【推荐】专题01 解密三角形形状判定技巧-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（必修5）x

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一、选择题 ‎1．【黑龙江省伊春市第二中学2018届高三第一次月考】在中，若，则是（ ）‎ A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理得 ,设 ,则由余弦定理得为钝角，即是钝角三角形，选B.‎ ‎2．【河北省临漳县第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】设的内角所对边的长分别为，若，则的形状为（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D 点睛：本题是一道易错题， 或 ‎3．【2017-2018学年滕州市第三中学必修五检测】已知A(1,－2,11)，B(4,2,3)，C(6,－1,4)，则△ABC是 （ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，同理 ‎。所以，故△ABC为直角三角形。选B。‎ ‎4．【2017-2018学年滕州市第三中学必修五检测】在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形 ‎【答案】B ‎∴△ABC为等腰或直角三角形。选B 点睛：判断三角形形状的途径：（1）化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；（2）化角为边，通过代数变换找出边之间的关系。在以上两种方法中，正（余）弦定理是转化的桥梁，无论使用哪种方法，都不要随意约掉等式两边的公因式，否则会有漏解的可能。‎ ‎5．【黑龙江哈尔滨市第十九中学2016-2017学年高一下学期期中】在中,内角的对边分别为，若，则 一定是(   )‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】B ‎【解析】将 利用正弦定理化简得： ，即sinAcosB=cosAsinB，‎ 变形得：sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，‎ ‎∵A，B为三角形内角，‎ ‎∴A﹣B=0，即A=B，‎ 则△ABC为等腰三角形．‎ 故选A 点睛：已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，利用特殊角的三角函数值得到A=B，即可确定出三角形为等腰三角形．‎ ‎6．【上海交通大学附属中学2017-2018学年高二上学期摸底考】△中，若， ，则△（ ）‎ A. 是等边三角形 B. 是等腰三角形，但不是等边三角形 C. 是等腰直角三角形 D. 是直角三角形，但不是等腰三角形 ‎【答案】A ‎ ‎ ‎7．【安徽省淮北市濉溪中学2017-2018学年高二实验班开学考】中，角成等差，边成等比，则一定是（ ）‎ A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】∵△ABC中,角A. B. C成等差,∴2B=A+C,又A+B+C=,∴B=.‎ ‎∵边a、b、c成等比数列,∴b2=ac.再由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac cos，‎ ‎∴ac=a2+c2−ac,(a−c)2=0，∴a=b=c，故△ABC一定是等边三角形。‎ 本题选择A选项.‎ ‎8．【山东省济南第一中学2017-2018学年高二上学期开学考】在△ABC中，b cosA＝a cosB ‎ ‎，则三角形的形状为（    ）‎ A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】 ， ，则，则，三角形为等腰三角形，选C.‎ ‎9．【福建省福州八中2016—2017学年高一下学期期末】平面上有四个互异点A、B、C、D，已知（，则△ABC的形状是 （ ）‎ A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴⇔()⋅()=0⇔‎ ‎，即，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形。‎ 故选C. ‎ 点睛：根据向量条件判断三角形的性质问题，一般都是转化为垂直，相等，角平分线等信息，进而判断形状，当三角形中涉及的向量较多时，可以都统一用一组基底表示，简化运算.‎ ‎10．【福建省福州八中2016—2017学年高一下学期期末】在△ABC中， ，则这个三角形一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角 D. 等腰或直角三角形 ‎【答案】A 故选A.‎ ‎11．【四川省成都七中2018届高三上学期入学考】在中， 分别为的重心和外心，且，则的形状是（）‎ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 上述三种情况都有可能 ‎【答案】B ‎【解析】在△ABC中，G,O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点D，连结AD,OD,GD，如图所示：‎ 本题选择B选项.‎ ‎12．【河南省林州一中2017-2018学年高二上学期开学】在中，已知，则是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理可得，即，由和化积公式可得： ，即，也即，所以或，应选答案B。‎ ‎13．【辽宁省庄河市高级中学2017-2018学年高二上学期开学考】在中，若，则是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】将已知条件变形可得，展开整理得 或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，选D. ‎ 点睛：在解三角形中关于判断三角形形状的题目，可将已知条件都转化为三角形的三边或三角后求解，若都转化为边，则借助于三角形的余弦定理的变形，如，通过的正负来确定角的范围，从而确定三角形形状，若都转化为角，则利用三角函数公式将其化简，求得角的大小，亦可确定三角形形状.‎ ‎14．【甘肃省天水一中2017-2018学年高一上学期开学考】三边满足，则为（ ）‎ A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】A 点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．‎ ‎15．【云南省师范大学附属中学2018届高三高考适应性月考】已知分别是的三条边及相对三个角，满足，则的形状是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理得： ，又，所以有，即，所以是等边三角形，故选B.‎ ‎16．【上海市建平中学2016-2017学年高一下学期期中】中，三边长分别为、、，且，则的形状为（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 ‎【答案】A 点睛：判断三角形形状的两种途径　一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.‎ ‎17．【福建省三明市2016-2017学年高一期末】在中，已知，则的形状一定是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴‎ ‎∴的形状一定是等腰三角形.‎ 故选：A ‎18．【河北省邯郸市2016-2017学年高一下学期期末】设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则的形状是（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：：∵，‎ ‎∴，即|AB|=|AC|．△ABC的形状是等腰三角形 考点：向量运算 ‎19．【江西省南昌市第十中学2016-2017学年高一期末】在中，若，,则一定是( )‎ A. 锐角三角形 B. 正三角形 C. 等腰直角三角形 D. 非等腰直角三角形 ‎【答案】B 点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．‎ ‎20．【四川省眉山市2016-2017学年高一下学期期末】在中，已知，那么一定是（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形 ‎【答案】B ‎【解析】由题意有：sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)，‎ 根据两角和的正弦公式，sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，‎ 代入2sinAcosB=sinC中，整理可得，sinAcosB−cosAsinB=0，‎ 即sin(A−B)=0，又因为△ABC中，A<π，B<π，‎ 故A−B∈(−π,π)，所以A=B。‎ 本题选择B选项.‎ 二、填空题 ‎21．【2017年春学期金坛四中高一年级第一次质量检测】在中, 分别为角的对边， 则的形状为__________． ‎ ‎【答案】等腰三角形 三、解答题 ‎22．【四川省眉山市2016-2017学年高一下学期期末考】在中，角的对边分别为，已知， .‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）求的最大值，并判断此时的形状.‎ ‎【答案】（1） （2） 的最大值为 ‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式，结合C是三角形的内角，可求C； （2）利用正弦定理，将化为，进而可得，即可求得结论．‎ 试题解析：‎ 解：由 ‎，‎ 由余弦定理得： ‎ 此时为等边三角形 法二：由余弦定理得： ‎ ‎ ‎ 当且仅当等号成立， ‎ 此时为等边三角形.‎ 点睛：在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.‎