2018-2019学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中高一下学期优生联考 数学

2018-2019学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中高一下学期优生联考 数学

‎2018-2019学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中高一下学期优生联考 数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. ‎ ‎1．已知全集，集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．若直线:过点，则直线  与 ： ( )‎ A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．相交于点 ‎3．设，则的大小关系为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设是两个不同的平面， 是一条直线，则以下命题正确的是 ( )‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎5．已知函数，若，则等于 ( )‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎6．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为 ( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7、如图，为正方体，下面结论：①平面；②；③平面；④直线与所成的角为45°．其中正确的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．已知函数（其中为自然对数的底数），且满足，则的值 ( )‎ A．一定大于零 B．一定小于零 C．可能等于零 D．一定等于零 ‎ ‎9．函数的大致图象是 ( )‎ ‎ A B C D ‎10、设函数 ， 若关于的方程有7个不等的实数根，则有（ ）‎ A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 ‎11、（ ）‎ ‎ ‎ ‎12．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”‎ ‎；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．‎ 已知直线，，和圆相切，则的取值范围是 ( )‎ A．或 B．或 ‎ C．或 D.或 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． ‎ ‎13、已知三棱柱所有棱长都等于1，侧棱垂直于底面，且点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ．‎ ‎14、设 若 则实数的取值范围是 ‎ ‎15、三棱锥中，平面平面，均为边长是的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为 ‎ ‎16、若四面体的三组对棱分别相等，即，，，‎ 则 .(写出所有正确结论的编号) ‎ ‎① 四面体每个面的面积相等 ‎② 四面体每组对棱相互垂直 ‎③ 连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分 ‎④ 从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长 三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，第18—22题每题12分，共70分． ‎ ‎17、已知，若函数在区间上的最大值为，‎ 最小值为，令.‎ ‎（1）求的函数解析式；‎ ‎（2）不要证明，请直接写出函数的单调区间，并求的最大值.‎ ‎18、如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，为与的交点，为棱上一点．‎ ‎（1）证明：平面⊥平面；‎ ‎（2）若平面，求三棱锥的体积.‎ ‎19．已知平面五边形是轴对称图形(如图1)，BC为对称轴，AD⊥CD，AD=AB=1，，将此五边形沿BC折叠，使平面ABCD⊥平面BCEF，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.‎ ‎（1）证明：AF∥平面DEC；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20、如图,点,直线,设圆的半径为,圆心在上.‎ ‎(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;‎ ‎(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.‎ x y A l O ‎21、已知函数，函数．‎ ‎（1）若，不等式在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2） 已知，若函数在区间内有且只有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎22、已知圆经过两点，且圆心在直线上．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）设圆与轴相交于、两点，点为圆上不同于、的任意一点，直线、‎ 交轴于、点．当点变化时，以为直径的圆是否经过圆内一定 点？请证明你的结论．‎ 高一联考 数学参考答案 一、 选择题 （每小题5分，共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C B C C A D B A C C D 二、 填空题 （每小题5分，共20分）‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎（0，1）‎ ‎①③④‎ 三、 解答题 （本大题共6小题，共70分）‎ ‎17、解：（1），由得，‎ 则. --------------------------2分 当，即时，；‎ 当，即时，，（4分）‎ 则. ---------------------------------------6分 ‎（2）在上单调递减，在上单调递增，且的图像连续不断 又 ，所以的最大值是 -------------10分 ‎ ‎ ‎18、解：（1）平面，平面，∴.‎ 四边形是菱形，∴，又，∴平面，‎ 而平面，∴平面⊥平面. --------------6分 ‎（2）如图，连接，‎ 平面，平面平面，.‎ 是的中点，是的中点.‎ 取的中点，连接，‎ 四边形是菱形，，，‎ 又，平面，. ‎ 则.‎ 故三棱锥的体积为. -----------------12分 ‎19、解：（1）如图，过D作DG⊥BC于点G，连接GE，‎ BC为对称轴，所以AB⊥BC，则有AB∥DG，又AB⊂平面ABF，‎ 所以DG∥平面ABF，同理EG∥平面ABF.‎ 又DG∩EG=G，所以平面DGE∥平面ABF.‎ 又平面AFED∩平面ABF=AF，平面AFED∩平面DGE=DE，‎ 所以AF∥DE，‎ 又DE⊂平面DEC，所以AF∥平面DEC.--------------6分 ‎（2）如图，过G作GH⊥AD于点H，连接HE. ‎ ‎∵平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD∩平面BCEF=BC，‎ 由（1）知EG⊥BC，所以EG⊥平面ABCD，所以EG⊥AD.‎ 又EG∩HG=G，所以AD⊥平面EHG，则AD⊥HE，‎ 则∠EHG即为二面角的平面角 由AD⊥CD，AD=AB=1，，得G为BC的中点，‎ ‎，，.‎ 因为为直角三角形，所以，‎ 则二面角的余弦值为.--------------12分 ‎20、解:(1)由得圆心C为(3,2),∵圆的半径为 ‎ ∴圆的方程为: ‎ 显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,‎ 即 ∴‎ ‎∴‎ ‎∴∴或者 ‎ ‎∴所求圆C的切线方程为:或者 即 或 ‎ ‎(2)解:∵圆的圆心在直线上 ,设圆心C为(a,2a-4) ‎ 则圆的方程为: ‎ 又∵‎ ‎∴设M为(x,y), 则 整理得:,设为圆D ‎ ‎∴点M应该既在圆C上又在圆D上， 即:圆C和圆D有交点 ‎ ‎∴ ‎ 解得 , 综上所述，的取值范围为:‎ ‎21、（1）依题意得，即在上恒成立，‎ 转化为在上恒成立，‎ 在上恒成立， ………………………………………2‎ 转化为在上恒成立，‎ 令，则转化为在上恒成立……………………4分 即， ‎ 所以 ． …………………………………………………………6分 ‎（2），‎ 设，‎ 则原命题等价于两个函数的图像在区间内有唯一交点．‎ 当时，在内为减函数，为增函数，‎ 且，‎ 函数在区间有唯一的交点；……………………………………………………………7分 当时，图像开口向下，对称轴为， 在内为减函数，为增函数，且，……………………………………………………………………9分 当时，图像开口向上，对称轴为， 在内为减函数，为增函数，则由， ………………………………………………11分 综上，所求的取值范围为 ………………………………………………12分 ‎22.解：（1）设圆圆心为，由得，‎ ‎， ……………1分 解得，，…………………………………………2分 半径为，……………………3分 所以圆：…………………………………………4分 ‎（2）设P(，)(≠0)，则＋＝4．‎ 又A(－6，0)，B(－2，0)，‎ 所以：y＝(x＋6)，M(0，)，‎ ‎：y＝(x＋1)，N(0，)． …………………………………6分 圆的方程为＋＝．………8分 化简得＋－(＋)y－12＝0，………………………10分 由动点P(，)关于轴的对称性可知，定点必在轴上，‎ 令y＝0，得x＝．又点(，0)在圆内，‎ 所以当点P变化时，以MN为直径的圆经过定点．………12分