数学理卷·2019届湖北省部分重点中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学理卷·2019届湖北省部分重点中学高二上学期期中考试（2017-11）

湖北省部分重点中学2017-2018学年度上学期期中联考 高二数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题：，，则（ ）‎ A．：， B．：，‎ C．：， D．：，‎ ‎2.已知命题：经过定点的直线都可以用方程表示，命题：直线的倾斜角是，则下列命题是真命题的为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.：或；：，则（ ）‎ A．是的充分非必要条件 B．是的必要非充分条件 ‎ C．是的充要条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 ‎4.圆与直线（）的位置关系为（ ）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 ‎ ‎5.由曲线围成的图形的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.设，满足约束条件则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9.已知两点，，点是椭圆上任意一点，则点到直线的距离最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知直线：过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆截得的弦长为，若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比为（，），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：和点，点，为圆上动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是 ．‎ ‎14.已知圆，直线：，圆上至少有三个点到直线的距离都是2，则的取值范围是 ．‎ ‎15.椭圆的离心率是，则它的长轴长是 ．‎ ‎16.过点的直线交椭圆：于，两点，为椭圆的左焦点，当周长最大时，直线的方程为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．　‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求直线的方程．‎ ‎18.已知中心在原点的椭圆，右焦点，且过．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．‎ ‎19.为迎接2017年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．‎ ‎（1）使用每天生产的汤碗个数与花瓶个数表示每天的利润（元）；‎ ‎（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎20.过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率为的椭圆相交于、两点，直线过线段的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线 对称．‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）求椭圆的方程．‎ ‎21.在直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，点的坐标为．当变化时，解答下列问题：‎ ‎（1）以为直径的圆能否经过点？说明理由；‎ ‎（2）过，，三点的圆在轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎22.已知圆：和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）点是曲线与轴正半轴的交点，点，在曲线上，若直线，的斜率分别是，，满足，求面积的最大值．‎ 湖北省部分重点中学2017-2018学年度上学期期中联考高二数学试卷（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.或 14. 15.或 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）依题意知：kAC＝－2，A(6,1)，‎ ‎∴lAC为2x＋y－13＝0，‎ 联立lAC、lCM得∴C(5，3)． ‎ ‎（2）设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，‎ 代入2x－y－7＝0，得2x0－y0－3＝0，‎ ‎∴∴B(0，－3)， ‎ ‎∴kBC＝，∴直线BC的方程为y＝x－3，‎ 即6x－5y－15＝0.‎ ‎18.解：(1)设椭圆方程为=1，∵椭圆过（，0），‎ ‎∴=1，即=3， ‎ ‎∴椭圆方程为=1． （2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则 y=2x+b 且=1得，‎ ‎∴，即x=，y=， ‎ 两式消掉b得 y=x． ‎ 又弦的中点在椭圆内部，所以 故平行弦中点轨迹方程为：y=x（）．‎ ‎19.解：(1)依题意每天生产的茶杯个数为100－x－y，‎ 所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.‎ ‎(2)约束条件为 整理得 ‎ 目标函数为ω＝2x＋3y＋300，‎ 作出可行域，如图所示， ‎ 作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，‎ 由得 ‎∴最优解为A(50,50)，此时ωmax＝550元． ‎ 故每天生产汤碗50个，花瓶50个，茶杯0个时利润最大，‎ 且最大利润为550元． ‎ ‎20.解：（1）由，得，从而 设椭圆方程为 ‎ 在椭圆上，则两式相减得，‎ ‎ ‎ 设的中点为则又在直线上，，于是 ‎，则直线的方程为. ‎ ‎（2）右焦点关于直线的对称点设为 则解得 ‎ 由点在椭圆上，得， ‎ 所求椭圆的方程的方程为 ‎ ‎21.解：（1）以为直径的圆不经过点C，理由如下：‎ 二次函数的图象与x轴交于A，B两点设，，， ‎ 又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现AC⊥BC的情况，以为直径的圆不经过点C. ‎ ‎(2)设过A，B，C三点的圆的方程为，将A，B，C三点坐标带入，得.‎ ‎，由（1）， ‎ 从而，‎ 圆的方程为，令，‎ 得，‎ 进而得到圆在y轴上截得的弦长是定值为4. ‎ ‎22.解：（1）圆的圆心为，半径为 点在圆内，因为动圆经过点且与圆相切，‎ 所以动圆与圆内切。设动圆半径为，则.‎ 因为动圆经过点，所以, >,‎ 所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆. ‎ 由，得,‎ 所以曲线的方程为． ‎ ‎（2）直线斜率为0时，不合题意；‎ 设，直线 ：，‎ 联立方程组得，‎ 又 知=.‎ 且，代入化简得，‎ 解得，故直线BC过定点（2，0），‎ 由，解得， ‎ ‎（当且仅当时取等号）.‎ 综上，面积的最大值为．‎