BEC1．‎ ‎（Ⅱ）解：以D为原点，以DC，DG，DD1，分别为x，y，z建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 因为已知该四棱柱为直四棱柱，BC＝BD，BC＝CD，‎ 所以三角形BCD为等边三角形，‎ 因为BE⊥CD，所以点E是CD的中点，‎ 故点，，，‎ 设平面ADF的法向量，，‎ 由，得，‎ 取y＝1，得，故，‎ 因为，‎ 所以，所以是平面BEC1的法向量，‎ 设平面ADF和平面BEC1所成锐角为θ，‎ 则，‎ 即平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值为．‎ ‎19．某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：‎ 等级 一等品 二等品 三等品 重量（g）‎ ‎[165，185]‎ ‎[155，165）‎ ‎[145，155）‎ 若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求x的分布列和数学期望．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图先求出每条海鱼平均重量，由此能估计这批海鱼有多少条．‎ ‎（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10＝0.4，则X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和数学期望．‎ 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得每条海鱼平均重量为：‎ ‎＝150×0.016×10+160×0.040×10+170×0.032×10+180×0.012×10＝164（g），‎ ‎∵经销商购进这批海鱼100千克，‎ ‎∴估计这批海鱼有：（100×1000）÷164≈610（条）．‎ ‎（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10＝0.4，‎ 则X～B（3，0.4），‎ P（X＝0）＝＝0.216，‎ P（X＝1）＝＝0.432，‎ P（X＝2）＝＝0.288，‎ P（X＝3）＝＝0.064，‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ 0.216‎ ‎ 0.432‎ ‎ 0.288‎ ‎ 0.064‎ ‎∴E（X）＝3×0.4＝1.2．‎ ‎20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2c，直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线bx﹣y+2c＝0与y轴交于点P，A，B是椭圆C上的两个动点，∠APB的平分线在y轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）因为直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点，故令y＝0，得x＝﹣＝﹣c，又因为离心率为，从而求出b＝2，又因为a2＝b2+c2，求出a的值，从而求出椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）先求出点P的坐标，设直线AB的方程为y＝kx+m，联立方程组，利用根与系数的关系，设A（x1，y1），B（x2，y2），得到k1+k2＝，又因为∠APB的平分线在y轴上，所以 k1+k2＝0，从而求出m的值，得到直线AB的方程为y＝kx+1过定点坐标．‎ 解：（Ⅰ）因为直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点，‎ 故令y＝0，得x＝﹣＝﹣c，‎ ‎∴＝＝，解得b＝2，‎ 又∵a2＝b2+c2＝b2+，解得a＝2，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为：；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得c＝a＝2，‎ ‎∴直线bx﹣y+2c＝0的方程为2x﹣y+4＝0，‎ 令x＝0得，y＝4，即P（0，4），‎ 设直线AB的方程为y＝kx+m，‎ 联立方程组，消去y得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，‎ 则直线PA的斜率k1＝＝k+，‎ 则直线PB的斜率k2＝＝k+，‎ 所有k1+k2＝2k+＝2k+＝，‎ ‎∵∠APB的平分线在y轴上，‎ ‎∴k1+k2＝0，即＝0，‎ 又|PA|≠|PB|，∴k≠0，∴m＝1，‎ ‎∴直线AB的方程为y＝kx+1，过定点（0，1）．‎ ‎21．设f（x）＝xlnx+ax2，a为常数．‎ ‎（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；‎ ‎（2）若f（x）有两个极值点x1，x2且xl＜x2‎ ‎①求证：＜a＜0‎ ‎②求证：f （x2）＞f （x1）＞．‎ ‎【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式计算即可得到a＝1；‎ ‎（2）①由题意可得f′（x）＝0有两个不等的实根x1，x2，且0＜x1＜x2，设g（x）＝lnx+1+2ax，求出导数，对a讨论，分a≥0，a＜0，求出单调区间和极值，令极大值大于0，即可得到a的范围；‎ ‎②由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有f（x2）＞f（x1），求出x1∈（0，1），设h（x）＝（xlnx﹣x），0＜x＜1，求出导数，判断单调性，运用单调性，即可得到所求范围．‎ 解：（1）f（x）＝xlnx+ax2的导数为f′（x）＝lnx+1+2ax，‎ 在x＝1处的切线斜率为k＝1+2a，切点为（1，a），‎ 在x＝1处的切线过点A（0，﹣2），则k＝1+2a＝a+2，‎ 解得a＝1；‎ ‎（2）证明：①由题意可得f′（x）＝0有两个不等的实根x1，x2，且0＜x1＜x2，‎ 设g（x）＝lnx+1+2ax，g′（x）＝+2a，x＞0．‎ 当a≥0，则g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，不合题意；‎ 当a＜0时，g′（x）＞0解得x＜﹣，g′（x）＜0解得x＞﹣，‎ 即有g（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．‎ 即有g（﹣）＝ln（﹣）＞0，解得﹣＜a＜0；‎ ‎②由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有f（x2）＞f（x1），‎ f′（1）＝g（1）＝1+2a＞0，则x1∈（0，1），由①可得ax1＝，‎ 即有f（x1）＝x1lnx1+ax12＝（x1lnx1﹣x1），‎ 设h（x）＝（xlnx﹣x），0＜x＜1，‎ h′（x）＝lnx＜0在（0，1）恒成立，‎ 故h（x）在（0，1）递减，故h（x）＞h（1）＝﹣，‎ 由此可得f（x1）＞﹣，‎ 综上可得，f （x2）＞f （x1）＞．‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（，0）为一个顶点．直线l的参数方程是，（t为参数）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与椭圆C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），求线段MN的长度．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用及一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．‎ 解：（Ⅰ）椭圆C以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（，0）为一个顶点．‎ 所以c＝1，a＝，b＝1，‎ 所以椭圆的方程为，转换为极坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程是，（t为参数）．转换为直角坐标方程为2x+y﹣2＝0．‎ 设交点M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 所以，整理得9x2﹣16x+6＝0，‎ 所以，，‎ 所以|x1﹣x2|＝＝．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．‎ ‎（Ⅰ）解不等式|f（x）|＜4；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由绝对值不等式的解法，化简可得所求解集；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1恒成立，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值，运用二次不等式的解法，可得所求范围．‎ 解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x+3|﹣2，‎ 不等式|f（x）|＜4即为﹣4＜f（x）＜4，‎ 即﹣4＜|x+3|﹣2＜4，即有﹣2＜|x+3|＜6，‎ 所以|x+3|＜6，即﹣6＜x+3＜6，可得﹣9＜x＜3，‎ 则原不等式的解集为（﹣9，3）；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，‎ 可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1恒成立，‎ 由|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，‎ 可得﹣t2+4t+1≥4，即t2﹣4t+3≤0，‎ 解得1≤t≤3．‎ 则实数t的取值范围是[1，3]．‎