数学文卷·2019届河北省阜城中学高二上学期第六次月考（2018-01）

数学文卷·2019届河北省阜城中学高二上学期第六次月考（2018-01）

‎2017学年高二年级第6次月考试题 文科数学 一、选择题：每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.命题“，使”的否定是（ ）‎ A．，使 B．不存在，使 ‎ C．，使 D．，使 ‎3.命题“若，则”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题个数为（ ）‎ A． 0 B．2 C． 3 D． 4‎ ‎4.已知双曲线的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知两条直线，，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎6.过抛物线上的点的切线的倾斜角（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知椭圆的两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）‎ A． B． C. 2 D．3‎ ‎9.已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎10.已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知双曲线：的右顶点为，过右焦点的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设函数，曲线在点处的切线方程为，则实数的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎13.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D． 3‎ ‎14.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎15.设，是的导函数，则 ．‎ ‎16.若满足，则 ．‎ ‎17.已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在准线上，若，且直线的斜率，则的面积为 ．‎ ‎18.函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （每题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎19. 已知函数，且在处.‎ ‎（1）求的值；并求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间.‎ ‎20. 已知双曲线：.‎ ‎（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且，求实数的值；‎ ‎（2）过点作直线与双曲线交于不同的两点，若弦恰被点平分，求直线的方程.‎ ‎21. 已知抛物线与直线相交于.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当的面积等于时，求的值.‎ ‎22.已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于 两点，的面积为，椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围.‎ ‎23.设函数，其中为实数.‎ ‎（1）已知函数是奇函数，直线是曲线的切线，且，，求直线的方程；‎ ‎（2）讨论的单调性.‎ ‎2017学年高二年级第6次月考文科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ D D B C A B D C B A B A C A 二、 填空题 15. ‎ 16.‎ ‎17. 18.‎ 三、解答题 ‎19.函数的导数为，因为函数在x=1处=0，‎ 所以f'（1）=﹣2+a﹣1=0，解得a=3．‎ 所以f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx，，‎ 所以f（2）=﹣4+6+1﹣ln2=3﹣ln2，，‎ 所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 由，即2x2﹣3x+1＜0，解得，即函数的增区间为（）．‎ 由，得2x2﹣3x+1＞0，解得，‎ 即函数的减区间为（0，）和（1，+∞）．‎ ‎20.解：（Ⅰ）分别设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2）‎ 由，消y可得，x2﹣4mx+2（m2﹣1）=0，‎ ‎∴x1+x2=4m，x1•x2=2（m2﹣1），‎ ‎∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=16m2﹣8（m2﹣1）=8（m2+1），‎ ‎∴|AB|=•=4，解得m=±2，‎ ‎（Ⅱ）分别设M，N的坐标为（x3，y3），（x4，y4），可得y32﹣x32=1，y42﹣x42=1，‎ 两式相减，可得（y3﹣y4）（y3+y4）=（x3﹣x4）（x3+x4），‎ 由点P（1，2）为MN的中点，‎ 可得x3+x4=2，y3+y4=4，‎ ‎∴4（y3﹣y4）=×2（x3﹣x4），∴kMN==4 经检验 即直线l的方程为y﹣2=4（x﹣1），即为4x﹣y﹣2=0‎ ‎21.解：（1）由方程y2=﹣x，y=k（x+1）‎ 消去x后，整理得ky2+y﹣k=0．‎ 设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1•y2=﹣1．‎ ‎∵A、B在抛物线y2=﹣x上，∴y12=﹣x1，y22=﹣x2，y12•y22=x1x2．‎ ‎∵kOA•kOB=•===﹣1，∴OA⊥OB．‎ ‎（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，‎ ‎∴令y=0，则x=﹣1，即N（﹣1，0）．‎ ‎∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|•|y1﹣y2|，‎ ‎∴S△OAB=•1•=．‎ ‎∵S△OAB=，∴=．解得k=±．‎ ‎22.解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，‎ 由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，‎ 又∵，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：x2+．‎ ‎（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，‎ ‎∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，‎ 当m≠0时，由+λ=4，得，‎ ‎∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，‎ 由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0‎ 且x1+x2=，x1x2=．由得x1=﹣3x2‎ ‎3（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0‎ 显然m2=1不成立，∴‎ ‎∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．‎ 解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．‎ 综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}‎ ‎23.解：（1）∵，‎ ‎∴f′（x）=ax2﹣x﹣（a+1）‎ 则g（x）=f（x）﹣f′（x）=﹣ax2+x+（a+1）=‎ ‎∵函数g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数∴+a=0即a=﹣则f′（x）=﹣x2﹣x﹣‎ ‎∵l1⊥l2，l2：x﹣2y﹣8=0‎ ‎∴l1的斜率为﹣2，即f′（x）=﹣x2﹣x﹣=﹣2解得x=1或﹣3‎ 即切点为（1，﹣）或（﹣3，1）‎ ‎∴直线l1的方程为6x+3y﹣1=0或2x+y+5=0‎ ‎（2）f′（x）=ax2﹣x﹣（a+1）=（ax﹣a﹣1）（x+1）‎ 当a=0时，f′（x）=﹣x﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＜0‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），单调递减区间为（﹣1，+∞）‎ 当a＞0时，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1+）时，f′（x）＜0，当x∈（1+，+∞）时，f′（x）＞0‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1+，+∞）单调递减区间为（﹣1，1+）‎ 当﹣＜a＜0时，当x∈（﹣∞，1+）时，f′（x）＜0，当x∈（1+，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＜0‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间为（1+，﹣1）单调递减区间为（﹣∞，1+），（﹣1，+∞）‎ 当a=﹣时，f′（x）≤0恒成立，即函数单调递减区间为（﹣∞，+∞）‎ 当a＜﹣时，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣1，1+）时，f′（x）＞0，当x∈（1+，+∞）时，f′（x）＜0‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间为（﹣1，1+）单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1+，+∞）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2017学年高二年级第6次月考文科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ D D B C A B D C B A B A C A 二、 填空题 15. ‎ 16.‎ ‎17. 18.‎ 三、解答题 ‎19.函数的导数为，因为函数在x=1处=0，‎ 所以f'（1）=﹣2+a﹣1=0，解得a=3．‎ 所以f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx，，‎ 所以f（2）=﹣4+6+1﹣ln2=3﹣ln2，，‎ 所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 由，即2x2﹣3x+1＜0，解得，即函数的增区间为（）．‎ 由，得2x2﹣3x+1＞0，解得，‎ 即函数的减区间为（0，）和（1，+∞）．‎ ‎20.解：（Ⅰ）分别设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2）‎ 由，消y可得，x2﹣4mx+2（m2﹣1）=0，‎ ‎∴x1+x2=4m，x1•x2=2（m2﹣1），‎ ‎∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=16m2﹣8（m2﹣1）=8（m2+1），‎ ‎∴|AB|=•=4，解得m=±2，‎ ‎（Ⅱ）分别设M，N的坐标为（x3，y3），（x4，y4），可得y32﹣x32=1，y42﹣x42=1，‎ 两式相减，可得（y3﹣y4）（y3+y4）=（x3﹣x4）（x3+x4），‎ 由点P（1，2）为MN的中点，‎ 可得x3+x4=2，y3+y4=4，‎ ‎∴4（y3﹣y4）=×2（x3﹣x4），∴kMN==4 经检验 即直线l的方程为y﹣2=4（x﹣1），即为4x﹣y﹣2=0‎ ‎21.解：（1）由方程y2=﹣x，y=k（x+1）‎ 消去x后，整理得ky2+y﹣k=0．‎ 设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1•y2=﹣1．‎ ‎∵A、B在抛物线y2=﹣x上，∴y12=﹣x1，y22=﹣x2，y12•y22=x1x2．‎ ‎∵kOA•kOB=•===﹣1，∴OA⊥OB．‎ ‎（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，‎ ‎∴令y=0，则x=﹣1，即N（﹣1，0）．‎ ‎∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|•|y1﹣y2|，‎ ‎∴S△OAB=•1•=．‎ ‎∵S△OAB=，∴=．解得k=±．‎ ‎22.解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，‎ 由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，‎ 又∵，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：x2+．‎ ‎（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，‎ ‎∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，‎ 当m≠0时，由+λ=4，得，‎ ‎∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，‎ 由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0‎ 且x1+x2=，x1x2=．由得x1=﹣3x2‎ ‎3（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0‎ 显然m2=1不成立，∴‎ ‎∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．‎ 解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．‎ 综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}‎ ‎23.解：（1）∵，‎ ‎∴f′（x）=ax2﹣x﹣（a+1）‎ 则g（x）=f（x）﹣f′（x）=﹣ax2+x+（a+1）=‎ ‎∵函数g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数∴+a=0即a=﹣则f′（x）=﹣x2﹣x﹣‎ ‎∵l1⊥l2，l2：x﹣2y﹣8=0‎ ‎∴l1的斜率为﹣2，即f′（x）=﹣x2﹣x﹣=﹣2解得x=1或﹣3‎ 即切点为（1，﹣）或（﹣3，1）‎ ‎∴直线l1的方程为6x+3y﹣1=0或2x+y+5=0‎ ‎（2）f′（x）=ax2﹣x﹣（a+1）=（ax﹣a﹣1）（x+1）‎ 当a=0时，f′（x）=﹣x﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＜0‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），单调递减区间为（﹣1，+∞）‎ 当a＞0时，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1+）时，f′（x）＜0，当x∈（1+，+∞）时，f′（x）＞0‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1+，+∞）单调递减区间为（﹣1，1+）‎ 当﹣＜a＜0时，当x∈（﹣∞，1+）时，f′（x）＜0，当x∈（1+，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＜0‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间为（1+，﹣1）单调递减区间为（﹣∞，1+），（﹣1，+∞）‎ 当a=﹣时，f′（x）≤0恒成立，即函数单调递减区间为（﹣∞，+∞）‎ 当a＜﹣时，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣1，1+）时，f′（x）＞0，当x∈（1+，+∞）时，f′（x）＜0‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间为（﹣1，1+）单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1+，+∞）‎