数学卷·2018届山西省怀仁县第一中学高二上学期期中考试文数试题 （解析版）

数学卷·2018届山西省怀仁县第一中学高二上学期期中考试文数试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知直线，，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． 0 C．或0 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于两条直线平行，所以.‎ 考点：两直线的位置关系．‎ ‎【易错点晴】解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即的系数是否为）.‎ ‎2.已知直线的斜率为，将直线绕点顺时针旋转，所得的直线的斜率是（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：直线的斜率与倾斜角．‎ ‎3.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧（左）视图可以为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由图可知这是一个半圆柱和一个三棱锥组成的几何体，所以侧视图为三角形，故选D.‎ 考点：三视图．‎ ‎4.的斜二测直观图如图所示，则的面积为（ ）‎ A． 1 B．2 C. D．‎ ‎【答案】B 考点：斜二测法．‎ ‎5.为圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎【答案】B 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎6.下图为某几何体的三视图，图中四边形为边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由图可知这是一个长方体挖掉一个四棱锥所得，挖掉体积是原体积的，所以剩余体积是原体积的.‎ 考点：三视图．‎ ‎7.若直线，与圆的四个交点把圆分成的四条弧长相等，则（ ）‎ A．0或-1 B．0或1 C.1或-1 D．0或1或-1‎ ‎【答案】A 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎8.如图是某四面体水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1），则四面体外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形为等腰直角三角形，其外心为中点，设为中点，则为外接球球心，长度为，所以表面积为.‎ 考点：三视图，几何体的外接球．‎ ‎【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .‎ ‎9.已知过定点的直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：画出图象如下图所示，，所以时面积最大，此时，圆心到直线的距离为，设直线斜率为，直线方程为，圆心到直线距离.倾斜角为.‎ 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎10.如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（ ）‎ A. 点是的垂心 B．的延长线经过点 C. 垂直平面 D．直线和所成的角为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如下图所示，由正方体的性质可知，在对角线上，，所以为直线与所称的角，，所以，选D.‎ 考点：立体几何点线面位置关系．‎ ‎11.对于平面直角坐标系内任意两点，定义它们之间的一中“折线距离”：‎ ‎.则下列命题正确的是（ ）‎ ‎①若，，则；‎ ‎②若为定点，为动点，且满足，则点的轨迹是一个圆；‎ ‎③若点在线段上，则；‎ A．①② B．② C. ③ D．①②③‎ ‎【答案】C 考点：新定义．‎ ‎12.已知正三棱锥的高为，点为侧棱的中点，与所成角的余弦值为 ‎，则正三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C 考点：三棱锥体积．‎ ‎【思路点晴】以客观题形式或作为解答题的一个构成部分考查常见几何体的表面积与体积，一般都是易题，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想，与三视图结合是主要命题形式．若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．由于本题题目所以的三棱锥是正三棱锥，所以顶点在底面射影是底面的中心.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.过点，且与原点距离最大的直线方程为____________.‎ ‎【答案】‎ 考点：直线方程．‎ ‎14.正四棱锥的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如下图所示，小圆的半径长度为，棱锥的高为，绿色部分根据勾股定理有，解得外接球半径，表面积为.‎ 考点：几何体的外接球．‎ ‎15.设，过定点的动直线和过定点的直线交于点，‎ 则的最大值是____________.‎ ‎【答案】‎ 考点：两条直线的位置关系．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查两条直线的位置关系.对于直线方程来说，定点就是使得不管为何值，方程都满足的点，故直线的定点是原点，直线的定点要转化为，由此容易发现定点为，注意观察两条直线的斜率，一条是，另一条是，所以这两条直线垂直，满足勾股定理.‎ ‎16.已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的 切线（分别为切点），若，则的最小值是 ‎___________.‎ ‎【答案】‎ 考点：圆与圆的位置关系．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查空间点线的距离，第一步利用切线和半径垂直，可以将转化为，也即可以得到的轨迹是的垂直平分线.利用中点和斜率，求出点的轨迹方程；第二部根据两点间的距离公式，可知题目是考查动点到两个定点的距离之和，当三点共线时，距离是最短的.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 设直线的方程为.‎ ‎（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；‎ ‎（2）若不经过第二象限，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎（2）将的方程化为，由题意得或，‎ ‎∴，综上可知的取值范围是.………………10分 考点：两直线的位置关系．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知一个几何体的三视图如图所示.‎ ‎（1）求此几何体的表面积；‎ ‎（2）如果点在正视图中所示位置：为所在线段中点，为顶点，求在几何体表面上，从点到 点的最短路径的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.利用面积公式分别求面积然后相加得到表面积；（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开图为矩形，最短距离为对角线.‎ 考点：三视图．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，，，‎ ‎，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求该几何体的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎（2）过作于，过作于，‎ 于是：.‎ 而，‎ ‎，‎ 所以.‎ 考点：空间立体几何证明垂直与求体积．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知的三个顶点，，，其外接圆为.若直线过点，且被截得 的弦长为2，求直线的方程.‎ ‎【答案】或．‎ 试题解析：‎ 线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心为，半径为，故的方程为.设圆心到直线的距离为，因为直线被截得的弦长为2，所以.当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得.综上，直线的方程为或.‎ 考点：直线方程．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 在棱长为2的正方体中，设是棱的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：连接，，‎ ‎∵四边形是正方形，∴，‎ 又∵底面，面，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，∴.‎ ‎（2）证明：连接，设，‎ 则为的中点，为的中点，‎ ‎∴为的中位线，‎ ‎∴，平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ 考点：空间立体几何证明平行垂直与求体积．‎ ‎【方法点晴】要证明线线垂直，可以通过线面垂直、面面垂直来证明，本题第一问是通过线面垂直来证明.要证明线面平行，可以通过中位线、平行四边形或者面面平行来证明，本题第二问是通过构造中位线来证明.求几何体的体积，先判断几何体的结构，然后选择恰当的公式来解决，这里由于是三棱锥，所以采用换定点找高的方法来完成.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知以点为圆心的圆过原点.‎ ‎（1）设直线与圆交于点，若，求圆的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设，且分别是直线和圆上的动点，求 的最大值及此时点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1），所以原点在的中垂线上.利用两条直线斜率乘积等于，解得或，经验证不符合题意，所以，圆的方程为 ‎；（2）在三角形中，两边之差小于第三边，故，又三点共线时最大，所以的最大值为.线的方程为与联立求得交点为.‎ ‎（2）在三角形中，两边之差小于第三边，故，‎ 又三点共线时最大，‎ 所以的最大值为.‎ ‎∵，，∴直线的方程为，‎ ‎∴直线与直线的交点的坐标为.‎ 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎【方法点晴】本题第一问考查了垂径定理，直径垂直弦，平分弦且平分弦所对的弧，所以有原点在的中垂线上，将垂直转化为两条直线斜率相乘等于，即可求得的值.第一问考查了最值问题，利用了三角形两边的差小于第三边，故三点共线时取得最大值，最后联立方程组求得交点的坐标，这考查了化归与转化的数学思想方法.‎ ‎ ‎