2019-2020学年安徽省安庆市七中高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省安庆市七中高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省安庆市七中高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合则 ( )‎ A． B． C． D．空集 ‎【答案】B ‎【解析】求出集合A中不等式的解集，确定出A，求出集合B中函数的值域确定出B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由A中的不等式x2≤1，得﹣1≤x≤1，即A＝{x|﹣1≤x≤1}；‎ 由集合B中的函数y＝x2≥0，得到B＝{y|y≥0}，‎ 则A∩B＝{x|0≤x≤1}．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎2．函数的图像过定点（ ）‎ A．（，1） B．（1，-1） C．（1,0） D．（，0）‎ ‎【答案】B ‎【解析】令对数函数的真数等于1，求得x、y的值，可得它的图象过定点的坐标．‎ ‎【详解】‎ 解：令2x﹣1＝1，求得x＝1，y＝﹣1，函数y＝loga（2x﹣1）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，﹣1），‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的单调性和特殊值，属于基础题．‎ ‎3．下列四组函数，表示同一函数的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】略 ‎4．则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用中间量隔开三个数即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的图象与性质，属于常考题型.‎ ‎5．已知函数则的值为（ ）‎ A．-13 B．-10 C．7 D．13‎ ‎【答案】A ‎【解析】令 g（x）＝ax5﹣bx3+cx，则 g（﹣3）＝10，又 g（x）为奇函数，故有g（3）＝﹣10，故 f（3）＝g（3）﹣3．‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数f（x）＝ax5﹣bx3+cx﹣3，f（﹣3）＝7，‎ 令g（x）＝ax5﹣bx3+cx，则g（﹣3）＝10，‎ 又g（x）为奇函数，∴g（3）＝﹣10，故 f（3）＝g（3）﹣3＝﹣13，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性的应用，求函数值，令 g（x）＝ax5﹣bx3+cx，求出 g（3）＝﹣10，是解题的关键．‎ ‎6．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，则，‎ 解得0＜x<1，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．‎ ‎7．已知函数的上单调递减，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用二次函数的图象与性质得，二次函数f（x）在其对称轴左侧的图象下降，由此得到关于a的不等关系，从而得到实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 当时，，显然适合题意，‎ 当时， ，解得： ，‎ 综上：的取值范围是 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎8．设定义在R上的函数对任意实数x，y满足且则+的值为（ ）‎ A．-2 B．0 C．-4 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】观察题设条件可先令x＝y＝0求出f（0），再令x＝2，y＝﹣2求出f（﹣2），代入求f（0）+f（﹣2）的值 ‎【详解】‎ 解：由题意令x＝y＝0，则有f（0）+f（0）＝f（0），故得f（0）＝0‎ 令x＝2，y＝﹣2，则有f（﹣2）+f（2）＝f（0）＝0，‎ 又f（2）＝4‎ ‎∴f（﹣2）＝﹣4‎ ‎∴f（0）+f（﹣2）＝﹣4‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的值，解题的关键是理解所给的恒等式，且根据其进行灵活赋值求出f（0），f（﹣2）的值．‎ ‎9．已知函数若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用二次函数的对称性与单调性即可作出判断.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数，‎ ‎∴对称轴方程为：，即 ‎ 又，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的图象与性质，考查函数的对称性与单调性，属于简单题目.‎ ‎10．若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )‎ A． B． C．​ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 ‎【详解】‎ 解：函数单调递增，‎ 解得 所以实数的取值范围是．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎11．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 因为函数，‎ ‎ 由，可得，所以函数的定义域为，‎ ‎ 再由，可得，且在上为单调递增函数，故选C．‎ ‎12．已知函数则使得成立的x的取值范围是（ ）‎ A．（-1，3） B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出2x，再由f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，解之即可求出使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数f（x）＝ln（ex+e﹣x）+x2，‎ ‎∴2x，‎ 当x＝0时，f′（x）＝0，f（x）取最小值，‎ 当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ 当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，‎ ‎∵f（x）＝ln（ex+e﹣x）+x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，‎ 整理，得x2﹣2x﹣3＞0，‎ 解得x＞3或x＜﹣1，‎ ‎∴使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．‎ 二、填空题 ‎13．若函数是偶函数，则k=_________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】利用二次函数的对称性以及函数的奇偶性，直接推出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 解：f（x）＝（k﹣2）x2+（k﹣1）x+2是偶函数，‎ 可知二次函数的对称轴是y轴，则k﹣1＝0，‎ 解得k＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的性质以及函数的奇偶性的应用，是基础题．‎ ‎14．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数n=_______‎ ‎【答案】﹣1‎ ‎【解析】根据幂函数的定义与性质，求出n的值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：函数f（x）＝（n2﹣n﹣1）xn是幂函数，‎ ‎∴n2﹣n﹣1＝1，‎ 解得n＝﹣1或n＝2；‎ 当n＝﹣1时，f（x）＝x﹣1，在x∈（0，+∞）上是减函数，满足题意；‎ 当n＝2时，f（x）＝x2，在x∈（0，+∞）上是增函数，不满足题意．‎ 综上，n＝﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．‎ ‎15．函数的单调减区间是________‎ ‎【答案】（﹣∞，﹣4）‎ ‎【解析】由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，再求出内函数的减区间，结合复合函数的单调性得答案 ‎【详解】‎ 解：由x2+3x﹣4＞0，得x＜﹣4或x＞1，‎ ‎∴函数f（x）＝ln（x2+3x﹣4）的定义域为（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞），‎ 又内层函数t＝x2+3x﹣4的对称轴方程为x＝，‎ 则内函数在（﹣∞，﹣4）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，‎ 且外层函数对数函数y＝lnt为定义域内的增函数，‎ 故复合函数数f（x）＝ln（x2+3x﹣4）的单调递减区间为（﹣∞，﹣4）．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣4）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数的单调性，以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题 ‎16．对于实数符号表示不超过x的最大整数，例如定义函数则下列命题正确中的是__________‎ ‎（1）函数的最大值为1；‎ ‎（2）函数是增函数；‎ ‎（3）方程有无数个根；‎ ‎（4）函数的最小值为0.‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】先理解函数f（x）＝x﹣[x]的含义，再针对选项对该函数的最值、单调性以及周期性进行分析、判断正误即可．‎ ‎【详解】‎ 解：对于①，由题意可知f（x）＝x﹣[x]∈[0，1），∴函数f（x）无最大值，①错误；‎ 对于④，由f（x）的值域为[0，1），∴函数f（x）的最小值为0，④正确；‎ 对于③，函数f（x）每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，‎ 所以方程f（x）有无数个根，③正确；‎ 对于②，函数f（x）在定义域R上是周期函数，不是增函数，②错误；‎ 综上，正确的命题序号是③④．‎ 故答案为：③④．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义的函数性质与应用问题，也考查了分析问题与解答问题能力，是中档题．‎ 三、解答题 ‎17．计算下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）（2）3‎ ‎【解析】（1）根据指数运算公式，化简所求表达式.‎ ‎（2）根据对数运算公式，化简所求表达式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式 ‎（2）原式 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数运算、考查对数运算，属于基础题.‎ ‎18．设全集为R,.‎ ‎（1）求及 ‎（2）若，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）A∩B＝{x|3＜x≤5}，∁R（A∩B）＝{x|x≤3或x＞5}，‎ ‎（2）（﹣∞，]∪[6，+∞）‎ ‎【解析】（1）由A＝{x|2＜x≤5}，B＝{x|3＜x＜8}，能求出A∩B及∁R（A∩B）．‎ ‎（2）由A∩B＝{x|3＜x≤5}，（A∩B）∩C＝∅，当C＝∅时，a﹣1≥2a，当C≠∅时，或，由此能求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为A＝{x|2＜x≤5}，B＝{x|3＜x＜8}，‎ 所以A∩B＝{x|3＜x≤5}，‎ ‎∁R（A∩B）＝{x|x≤3或x＞5}．‎ ‎（2）因为A∩B＝{x|3＜x≤5}，（A∩B）∩C＝∅，‎ 当C＝∅时，a﹣1≥2a，解得a≤﹣1；‎ 当C≠∅时，或，‎ 解得﹣1＜a或a≥6．‎ 综上，实数a的取值范围是（﹣∞，]∪[6，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集、并集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集、子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎19．已知函数 ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数a的值.‎ ‎【答案】（1）（2）3或 ‎【解析】（1）利用，求出a，得到结果．‎ ‎（2）当a＞1时，f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调递增，利用单调性求解函数的最值，通过已知条件转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵f（x）＝ax，，‎ ‎∴，解得：a＝2或，‎ 当a＝2时，f（x）＝2x，，‎ 当时，，，‎ 故．‎ ‎（2）当a＞1时，f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调递增，‎ ‎∴，化简得3a2﹣8a﹣3＝0，‎ 解得：（舍去）或a＝3．‎ 当0＜a＜1时，f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调递减，‎ ‎∴，化简得3a2+8a﹣3＝0．‎ 解得：a＝﹣3（舍去）或．‎ 综上，实数a的值为3或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的单调性和运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎20．已知二次函数满足 ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)令 若函数在上是单调函数，求实数m的取值范围；‎ ‚求函数在的最小值.‎ ‎【答案】（1）f（x）＝﹣x2+2x+15（2）①m≤0，或m≥2②见解析 ‎【解析】（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．‎ ‎（2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x＝m为对称轴的抛物线，‎ ‎①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；‎ ‎②分当m≤0时，当0＜m＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c，‎ ‎∵f（2）＝15，f（x+1）﹣f（x）＝﹣2x+1，‎ ‎∴4a+2b+c＝15；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝﹣2x+1； ‎ ‎∴2a＝﹣2，a+b＝1，4a+2b+c＝15，解得a＝﹣1，b＝2，c＝15，‎ ‎∴函数f（x）的表达式为f（x）＝﹣x2+2x+15；‎ ‎（2）∵g（x）＝（2﹣2m）x﹣f（x）＝x2﹣2mx﹣15的图象是开口朝上，且以x＝m为对称轴的抛物线，‎ ‎①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；‎ ‎②当m≤0时，g（x）在[0，2]上为增函数，当x＝0时，函数g（x）取最小值﹣15；‎ 当0＜m＜2时，g（x）在[0，m]上为减函数，在[m，2]上为增函数，当x＝m时，函数g（x）取最小值﹣m2﹣15；‎ 当m≥2时，g（x）在[0，2]上为减函数，当x＝2时，函数g（x）取最小值﹣4m﹣11；‎ ‎∴函数g（x）在x∈[0，2]的最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．‎ ‎21．已知函数是定义域为上的奇函数，且.‎ ‎（1）用定义证明：函数在上是增函数；‎ ‎（2）若实数t满足求实数t的范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（0，）‎ ‎【解析】（1）由函数是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，求出b＝0，从而，利用定义法能证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；‎ ‎（2）推导出f（2t﹣1）＜f（1﹣t），由函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，列出不等式组，由此能求出实数t的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵函数是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，‎ ‎∴f（0）0，∴b＝0，‎ ‎∴‎ 任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）‎ ‎，‎ ‎∵a＞0，﹣1＜x1＜x2＜1，‎ ‎∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，10，10，‎ ‎∴函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数．‎ ‎（2）∵f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，∴f（2t﹣1）＜﹣f（t﹣1），‎ ‎∵函数是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，且a＞0．‎ ‎∴f（2t﹣1）＜f（1﹣t），‎ ‎∵函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，‎ ‎∴，‎ 解得0＜t．‎ 故实数t的范围是（0，）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性的证明，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力及推理论证能力，是中档题．‎ ‎22．已知函数 ‎(1)讨论函数的定义域；‎ ‎(2)当时，解关于x的不等式：‎ ‎(3)当时，不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）0＜x＜1（3）m＜﹣log23‎ ‎【解析】（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域 ‎（2）根据函数的单调性解答即可；‎ ‎（3）令g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1．‎ 当a＞1时，x＞0；‎ 当0＜a＜1时，x＜0．‎ 所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（﹣∞，0）．‎ ‎（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，‎ 则，所以11．‎ 因为a＞1，所以loga（1）＜loga（1），即f（x1）＜f（x2）．‎ 故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．‎ ‎∵f（x）＜f（1）；‎ ‎∴ax﹣1＜a﹣1，‎ ‎∵a＞1，‎ ‎∴x＜1，‎ 又∵x＞0，‎ ‎∴0＜x＜1；‎ ‎（3）∵g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1在[1，3]上是单调增函数，‎ ‎∴g（x）min＝﹣log23，‎ ‎∵m＜g（x），‎ ‎∴m＜﹣log23．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，考查推理能力与转化能力，考查分类讨论思想，属于中档题．‎