数学卷·2017届河北省定州中学高三（承智班）下学期周练（4

数学卷·2017届河北省定州中学高三（承智班）下学期周练（4

河北定州中学2016-2017学年第二学期 高三数学周练试题（4.9）‎ 一、选择题 ‎1．已知函数，设表示， 二者中较大的一个.函数.若，且， ，使得成立，则的最小值为（ ）‎ A. -5 B. -4 C. D. -3‎ ‎2．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为.若，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．设若是的最小值，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．数列前项和是，且满足， ， ，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．定义运算： ，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知满足，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知函数的图象上存在点.函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．设集合，记中的元素组成的非空子集为，对于，中的最小元素和为，则（ ）‎ A. 32 B. 57 C. 75 D. 480‎ ‎11．设定义在区间上的函数是奇函数，且.若表示不超过的最大整数，是函数的零点，则（ ）‎ A. B. 或 C. D. ‎ ‎12．已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎13．在长方体中,底面是边长为的正方形, , 是的中点,过作平面与平面交于点,则与平面所成角的正切值为__________．‎ ‎14．对于函数：①，②，③，判断如下三个命题的真假：‎ 命题甲： 是偶函数；‎ 命题乙： 在上是减函数，在上是增函数；‎ 命题丙： 在是增函数．‎ 则能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是__________．‎ ‎15．设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上任一点，当的最小值为时，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．‎ ‎16．已知为平面区域：内的整点（，均为整数的点）的个数，其中，记，数列的前项的和为，若存在正整数，，使得成立，则的值等于__________．‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17．已知圆与直线相切，设点为圆上一动点， 轴于，且动点满足，设动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）直线与直线垂直且与曲线交于两点，求面积的最大值．‎ ‎18．已知函数曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若存在实数，对任意的，都有，求整数的最小值.‎ ‎19．已知椭圆过点，且的离心率为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过的顶点作两条互相垂直的直线与椭圆分别相交于两点.若的角平分线方程为，求的面积及直线的方程.‎ ‎20．在四边形中，已知，，点在轴上，，且对角线．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若点是直线上任意一点，过点作点的轨迹的两切线，为切点，直线是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．‎ 参考答案 ‎1．A ‎【解析】A 由题意得 . 作函数 的图像如图所示.当 时.方程两根分别为 和 .则 的最小值为 .‎ ‎ ‎ ‎2．B ‎【解析】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，① 由抛物线的性质可知, ， ，则， ∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则， 由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即 ‎， 代入整理得： ②， 由①②，解得：x0=2，p=2， ∴ ， 故选：B．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.‎ ‎3．D ‎【解析】.若，则当时，函数的最小值为， ，不符合题意.排除两个选项.若，则当时，函数，最小值为，当时，根据对勾函数的性质可知，当时，函数取得最小值为，故符合题意，排除，故选.‎ 点睛：本题主要考查分段函数的的最值，考查了二次函数的最值和利用对勾函数的图像和性质来求最值.首先注意到是属于函数第一段表达式的，故先将求出来.由于第一段表达式是二次函数的形式，且跟轴有唯一交点，此时，故需要才能符合题意.对于第二段，需要用对勾函数的图像和性质来求最小值.‎ ‎4．D ‎【解析】由题意，得， ， ，即奇数项、偶数项分别形成等比数列，则；故选D.‎ ‎5．B ‎【解析】由题意，得，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为，因为为偶函数，所以，即，则即的最小正值是；故选B.‎ 点睛：本题的易错点在于：由的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数应为 ‎，而容易得到“”的错误答案.‎ ‎6．D ‎【解析】 因为是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，‎ ‎ 所以在上单调递增，‎ 又，所以，所以，‎ 所以，所以或，‎ 可解得的取值范围是，故选D.‎ ‎7．D ‎【解析】 由题意，令，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，所以 ‎ 所以 ‎ ‎ 所以，故选D.‎ 请在此填写本题解析!‎ ‎8．D ‎【解析】由题意可得该三棱锥的面是边长为的正三角形，且平面，设三棱锥的外接球球心为，的外接圆的圆心为，则平面，所以四边形为直角梯形.由,及，可得，即为外接球半径，故其表面积为.‎ 点睛：设几何体底面外接圆半径为 ‎,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心 ‎9．A ‎【解析】由题知有解，令，，故函数在递减，在递增，所以，解得.‎ 点睛：本题主要考查图像的对称性，考查函数导数与单调区间、极值的求解.题目论述两个函数图像上存在点关于原点对称，即其中一个函数对称之后和另一个函数有交点，将分离常数后利用导数，即可求得的取值范围.在利用导数求单调区间的过程中，要注意定义域的范围.‎ ‎10．B ‎【解析】 ，当中最小元素为 的集合共有 ，当中最小元素为 的集合共有 ，当中最小元素为 的集合共有 ，当中最小元素为 的集合共有 ，当中最小元素为 的集合共有 ，故当中最小元素为和 。故选B。‎ ‎11．C ‎【解析】由奇函数的定义可得，即，也即；当时，，则，与题设不符，所以，由，所以。由于，所以若时，，则函数的零点；则由题设中的新定义的概念可得。若时，，则函数无零点，则由题设中的新定义的概念可得，应选答案C。‎ 点睛：本题旨在考查函数与方程思想、等价转化与化归的数学思想、数形结合的数学思想，求解时先运用奇函数的定义求出函数的解析式中的参数的值，再求函数的定义域为，然后依据函数与方程的关系，借助函数零点的判定方法分析推断，最终使得问题获解。‎ ‎12．D ‎【解析】曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，有两个不同的解，即得有两个不同的解，设，则，在上递减，在上递增时，函数取得极小值又因为当时总有，所以可得数的取值范围是，故选D.‎ ‎13．‎ ‎【解析】连结AC、BD，交于点O， ∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD， ∴BD⊥平面ACC1A1， 则当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE， ∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1， ∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角， 在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，则 ， ∵A1C1=2AO=√2AB=2， ， ∴，∴AF=， ∴ ． ∴CF与平面ABCD所成角的正切值为 ． 故答案为： ．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查线面角的正切值的求法,平面内相似三角形的应用，线面垂直性质的应用，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养,仔细计算即可得出正确答案.‎ ‎14．②‎ ‎【解析】对于第一个，令， ,从而可知不是增函数，不符合命题丙.对于第三个， 不是偶函数，不符合命题甲.对于第二个， ，为偶函数，符合命题甲，由于是对称轴为的偶函数，且开口向上，符合命题乙. 为上的增函数，符合命题丙，故第二个函数符合题意.‎ 点睛:本题主要考查函数的单调性与奇偶性.对于命题甲的判断，只需要先将的表达式求解出来，利用奇偶性的定义来判断即可.对于命题乙的判断，需要我们根据所给函数的单调性来具体判断.对于命题丙，需要先求出的表达式，然后根据表达式来判断.‎ ‎15．‎ ‎【解析】由定义得： ，当且仅当即时取得等号。设 ，依焦半径公式得。‎ ‎16．1‎ ‎【解析】当时，，即有个整点；当时，，即有个整点；综上，则，故，代入不等式可得，即，也即，所以，即存在整数满足，应填答案。‎ 点睛：解答本题的关键是依据题设条件，先求出数列的解析式，继而求出及，再运用已知条件分析推证不等式成立的条件，从而探求出满足题设条件的，使得问题 获解。‎ ‎17．（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）先利用直线和圆相切求出圆的方程，再利用平面向量共线和“相关点法”求曲线的方程；（2）利用两直线间的垂直关系设出直线方程，再联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和三角形的面积公式得到表达式，再利用基本不等式求其最值.‎ 试题解析：（1）设动点， ，因为轴于，所以，‎ 由题意得： ，‎ 所以圆的方程为.‎ 由题意， ，所以，‎ 所以，即 将代入圆，得动点的轨迹方程.‎ ‎（2）由题意可设直线，设直线与椭圆交于， ，‎ 联立方程，得，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ 又因为点到直线的距离， ，‎ ‎.‎ ‎（当且仅当，即时取到最大值）‎ ‎∴面积的最大值为．‎ ‎18．（1）;（2）2.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用切点和斜率，求得曲线在处的切线方程，通过对比系数可求得.（2）由（1）可判断函数为偶函数，将原不等式两边取对数，可得，去绝对值后利用分离常数法，并利用导数可求得的取值范围，进而求得的取值和取值的最小值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）时，，，.‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即.‎ 又曲线在点处的切线方程为，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，显然对于任意恒成立，‎ 所以为偶函数，.‎ 由得，‎ 两边取以为底的对数得，‎ 所以在上恒成立.‎ 设，‎ 则（因为），‎ 所以 .‎ 设，易知在上单调递减，‎ 所以，故，‎ 要此不等式有解必有，又，‎ 所以满足要求，故所求的最小正整数为2.‎ 点睛：本题主要考查导数与曲线的切线方程求解，考查导数与恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法.第一问由于题目设计到曲线的切线方程，故利用导数，求出切点对应的斜率，再利用点斜式得出切线的方程，通过对比系数可得出参数的值.恒成立问题主要解法是分离常数法，分离常熟后往往利用导数来求得最值，进而求出常数的取值范围.‎ ‎19．（1）;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆离心率和椭圆上一点的坐标，列方程组，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）设出过点的直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，求得点的横坐标，由此得到，利用角平分线上的点到两边的距离相等建立方程，可求得斜率，由此求得三角形面积和直线方程.‎ 试题解析：‎ ‎（1）把点代入中，得，又，∴，‎ 解得，，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设过斜率为的直线为，代入椭圆方程得 ‎，①‎ 则，‎ ‎∴ ，②‎ 在直线上取一点，则到直线的距离为，‎ 点到直线的距离为，‎ 由已知条件，解得或.‎ 代入②得，，‎ ‎∴的面积 .‎ 由①得，.‎ ‎∴的方程为，即.‎ 点睛：本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系.考查化归与转化的数学思想方法和角平分线的几何性质.第一问求椭圆的标准方程，需要两个条件，一个是椭圆的离心率，另一个是椭圆上一点的坐标，根据这两个条件列方程组即可求得椭圆方程.第二问需要用到角平分线上的点到两边距离相等这一性质来建立方程.‎ ‎20．（1）．（2）直线恒过定点 ‎【解析】试题分析：（1）设点 ，则点，利用 ,可得 的坐标，再利用 即可得结论；（2）对函数 求导即可得切线的斜率，设切点 ，可得切线方程为 ，设点，由于切线过点 ，得 ，设点，则是方程的两 个实数根，利用根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可点的坐标，求出斜率， 即可得到直线 的方程，可得到定点。‎ ‎（1）设点 ，则，∴，．‎ ‎∵，∴，即．‎ ‎（2）对函数求导数．‎ 设切点，则过该切点的切线的斜率为，‎ ‎∴切线方程为．‎ 设点，由于切线经过点，∴．‎ 化为．‎ 设点，．‎ 则是方程的两个实数根，∴，‎ ‎，设为中点，∴.‎ ‎∴ ‎ ‎∴点 又∵‎ ‎∴直线的方程为，即（*）‎ ‎∴当时，方程（*）恒成立.‎ ‎∴对任意实数，直线恒过定点.‎ 点睛：熟练掌握向量垂直与数量积的关系、直线与抛物线相切问题、根与系数的关系、直线的点斜式及其直线过定点问题等是解题关键。‎