数学卷·2018届宁夏石嘴山三中高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届宁夏石嘴山三中高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年宁夏石嘴山三中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．双曲线=1的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎2．命题“若x+y=1，则xy≤1”的否命题是（　　）‎ A．若x+y=1，则xy＞1 B．若x+y≠1，则xy≤1‎ C．若x+y≠1，则xy＞1 D．若xy＞1，则x+y≠1‎ ‎3．已知cos2α=，则sin2α=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．条件p：不等式的解；条件q：不等式x2﹣2x﹣3＜0的解，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．等比数列{an}中，a3=7，前3项之和S3=21，则数列{an}的公比为（　　）‎ A．1 B． C．1或 D．﹣1或 ‎7．已知，，若 ‎，则λ与μ的值分别为（　　）‎ A．﹣5，﹣2 B．5，2 C． D．‎ ‎8．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．12‎ ‎9．设抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q、R两点，若S为C的准线上一点，△QRS的面积为8，则p=（　　）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎10．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎11．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为18，则2a+b的最小值为（　　）‎ A．4 B．2 C．4 D．4‎ ‎12．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）‎ ‎13．已知数列{an}满足：a3=5，an+1=2an﹣1（n∈N*），则a1=　　．‎ ‎14．已知=（2，1，3），=（﹣4，2，x）且⊥，则|﹣|=　　．‎ ‎15．如图，空间四边形OACB中， =， =， =，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于　　．（用向量，，表示）‎ ‎16．以下三个关于圆锥曲线的命题中：‎ ‎①设A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K，则动点P的轨迹是双曲线．‎ ‎②方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 ‎③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点．‎ ‎④已知抛物线y2=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切 其中真命题为　　（写出所以真命题的序号）‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）设命题p：方程表示焦点在坐标轴上的双曲线，命题q：∃x∈R，x2﹣4x+a＜0．若“p或¬q”为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．‎ ‎（1）证明：BE⊥DC；‎ ‎（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．‎ ‎20．（12分）在单调递增的等差数列{an}中，a3，a7，a15成等比数列，前5项之和等于20．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，记数列{bn}的前n项和为Tn，求使成立的n的最大值．‎ ‎21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2+b2+ab=c2．‎ ‎（Ⅰ） 求角C的度数； ‎ ‎（Ⅱ） 若a+b=10，求△ABC周长的最小值．‎ ‎22．（12分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长分别交直线x=4于P，Q两点，问 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年宁夏石嘴山三中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．双曲线=1的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】直接利用双曲线方程求渐近线方程即可．‎ ‎【解答】解：双曲线=1可得，所以双曲线的渐近线方程为：y=±x．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎2．命题“若x+y=1，则xy≤1”的否命题是（　　）‎ A．若x+y=1，则xy＞1 B．若x+y≠1，则xy≤1‎ C．若x+y≠1，则xy＞1 D．若xy＞1，则x+y≠1‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据已知中的原命题，结论否命题的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题“若x+y=1，则xy≤1”的否命题是命题“若x+y≠1，则xy＞1”，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．已知cos2α=，则sin2α=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．‎ ‎【分析】直接利用二倍角的余弦函数公式，求出sin2α的值，得出选项．‎ ‎【解答】解：cos2α=1﹣2sin2α，∴ =1﹣2sin2α，‎ ‎∴sin2α=，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，二倍角的余弦，是计算题．‎ ‎　‎ ‎4．条件p：不等式的解；条件q：不等式x2﹣2x﹣3＜0的解，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由不等式的解法分别解出p，q，即可判断出关系．‎ ‎【解答】解：条件p：不等式，可得：（x﹣3）（x+1）≤0，x+1≠0，解得﹣1＜x≤3；‎ 条件q：不等式x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．‎ 则p是q的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】由AC∥A1C1，知∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：连结BC1，∵AC∥A1C1，‎ ‎∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），‎ ‎∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，‎ ‎∴AB=，，BC1==，A1C1=1，‎ ‎∴cos∠C1A1B===，‎ ‎∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎6．等比数列{an}中，a3=7，前3项之和S3=21，则数列{an}的公比为（　　）‎ A．1 B． C．1或 D．﹣1或 ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】将a3=7，S3=21，建立关于a1，q的方程组求解．‎ ‎【解答】解：由a3=7，S3=21得：‎ 得q=﹣0.5或1‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，做题时要认真确保确保运算正确，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．已知，，若，则λ与μ的值分别为（　　）‎ A．﹣5，﹣2 B．5，2 C． D．‎ ‎【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ ‎【分析】直接利用向量平行的坐标表示建立方程，解方程求出λ与μ的值．‎ ‎【解答】解：因为，，又，‎ 所以（λ+1）×2=2λ×6，解得λ=．并且2λ（2μ﹣1）=0，解得μ=，‎ λ与μ的值分别为：．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查向量的平行条件的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎8．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．12‎ ‎【考点】椭圆的应用．‎ ‎【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．‎ ‎【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，‎ 由椭圆的定义可知m+n=2a，‎ ‎∴m2+n2+2nm=4a2，‎ ‎∴m2+n2=4a2﹣2nm 由勾股定理可知 m2+n2=4c2，‎ 求得mn=18，‎ 则△F1PF2的面积为9．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．‎ ‎　‎ ‎9．设抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q、R两点，若S为C的准线上一点，△QRS的面积为8，则p=（　　）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】用p表示抛物线的焦点坐标和准线方程，求出通径长，直接由△QRS的面积公式求p，则答案可求．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为F（，0），准线方程为x=﹣．‎ 与C的对称轴垂直的直线l与C交于Q、R两点，则|QR|=2p．‎ 又S为C的准线上一点，‎ ‎∴S到QR的距离为p．‎ 则S△QRS=×2p×p=p2=8，‎ ‎∴p=2，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，属中档题．‎ ‎　‎ ‎10．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，‎ ‎∵|AB|2+=，‎ ‎∴∠ABF2=90°，‎ 又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，‎ ‎∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，‎ ‎∴|AF1|=3．‎ ‎∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，‎ ‎∴a=1．‎ 在Rt△BF1F2中， =+=62+42=52，又=4c2，‎ ‎∴4c2=52，‎ ‎∴c=．‎ ‎∴双曲线的离心率e==．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质，求得a与c的值是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为18，则2a+b的最小值为（　　）‎ A．4 B．2 C．4 D．4‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作可行域，平移目标直线可得直线过点B（1，4）时，目标函数取最大值，可得ab=16，由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域，（如图阴影）‎ 变形目标函数可得y=abx﹣z，其中a＞0，b＞0，‎ 经平移直线y=abx可知，当直线经过点A（0，2）或B（1，4）时，‎ 目标函数取最大值，显然A不合题意，‎ ‎∴ab+4=18，即ab=14，‎ 由基本不等式可得2a+b≥2=4，当且仅当2a=b=2时取等号，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查线性规划，涉及基本不等式的应用和分类讨论的思想，属中档题．‎ ‎　‎ ‎12．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的应用．‎ ‎【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），‎ 根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，‎ 进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）‎ ‎13．已知数列{an}满足：a3=5，an+1=2an﹣1（n∈N*），则a1=　2　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用递推公式，结合递推思想求解．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足：a3=5，an+1=2an﹣1（n∈N*），‎ ‎∴a2=×（5+1）=3．‎ a1==2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查数列的第3项的求法，是基础题，解题时要注意递推思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎14．已知=（2，1，3），=（﹣4，2，x）且⊥，则|﹣|=　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．‎ ‎【分析】由垂直可得数量积为0，进而可得x值，可得向量的坐标，由模长公式可得．‎ ‎【解答】解：∵，，且，‎ ‎∴=2×（﹣4）+1×2+3x=0，解得x=2，‎ 故=（2，1，3）﹣（﹣4，2，2）=（6，﹣1，1），‎ ‎∴==，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的垂直和模长的求解，属基础题．‎ ‎　‎ ‎15．如图，空间四边形OACB中， =， =， =，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于　+‎ ‎　．（用向量，，表示）‎ ‎【考点】空间向量的加减法．‎ ‎【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出： ==﹣．‎ ‎【解答】解： ==﹣=+．‎ 故答案为： +．‎ ‎【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．以下三个关于圆锥曲线的命题中：‎ ‎①设A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K，则动点P的轨迹是双曲线．‎ ‎②方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 ‎③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点．‎ ‎④已知抛物线y2=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切 其中真命题为　②③④　（写出所以真命题的序号）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义，可判断①的真假；解方程求出方程的两根，根据椭圆和双曲线的简单性质，可判断②的真假；根据已知中双曲线和椭圆的标准方程，求出它们的焦点坐标，可判断③的真假；设P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，根据抛物线的定义，可知AP+BP=AM+BN，从而 PQ=‎ AB，所以以AB为直径作圆则此圆与准线l相切．‎ ‎【解答】解：A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K，当K=|AB|时，动点P的轨迹是两条射线，故①错误；‎ 方程2x2﹣5x+2=0的两根为和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；‎ 双曲线﹣=1的焦点坐标为（±，0），椭圆﹣y2=1的焦点坐标为（±，0），故③正确；‎ 设AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，‎ ‎∵AP+BP=AM+BN ‎∴PQ=AB，‎ ‎∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故④正确 故正确的命题有：②③④‎ 故答案为：②③④‎ ‎【点评】本题④以抛物线为载体，考查抛物线过焦点弦的性质，关键是正确运用抛物线的定义，合理转化，综合性强．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）（2016秋•大武口区校级期末）设命题p：方程表示焦点在坐标轴上的双曲线，命题q：∃x∈R，x2﹣4x+a＜0．若“p或¬q”为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】命题p：方程表示焦点在坐标轴上的双曲线，则（a+6）（a﹣7）＜0，解得a范围．命题q：∃x∈R，x2﹣4x+a＜0．则△＞0，解得a范围．可得￢q．再利用“p或¬q”为真命题即可得出．‎ ‎【解答】解：命题p：方程表示焦点在坐标轴上的双曲线，则（a+6）（a﹣7）＜0，解得﹣6＜a＜7．‎ 命题q：∃x∈R，x2﹣4x+a＜0．则△=16﹣4a＞0，解得a＜4．可得￢q：[4，+∞）．‎ ‎∵“p或¬q”为真命题，∴﹣6＜a＜7或a≥4．‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣6，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解集与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•大武口区校级期末）已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．‎ ‎【考点】圆锥曲线的轨迹问题．‎ ‎【分析】欲求点M的轨迹方程，设M（x，y），只须求得坐标x，y之间的关系式即可．再设P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得x，y的关系式．‎ ‎【解答】解：设M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）‎ ‎∵M是FQ的中点，‎ ‎∴⇒，又Q是OP的中点 ‎∴⇒，‎ ‎∵P在抛物线y2=4x上，∴（4y）2=4（4x﹣2），‎ 所以M点的轨迹方程为 ‎【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•大武口区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．‎ ‎（1）证明：BE⊥DC；‎ ‎（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（1）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形，CD⊥平面PAD，由此能证明BE⊥DC．‎ ‎（2）连接BM，推导出PD⊥EM，PD⊥AM，从而直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角，由此能求出直线BE与平面PDB所成角的正弦值．‎ ‎（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣P的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM=DC，‎ 又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，‎ ‎∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，‎ ‎∴BE⊥DC．‎ 解：（2）连接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，‎ 而EM∥CD，∴PD⊥EM．‎ 又∵AD=AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，‎ ‎∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，‎ ‎∴平面BEM⊥平面PBD．‎ ‎∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，‎ ‎∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，‎ ‎∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．‎ 依题意，有PD=2，而M为PD中点，‎ ‎∴AM=，∴BE=．‎ ‎∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM==，‎ ‎∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．‎ ‎（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），‎ ‎=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，2），‎ 设平面BDP的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=2，得=（2，1，1），‎ 平面ABD的法向量=（0，0，1），‎ 设二面角A﹣BD﹣P的平面角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴二面角A﹣BD﹣P的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•大武口区校级期末）在单调递增的等差数列{an}中，a3，a7，a15成等比数列，前5项之和等于20．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，记数列{bn}的前n项和为Tn，求使成立的n的最大值．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）设单调递增的等差数列{an}的公差为d（d＞0），运用等差数列的通项公式和求和公式，得到首项和公差的方程，解方程即可得到所求；‎ ‎（2）求得==2（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得前n项和为Tn，再解不等式，可得n的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）设单调递增的等差数列{an}的公差为d（d＞0），‎ a3，a7，a15成等比数列，可得a72=a3a15，‎ 即（a1+6d）2=（a1+2d）（a1+14d），‎ 化为a1=2d，‎ 又前5项之和等于20，‎ 即有5a1+d=20，即为a1+2d=4，‎ 解得a1=2，d=1，‎ 数列{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=2+n﹣1=n+1；‎ ‎（2）==2（﹣），‎ 数列{bn}的前n项和为Tn=2（﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=2（﹣）=1﹣，‎ 由Tn=1﹣，使成立，即1﹣≤，‎ 可得n≤48．‎ 使成立的n的最大值为48．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式和等比数列中项的性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2013春•宁波期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2+b2+ab=c2．‎ ‎（Ⅰ） 求角C的度数； ‎ ‎（Ⅱ） 若a+b=10，求△ABC周长的最小值．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数； ‎ ‎（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b及cosC的值代入，利用基本不等式求出c的最小值，即可确定出周长的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=ab，‎ 由余弦定理得：cosC==﹣，‎ ‎∵0＜C＜180°，∴C=120°；‎ ‎（Ⅱ）∵a+b=10，‎ ‎∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=c2=a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab=100﹣ab≥100﹣（）2=75，‎ ‎∴c≥5，当a=b=5时取等号，‎ 则△ABC周长的最小值为a+b+c=10+5．‎ ‎【点评】此题考查了余弦定理，完全平方公式及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长分别交直线x=4于P，Q两点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意的离心率公式可得e==，设c=t，a=2t，即，其中t＞‎ ‎0，点P为短轴端点，三角形面积取得最大，求得t=1，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理，求得AA1，BA1的方程，令x=4，可得P，Q的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到定值0．‎ ‎【解答】解：（1）已知椭圆的离心率为，‎ 不妨设c=t，a=2t，即，其中t＞0，‎ 又△F1PF2面积取最大值时，‎ 即点P为短轴端点，因此，解得t=1，‎ 则椭圆的方程为；‎ ‎（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立可得（3+4t2）y2+6ty﹣9=0，‎ 则，，‎ 直线AA1的方程为，‎ 直线BA1的方程为，‎ 令x=4，可得，，‎ 则，，‎ 即有，‎ 即为定值0．‎ ‎【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．‎ ‎　‎