数学理卷·2018届福建省泉港一中高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届福建省泉港一中高二上学期期末考试（2017-01）

泉港一中2016-2017学年高二上学期 数学（理）期末考试卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个答案是正确的.）‎ ‎1.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为时，则输入的值为（ ）‎ A．或． B． C．或 D.‎ ‎2.命题“若，则且”的逆否命题是（ ）‎ A．若，则且 ‎ B．若，则或 C．若且，则 ‎ D．若或，则 ‎3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值＝（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎4.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎5.向量＝（2,4,x）,＝（2,y,2），若||＝6,且⊥，则x＋y的值为（ ）‎ A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1‎ ‎6.下列命题中正确的是（ ）‎ A．若为真命题，则为真命题 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“若，则”的否命题为：“若，则”‎ D．已知命题：，，则：，‎ ‎7.命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.三棱锥中，分别是的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9.曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，则△的面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 已知函数的导函数是且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）‎ 二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 若且为共线向量，则=____‎ ‎14.在上随机取一个实数，能使函数在上有零点的概率为____‎ ‎15.已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，，当周长最小时，该三角形的面积为 .‎ ‎16.我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线．如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：‎ ‎①若，则该双曲线是黄金双曲线；‎ ‎②若为左右焦点，为左右顶点，（0，），‎ ‎（0，﹣）且，则该双曲线是黄金双曲线；‎ ‎③若经过右焦点且，，则该双曲线是黄金双曲线．‎ 其中正确命题的序号为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分10分）某单位N名员工参加某社区活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图和年龄的频率分布表如下：‎ 区间 ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ ‎[40，45）‎ ‎[45，50]‎ 人数 ‎25‎ ‎25‎ a ‎（1）求正整数a，N的值；‎ ‎（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取 6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？‎ ‎（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知在时有极大值6，在时有极小值.‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎19. （本小题满分12分）若抛物线的顶点是原点，焦点是双曲线x2﹣y2=1的右顶点。‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若直线过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA=4,点D是AB的中点。‎ A D B C ‎（1）求证：AC//平面CDB；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知点，，直线与直线相交于点，直线与直线的斜率分别记为与，且．‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过定点作直线与曲线交于两点，的面积是否存在最大值？若存在，求面积的最大值.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若在区间上的最大值为，求的值；‎ ‎（3）若时，有不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 泉港一中2016-2017学年高二上学期数学（理）期末考试卷（答案）‎ ‎1. A 2. D 3. D 4. A 5. C 6. B 7. B 8. D 9. C 10. C 11. B 12 D ‎13. 6 14. 15. 16 ①②③ ‎ ‎17.解：（1）a=100．总人数． ……………….(2分)‎ ‎（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：‎ 第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，‎ ‎∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ……………….(5分)‎ ‎（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：‎ ‎（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共有15种．‎ 其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），共有8种．‎ 所以恰有1人年龄在第3组的概率为．……………….(10分)‎ ‎18. 解（1），由条件知 解得，，.……………….(6分)‎ ‎（2），‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 由上表知，在区间上，当时，；当时，.….(12分)‎ ‎19.解：（1）由x2﹣y2=1，可得a2=b2=1，则双曲线的右顶点为（1，0）‎ 即抛物线的焦点坐标为（1，0），则，p=2. ∴抛物线方程为y2=4x；……….(5分)‎ ‎（2）假设存在直线l，使得C恰为弦MN的中点，设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则，两式作差得：，即．‎ ‎∴直线l的斜率为2.此时l的方程为y﹣1=2（x﹣2），即为2x﹣y﹣3=0.‎ 联立直线方程与双曲线方程后判别式大于0，‎ ‎∴满足条件的直线方程为2x﹣y﹣3=0. ……………….(12分)‎ ‎20解：因为直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5所以两两垂直，以C为坐标原点，直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 ‎（1）设,则,故 所以,即 因为平面,平面,所以AC//平面CDB…………….(6分)‎ ‎（2）可求得平面的一个法向量为，取平面CDB的一个法向量为 ‎，则，由图可知，二面角B-DC-B1的余弦值为…….(12分)‎ ‎21.（Ⅰ）设，则，‎ 所以所以（未写出范围扣一分）……………….(6分)‎ ‎（Ⅱ）由已知当直线的斜率存在，设直线的方程是，‎ 联立，消去得，‎ 因为，所以，‎ 设，‎ 当且仅当时取等号，面积的最大值为．……………….(12分)‎ ‎22.解（1）易知定义域为，，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ ‎∴在上是增函数，在上是减函数.……………….(3分)‎ ‎ (2）∵，，，‎ ‎①若，则，从而在上是增函数，∴，不合题意.‎ ‎②若，则由，即，若，在上是增函数，由①知不合题意.‎ 由，即.从而在上是增函数，在为减函数，∴，所以，∵，∴所求的.…….(8分)‎ ‎(3)∵时，恒成立，∴，令，∴恒大于，∴在为增函数，∴，∴.……….(12分)‎