2018-2019学年北京师大附中高二上学期期中考试数学试题 Word版

2018-2019学年北京师大附中高二上学期期中考试数学试题 Word版

北京师大附中2018－2019学年上学期高中二年级期中考试数学试卷 本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分。‎ 一、选择题，本大题共10小题，共40分，从列出的四个选项中，选出符合要求的一项。‎ ‎ 1. 在数列中，，且，则等于 ‎ A. 8 B. 6 C. 9 D. 7‎ ‎ 2. 在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ 3. 在等比数列中，，且，则这个数列的公比为 ‎ A. 3 B. C. 9 D. ‎ ‎ 4. 在正方体中，向量和的夹角是 ‎ A. B. 60° C. 45° D. 135°‎ ‎ 5. 某种农产品前n年的总产量与n之间的关系满足：，若前m年的年平均产量最高，则m值为 ‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎ 6. 若数列是公比为q的递增等比数列，则 ‎ A. ,q>1 B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ 7. 在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则 ‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎ 8. 已知平面ABC，点O是空间任意一点，点M满足条件，则 ‎ A. 直线AM与平面ABC平行 ‎ B. 直线AM是平面ABC的斜线 ‎ C. 直线AM是平面ABC的垂线 ‎ D. 直线AM在平面ABC内 ‎ 9. 已知两个不共线的向量，与平面共面，向量v是直线l的一个方向向量，则“存在两个实数x,y，使”是“l//”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ 10. 如图，棱长为2的正方体中，M是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于CM，则的面积的最小值为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. 1‎ 二、填空题，本大题共6小题，共30分。‎ ‎ 11. 与共线且满足的向量b=__________。‎ ‎ 12. 已知数列满足：，，，则数列的前2n项和_______________。‎ ‎ 13. 如图，在正四面体V－ABC中，直线VA与BC所成角的大小为______________；二面角V－BC－A的余弦值为____________。‎ ‎ 14. 设数列满足“，”，则 的通项公式可以为_________。‎ ‎ 15. 已知等比数列的前n项和为，则常数C=________‎ ‎ 16. 有一条珍珠项链，上面共有33颗珍珠，最下面中央的那颗珍珠最大，也最有价值，由这颗珍珠往右，越往上的珍珠越小，且价值依次递减100元；同样的，由这颗珍珠往左，越往上方的珍珠也越小，且价值依次递减150元，假设整条珍珠项链的总价值是65000元，则最大的那颗珍珠的价值是_________元。‎ 三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎ 17. （本小题13分）‎ 已知空间中三点A（2，0，－2），B（1，－1，－2），C（3，0，－4），设，‎ ‎（I）若，且，求向量c；‎ ‎（II）已知向量与b互相垂直，求k的值；‎ ‎（III）求的面积。‎ ‎ 18. （本小题13分）‎ 如图，在直三棱柱中，，，点D是的中点。‎ ‎（I）求证平面；‎ ‎（II）求二面角的余弦值。‎ ‎ 19. （本小题14分）‎ ‎ 已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列。‎ ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）设数列满足：，求的前n项之和；‎ ‎（III）设数列满足：，为的前n项和，求证：。‎ ‎ 20. （本小题14分）‎ ‎ 如图，在三棱锥中，底面ABC，，H为PC的中点，M为AH的中点，PA=AC=2，BC=1‎ ‎ （I）求证：；‎ ‎（II）求PM与平面AHB所成的角的正弦值；‎ ‎（III）设点N在线段PB上，且，MN//平面ABC，试写出实数的值（不必证明）。‎ ‎ 21. （本小题13分）‎ ‎ 应届毕业生小李收到了两家公司的录用通知，录用的岗位相同，两家公司均提供税后年薪，且要求签约10年，A公司第一年的年薪为10万元，以后每年上涨20%；B公司第一年的年薪为20万元，以后每年上涨5%。‎ ‎ （I）如果只考虑收入水平，不考虑其他因素，你建议小李选择哪家公司？说明理由。‎ ‎（II）十年内A公司提供的该岗位年薪能否超过B公司，若能，请指出从第几年开始，若不能，说明理由。‎ ‎（参考数据：），，‎ ‎ 22. （本小题13分）‎ 如果数列满足“对任意正整数i，j，，都存在正整数k，使得”‎ 则称数列具有“性质P”，已知数列是无穷项的等差数列，公差为d ‎（I）试写出一个具有“性质P”的等差数列；‎ ‎（II）若，公差d=3，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由。‎ ‎（III）若数列具有“性质P”，求证：且 ‎【试题答案】‎ 一、选择题，本大题共10小题，共40分 ‎ 1. D 2. A 3. B 4. B 5. C ‎6. B 7. D 8. D 9. B 10. A 二、填空题，本大题共6小题，共30分 ‎11. （－2，1，－2） 12. ‎ ‎13. ； 14. (答案不唯一)‎ ‎15. －3 16. 3000‎ 三、解答题：共6个小题，共80分 ‎ 17. ‎ 解：（I），‎ ‎ 或（－2，－1，2）‎ ‎（II）5‎ ‎（III）3‎ ‎ 18. （I）略 （II）‎ ‎ 19. （I）‎ ‎（II）；‎ ‎（III）‎ ‎ 20. （I）略 ‎（II），（III）‎ ‎ 21. （I）A公司 ‎（II）第7年 ‎ 22. （I）‎ ‎（II）若，公差d=3，则数列不具有性质P 理由如下：‎ 由题知，对于和，‎ 假设存在正整数k，使得，‎ 则有，解得，矛盾！‎ 所以对任意的，‎ ‎（III）若数列具有“性质P”，则 ‎①假设，，则对任意的，‎ 设，则，矛盾！‎ ‎②假设，，则存在正整数t，使得 设，‎ ‎，‎ ‎，…‎ L，t+1‎ 则，‎ 但数列中仅有t项小于等于0，矛盾！‎ ‎③假设，，则存在正整数t，‎ 使得 设，‎ ‎，‎ ‎，…，‎ ‎，，，‎ 则，‎ 但数列中仅有t项大于等于0，矛盾！‎ 综上，， ‎